Многоугольное число

В математике многоугольное число — это число , которое состоит из точек, расположенных в форме правильного многоугольника ^[1]^{: 2-3} . Это один из типов двумерных фигурных чисел .

Многоугольные числа впервые были изучены в VI веке до нашей эры древними греками, которые исследовали и обсуждали свойства продолговатых , треугольных и квадратных чисел ^[1]^{: 1} .

Определение и примеры

Например, число 10 можно расположить в виде треугольника (см. треугольное число ):

Но 10 не может быть представлено в виде квадрата . Число 9, с другой стороны, может быть представлено (см. квадратное число ):

Некоторые числа, например 36, можно расположить и в виде квадрата, и в виде треугольника (см. квадратно-треугольное число ):

По соглашению, 1 — это первое многоугольное число для любого количества сторон. Правило увеличения многоугольника до следующего размера заключается в том, чтобы расширить две смежные стороны на одну точку, а затем добавить требуемые дополнительные стороны между этими точками. На следующих диаграммах каждый дополнительный слой показан красным цветом.

Треугольные числа

Квадратные числа

Многоугольники с большим числом сторон, такие как пятиугольники и шестиугольники, также можно построить по этому правилу, хотя точки уже не будут образовывать идеально правильную решетку, как выше.

Пятиугольные числа

Шестиугольные числа

Формула

Если $s$ — число сторон многоугольника, то формула для $n$ -го $s$ -угольного числа $P (s, n)$ имеет вид

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

или

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

$n-$ ое s $-$ угольное число также связано с треугольными числами $T n$ следующим образом: ^[2]

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

Таким образом:

{\begin{align}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{align}}

Для данного $s$ -угольного числа $P (s, n) = x$ можно найти $n$ по формуле

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

и можно найти $s$ по

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {xn}{n-1}}

Каждое шестиугольное число также является треугольным числом.

Применяем формулу выше:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

в случае 6 сторон даёт:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

но поскольку:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

отсюда следует, что:

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

Это показывает, что $n-$ е шестиугольное число $P (6, n)$ также является $(2 n - 1)-м$ треугольным числом $T 2 n -1$ . Мы можем найти каждое шестиугольное число, просто взяв нечетные треугольные числа: ^[2]

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Таблица значений

Первые 6 значений в столбце «сумма обратных величин» для треугольных и восьмиугольных чисел взяты из опубликованного решения общей задачи, которое также дает общую формулу для любого числа сторон в терминах дигамма-функции . ^[3]

В « Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей» избегаются термины, использующие греческие префиксы (например, «восьмиугольный»), в пользу терминов, использующих цифры (например, «8-угольный»).

Свойство этой таблицы можно выразить следующим тождеством (см. A086270):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(sk,n),

k=0,1,2,3,...,s-3.

Комбинации

Некоторые числа, такие как 36, которое является и квадратным, и треугольным, распадаются на два многоугольных множества. Задача определения, если даны два таких множества, всех чисел, которые принадлежат обоим, может быть решена путем сведения задачи к уравнению Пелля . Простейшим примером этого является последовательность квадратных треугольных чисел .

В следующей таблице приведен набор $s$ -угольных $t$ -угольных чисел для малых значений $s$ и $t$ .

В некоторых случаях, например, при $s = 10$ и $t = 4$ , в обоих наборах нет чисел, отличных от 1.

Проблема поиска чисел, принадлежащих трем многоугольным множествам, сложнее. Компьютерный поиск пятиугольных квадратных треугольных чисел дал только тривиальное значение 1, хотя доказательство того, что других таких чисел нет, пока не найдено. ^[5]

Число 1225 является гекатоникоситетрагональным ( $s = 124$ ), гексаконтагональным ( $s = 60$ ), икосиеннеагональным ( $s = 29$ ), шестиугольным, квадратным и треугольным.

Смотрите также

Примечания

^ ab Tattersall, James J. (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-75634-4.
^ ab Conway, John H. ; Guy, Richard (2012-12-06). Книга чисел . Springer Science & Business Media. стр. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3.
^ abcdefgh "Суммы обратных многоугольных чисел и теорема Гаусса" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-06-15 . Получено 2010-06-13 .
^ "За пределами Базельской проблемы: суммы обратных чисел фигурных чисел" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-05-29 . Получено 2010-05-13 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Пентагональное квадратно-треугольное число». MathWorld .

Ссылки

Словарь любопытных и интересных чисел издательства Penguin , Дэвид Уэллс ( издательство Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ].
Многоугольные числа в PlanetMath
Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольные числа». MathWorld .
Ф. Тапсон (1999). Оксфордский словарь по изучению математики (2-е изд.). Oxford University Press. стр. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

Внешние ссылки

«Многоугольное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Многоугольные числа: каждое s-многоугольное число от 1 до 1000, кликабельно для 2<=s<=337
Многоугольные числа на сетке спирали Улама на YouTube
Функция подсчета многоугольных чисел: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853