Уравнение интерферометрии N-щели

Уравнение

Квантовая механика была впервые применена к оптике , и интерференции в частности, Полем Дираком . ^[1] Ричард Фейнман в своих Лекциях по физике использует обозначения Дирака для описания мысленных экспериментов по двухщелевой интерференции электронов . ^[2] Подход Фейнмана был распространен на N -щелевые интерферометры либо для однофотонного освещения, либо для узкополосного лазерного освещения , то есть освещения неразличимыми фотонами , Фрэнком Дуарте . ^{[3] [4]} N - щелевой интерферометр был впервые применен для создания и измерения сложных интерференционных картин . ^{[3] [4]}

В этой статье описывается обобщенное уравнение интерферометрии N -щели, полученное с помощью нотации Дирака. Хотя изначально оно было выведено для воспроизведения и прогнозирования интерферограмм N -щели, ^{[3] [4]} это уравнение также имеет приложения к другим областям оптики.

Амплитуды вероятности иН- щелевое интерферометрическое уравнение

Схематическое изображение N -щелевого интерферометра сверху, показывающее положение плоскостей s , j и x . N -щелевая решетка, или решетка, расположена в точке j . Внутриинтерферометрическое расстояние может составлять несколько сотен метров. TBE — телескопический расширитель пучка, MPBE — многопризменный расширитель пучка .

В этом подходе амплитуда вероятности распространения фотона от источника s до плоскости интерференции x через массив щелей j задается с использованием скобочной нотации Дирака как ^[3]

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\langle x|j\rangle \langle j|s\rangle }$

Это уравнение представляет амплитуду вероятности фотона, распространяющегося из s в x через массив щелей j . Используя представление волновой функции для амплитуд вероятности, ^[1] и определяя амплитуды вероятности как ^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j|s\rangle &=\Psi \left(r_{j,s}\right)e^{-i\theta _{j}}\\\langle x|j\rangle &=\Psi \left(r_{x,j}\right)e^{-i\phi _{j}}\end{aligned}}}$

где θ _j и Φ _j — углы падения и дифракции фаз соответственно. Таким образом, общая амплитуда вероятности может быть переписана как

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)e^{-i\Omega _{j}}}$

где

${\displaystyle \Psi \left(r_{j}\right)=\Psi \left(r_{x,j}\right)\Psi \left(r_{j,s}\right)}$

и

${\displaystyle \Omega _{j}=\theta _{j}+\phi _{j}}$

После некоторых алгебраических действий соответствующая вероятность становится ^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle {\big |}\langle x|s\rangle {\big |}^{2}=\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)^{2}+2\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)\left(\sum _{m=j+1}^{N}\Psi \left(r_{m}\right)\cos \left(\Omega _{m}-\Omega _{j}\right)\right)}$

где N — общее количество щелей в массиве или решетке пропускания, а член в скобках представляет фазу, которая напрямую связана с точными разностями хода, полученными из геометрии массива из N щелей ( j ), внутриинтерферометрического расстояния и интерферометрической плоскости x . ^[5] В простейшей версии фазовый член может быть связан с геометрией с помощью

${\displaystyle \cos(\Omega _{m}-\Omega _{j})=\cos k|L_{m}-L_{m-1}|}$

где k — волновое число , а L _m и L _{m − 1} представляют точные разности хода. Здесь интерферометрическое уравнение Дирака — Дуарте (DD) — это распределение вероятностей, которое связано с распределением интенсивности, измеренным экспериментально. ^[6] Расчеты выполняются численно. ^[5]

Интерферометрическое уравнение DD применяется к распространению одного фотона или распространению ансамбля неразличимых фотонов и позволяет точно предсказывать измеренные N -щелевые интерферометрические паттерны непрерывно от ближнего до дальнего поля. ^{[5] [6]} Было показано, что интерферограммы, полученные с помощью этого уравнения, хорошо сравниваются с измеренными интерферограммами как для четных ( N = 2, 4, 6... ), так и для нечетных ( N = 3, 5, 7... ) значений N от 2 до 1600. ^{[5] [7]}

Приложения

На практическом уровне уравнение интерферометрии N -щели было введено для приложений визуализации ^[5] и обычно применяется для прогнозирования интерферограмм N -щели лазера как в ближнем, так и в дальнем поле. Таким образом, оно стало ценным инструментом для выравнивания больших и очень больших N -щелевых лазерных интерферометров ^{[8] [9],} используемых при изучении турбулентности ясного неба и распространения интерферометрических признаков для безопасной лазерной связи в космосе . Другие аналитические приложения описаны ниже.

