В математике , и в частности в универсальной алгебре , понятие n -арной группы (также называемой n-арной группой или мультиарной группой ) является обобщением понятия группы на множество G с n -арной операцией вместо бинарной операции. [1] Под n -арной операцией понимается любое отображение f: G n → G из n -й декартовой степени G в G . Аксиомы для n -арной группы определяются таким образом, что они сводятся к аксиомам группы в случае n = 2 . Самые ранние работы по этим структурам были выполнены в 1904 году Каснером и в 1928 году Дёрнте; [2] первое систематическое описание (то, что тогда называлось) полиадических групп было дано в 1940 году Эмилем Леоном Постом в знаменитой 143-страничной статье в Transactions of the American Mathematical Society . [3]
Самая простая для обобщения аксиома — это ассоциативный закон. Тернарная ассоциативность — это полиномиальное тождество ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , то есть равенство трех возможных скобок строки abcde , в которой заключены любые три последовательных символа. (Здесь подразумевается, что уравнения справедливы для всех выборов элементов a , b , c , d , e в G .) В общем случае n -арная ассоциативность — это равенство n возможных скобок строки, состоящей из n + ( n − 1) = 2 n − 1 различных символов, в которых заключены любые n последовательных символов. Множество G , замкнутое относительно ассоциативной n -арной операции, называется n -арной полугруппой. Множество G , замкнутое относительно любой (не обязательно ассоциативной) n -арной операции, называется n -арным группоидом .
Обратная аксиома обобщается следующим образом: в случае бинарных операций существование обратной означает, что ax = b имеет единственное решение для x , и аналогично xa = b имеет единственное решение. В тернарном случае мы обобщаем это до abx = c , axb = c и xab = c, каждое из которых имеет единственное решение, а n -арный случай следует аналогичной схеме существования единственного решения, и мы получаем n -арную квазигруппу.
n -арная группа — это n -арная полугруппа , которая также является n -арной квазигруппой.
Пост дал структурную теорему для n -арной группы в терминах ассоциированной группы. [3] : 245-246
В 2-арном случае может быть ноль или один элемент тождества: пустое множество является 2-арной группой, поскольку пустое множество является как полугруппой, так и квазигруппой, а каждая обитаемая 2-арная группа является группой. В n -арных группах для n ≥ 3 может быть ноль, один или много элементов тождества.
n - арный группоид ( G , f ) с f = ( x 1 ◦ x 2 ◦ ⋯ ◦ x n ) , где ( G , ◦) — группа, называется приводимым или производным от группы ( G , ◦). В 1928 году Дёрнте [2] опубликовал первые основные результаты: n -арный группоид, который приводим, является n -арной группой, однако для всех n > 2 существуют обитаемые n -арные группы, которые не приводимы. В некоторых n -арных группах существует элемент e (называемый n -арной единицей или нейтральным элементом), такой что любая строка из n -элементов, состоящая из всех e , за исключением одного места, отображается в элемент в этом месте. Например, в кватернарной группе с единицей e eeae = a для каждого a .
n -арная группа, содержащая нейтральный элемент, является приводимой. Таким образом, n -арная группа, которая не является приводимой , не содержит таких элементов. Существуют n -арные группы с более чем одним нейтральным элементом. Если множество всех нейтральных элементов n -арной группы непусто, оно образует n -арную подгруппу. [4]
Некоторые авторы включают тождество в определение n -арной группы, но, как упоминалось выше, такие n -арные операции являются просто повторяющимися бинарными операциями. Группы с внутренне n -арными операциями не имеют элемента тождества. [5]
Аксиомы ассоциативности и единственности решений в определении n -арной группы сильнее, чем им нужно быть. При предположении n -арной ассоциативности достаточно постулировать существование решения уравнений с неизвестным в начале или конце строки, или в одном месте, отличном от концов; например, в 6-арном случае xabcde = f и abcdex = f , или выражение типа abxcde = f . Тогда можно доказать, что уравнение имеет единственное решение для x в любом месте строки. [3] Аксиому ассоциативности можно также дать в более слабой форме. [1] : 17
Ниже приведен пример трехэлементной тройной группы, одной из четырех таких групп [6]
Понятие n -арной группы может быть далее обобщено до понятия ( n , m )-группы , также известной как векторнозначная группа , которая является множеством G с отображением f : G n → G m , где n > m , подчиняющимся тем же аксиомам, что и для n -арной группы, за исключением того, что результатом отображения является слово, состоящее из m букв вместо одной буквы. Таким образом, ( n ,1)-группа является n -арной группой. ( n , m )-группы были введены Г. Чупоной в 1983 году. [7]
