В математике гипотеза n ! — это гипотеза о том, что размерность некоторого биградуированного модуля диагональных гармоник равна n !. Она была выдвинута А. М. Гарсиа и М. Хайманом и позднее доказана М. Хайманом . Она подразумевает гипотезу Макдональда о положительности полиномов Макдональда .
Полиномы Макдональда — это двухпараметрическое семейство ортогональных полиномов, индексированных положительным весом λ корневой системы , введенное Яном Г. Макдональдом (1987). Они обобщают несколько других семейств ортогональных полиномов, таких как полиномы Джека и полиномы Холла–Литтлвуда . Известно, что они имеют глубокие связи с аффинными алгебрами Гекке и схемами Гильберта , которые использовались для доказательства нескольких гипотез, выдвинутых Макдональдом о них.
Макдональд (1988) ввел новый базис для пространства симметричных функций , который конкретизирует многие известные базисы для симметричных функций путем подходящих замен параметров q и t .
Фактически, таким образом мы можем получить функции Шура , симметричные функции Холла–Литтлвуда, симметричные функции Джека, зональные симметричные функции, зональные сферические функции , а также элементарные и мономиальные симметричные функции.
Так называемые q , t - полиномы Костки являются коэффициентами результирующей матрицы перехода . Макдональд предположил, что они являются полиномами по q и t с неотрицательными целыми коэффициентами.
Идея построить подходящий модуль для доказательства положительности (как это было сделано в его предыдущей совместной работе с Прочези о положительности Шура полиномов Костки–Фоулкса ) принадлежала Адриано Гарсии .
В попытке доказать гипотезу Макдональда Гарсия и Хайман (1993) ввели биградуированный модуль диагональных гармоник и предположили, что (модифицированные) полиномы Макдональда являются образом Фробениуса функции генерации характера H μ при диагональном действии симметрической группы .
Доказательство гипотезы Макдональда затем было сведено к гипотезе n !, т. е. к доказательству того, что размерность H μ равна n !. В 2001 году Хайман доказал, что размерность действительно равна n ! (см. [4]).
Этот прорыв привел к открытию многих скрытых связей и новых аспектов теории представлений симметричных групп , а также комбинаторных объектов (например, таблиц вставки, инверсионных чисел Хаглунда и роли парковочных функций в теории представлений ).