Интерферограмма для N = 3 щелей с дифракционной картиной, наложенной на правое внешнее крыло. ^[9]

Обобщенная дифракция и рефракция

Уравнение интерферометрии с N -щелями было применено для описания классических явлений, таких как интерференция , дифракция , преломление ( закон Снеллиуса ) и отражение , в рациональном и унифицированном подходе с использованием принципов квантовой механики. ^{[7] [10]} В частности, этот интерферометрический подход был использован для вывода обобщенных уравнений преломления как для положительного, так и для отрицательного преломления , ^[11] таким образом обеспечивая четкую связь между теорией дифракции и обобщенным преломлением. ^[11]

Из фазового члена интерферометрического уравнения следует выражение

${\displaystyle d_{m}\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)=M\pi }$

можно получить, где М = 0, 2, 4... .

При n ₁ = n ₂ это уравнение можно записать как ^{[7] [10]}

${\displaystyle d_{m}\left(\pm \sin {\theta _{m}}\pm \sin {\phi _{m}}\right)=m\lambda }$

что является обобщенным уравнением дифракционной решетки . Здесь θ _m — угол падения, φ _m — угол дифракции, λ — длина волны, а m = 0, 1, 2... — порядок дифракции.

При определенных условиях, d _m ≪ λ , которые можно легко получить экспериментально, фазовый член становится ^{[7] [10]}

${\displaystyle \left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)=0}$

что представляет собой обобщенное уравнение рефракции ^[11] , где θ _m — угол падения, а φ _m теперь становится углом преломления.

Уравнение ширины линии резонатора

Кроме того, интерферометрическое уравнение с N -щелью было применено для вывода уравнения ширины линии резонатора , применимого к дисперсионным генераторам, таким как лазерные генераторы с многопризменной решеткой : ^[12]

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\frac {\partial \Theta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}}$

В этом уравнении Δ θ — расхождение пучка, а общая внутрирезонаторная угловая дисперсия — величина в скобках.

Визуализация с помощью преобразования Фурье

Исследователи, работающие над получением призрачных изображений с помощью преобразования Фурье, рассматривают уравнение интерферометрии с N -щелями ^{[3] [5] [10]} как способ исследования квантовой природы получения призрачных изображений. ^[13] Кроме того, подход с N -щелями является одним из нескольких подходов, применяемых для описания основных оптических явлений в связной и единой манере. ^[14]

Примечание: учитывая различную используемую терминологию для N -щелевой интерферометрии, следует четко указать, что уравнение N -щелевой интерферометрии применяется к двухщелевой интерференции, трехщелевой интерференции, четырехщелевой интерференции и т. д.

Квантовая запутанность

Принципы Дирака и вероятностная методология, использованные для вывода интерферометрического уравнения с N -щелями, также были использованы для вывода амплитуды вероятности квантовой запутанности поляризации ^[15]

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|x\right\rangle _{1}\left|y\right\rangle _{2}-\left|y\right\rangle _{1}\left|x\right\rangle _{2}{\bigr )}}$

и соответствующие амплитуды вероятности, описывающие распространение множественных пар квантов. ^[16]

Сравнение с классическими методами

Сравнение подхода Дирака с классическими методами при выполнении интерферометрических расчетов было проведено Трэвисом С. Тейлором и др . ^[17] Эти авторы пришли к выводу, что интерферометрическое уравнение, выведенное с помощью формализма Дирака, имеет преимущества в очень ближнем поле.

Некоторые различия между интерферометрическим уравнением ДД и классическими формализмами можно обобщить следующим образом:

• Классический подход Френеля используется для приложений ближнего поля, а классический подход Фраунгофера — для приложений дальнего поля. Это разделение не является необходимым при использовании интерферометрического подхода DD, поскольку этот формализм применим как к случаям ближнего, так и дальнего поля. ^[5]
• Подход Фраунгофера работает для плосковолнового освещения. ^[18] Подход DD работает как для плосковолнового освещения, так и для высокодифракционных схем освещения. ^[5]
• Уравнение интерферометрии ДД имеет статистический характер. Это не относится к классическим формулировкам.

До сих пор не было опубликовано сравнение с более общими классическими подходами, основанными на принципе Гюйгенса-Френеля или формуле дифракции Кирхгофа .

Смотрите также

• Расширитель луча
• Обозначение Дирака
• Дифракция Фраунгофера (математика)
• Оптическая связь в свободном пространстве
• Уравнение решетки
• Лазерная связь в космосе
• Ширина линии лазера
• Теория дисперсии с множественными призмами
• N- щелевой интерферометр

Ссылки

1. Dirac, PAM (1978). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Лондон: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-851208-0.^{[ нужна страница ]}
2. Фейнман, RP ; Лейтон, RB; Сэндс, M. (1965). Лекции Фейнмана по физике . Том III. Чтение: Эддисон Уэсли .^{[ нужна страница ]}
3. Duarte, FJ ; Paine, DJ (1989). Sze, RC; Duarte, FJ (ред.). «Квантово-механическое описание явлений интерференции N -щели». Lasers '88; Труды Международной конференции . McLean, VA: STS: 42–47. Bibcode :1989lase.conf...42D.
4. Duarte, FJ (1991). "Глава 2. Дисперсионные лазеры на красителях". В Duarte, FJ (ред.). Высокомощные лазеры на красителях . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54066-3.
5. Duarte, FJ (1993). «Об обобщенном уравнении интерференции и интерферометрических измерениях». Opt. Commun . 103 (1–2): 8–14. Bibcode :1993OptCo.103....8D. doi :10.1016/0030-4018(93)90634-H.
6. Duarte, FJ (2004). "Комментарий к 'Отражение, преломление и многощелевая интерференция'". Eur. J. Phys . 25 (5): L57–L58. Bibcode : 2004EJPh...25L..57D. doi : 10.1088/0143-0807/25/5/L04. S2CID  250829486.
7. Дуарте, FJ (2015). Перестраиваемая лазерная оптика (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: CRC. ISBN 978-1-4822-4529-5.^{[ нужна страница ]}
8. Дуарте, Ф. Дж.; Тейлор, Т. С.; Кларк, А. Б.; Дэвенпорт, У. Э. (2010). « Интерферометр с N -щелью: расширенная конфигурация». J. Opt . 12 (1): 015705. Bibcode : 2010JOpt...12a5705D. doi : 10.1088/2040-8978/12/1/015705. S2CID  121521124.
9. Duarte, FJ; Taylor, TS; Black, AM; Davenport, WE; Varmette, PG (2011). " N -щелевой интерферометр для безопасной оптической связи в свободном пространстве: длина интраинтерферометрического пути 527 м". J. Opt . 13 (3): 035710. Bibcode : 2011JOpt...13c5710D. doi : 10.1088/2040-8978/13/3/035710. S2CID  6086533.
10. Duarte, FJ (1997). «Интерференция, дифракция и преломление в обозначениях Дирака». Am. J. Phys . 65 (7): 637–640. Bibcode : 1997AmJPh..65..637D. doi : 10.1119/1.18613.
11. Duarte, FJ (2006). "Уравнения дисперсии с несколькими призмами для положительного и отрицательного преломления". Appl. Phys. B . 82 (1): 35–38. Bibcode :2006ApPhB..82...35D. doi :10.1007/s00340-005-1996-x. S2CID  120462686.
12. Дуарте, Ф. Дж. (1992). «Уравнение дисперсии полости: заметка о его происхождении». Appl. Opt . 31 (33): 6979–6982. Bibcode :1992ApOpt..31.6979D. doi :10.1364/AO.31.006979. PMID  20802556.
13. Лю, Х.; Шэнь, Х.; Чжу, Д.-М.; Хан, С. (2007). "Фурье-преобразование призрачных изображений с чистым дальним полем коррелированного теплового света". Phys. Rev. A. 76 ( 5): 053808. Bibcode : 2007PhRvA..76e3808L. doi : 10.1103/PhysRevA.76.053808.
14. Курусингал, Дж. (2007). «Закон нормального рассеяния – всеобъемлющий закон для распространения волн на границе раздела». J. Opt. Soc. Am. A. 24 ( 1): 98–108. Bibcode : 2007JOSAA..24...98K. doi : 10.1364/JOSAA.24.000098. PMID  17164848.
15. Дуарте, Ф. Дж. (2014). Квантовая оптика для инженеров . Нью-Йорк: CRC. ISBN 978-1-4398-8853-7. OCLC  871400712.
16. Дуарте, Ф. Дж. (2016). «Безопасная интерферометрическая связь космос-космос и ее связь с физикой квантовой запутанности». Appl. Phys. Rev. 3 ( 4): 041301. Bibcode :2016ApPRv...3d1301D. doi :10.1063/1.4966139.
17. Тейлор, ТС; и др. (1996). «Сравнение вычислений Фурье и Дирака для классической оптики». Труды Международной конференции по лазерам '95 . Маклин, Вирджиния: STS. стр. 487–492.
18. Фаулз, GR (1968). Введение в современную оптику . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон .^{[ нужна страница ]}