Многовариантное исчисление

Исчисление функций многих переменных

Многомерное исчисление (также известное как многомерное исчисление ) — это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференциация и интегрирование функций, включающих несколько переменных ( многомерных ), а не только одну. ^[1]

Многомерное исчисление можно рассматривать как элементарную часть исчисления на евклидовом пространстве . Частный случай исчисления в трехмерном пространстве часто называют векторным исчислением .

Введение

В одномерном исчислении такие операции, как дифференциация и интегрирование, применяются к функциям одной переменной. В многомерном исчислении требуется обобщить их на несколько переменных, и поэтому область определения является многомерной. Поэтому требуется осторожность в этих обобщениях из-за двух ключевых различий между одномерными и многомерными пространствами:

1. Существует бесконечное множество способов приблизиться к одной точке в более высоких измерениях, в отличие от двух (с положительного и отрицательного направления) в 1D;
2. С измерением связано несколько расширенных объектов; например, для одномерной функции она должна быть представлена ​​в виде кривой на двумерной декартовой плоскости , но функция с двумя переменными является поверхностью в трехмерном пространстве, в то время как кривые также могут существовать в трехмерном пространстве.

Следствием первого различия является различие в определении предела и дифференциации. Направленные пределы и производные определяют предел и дифференциал вдоль одномерной параметризованной кривой, сводя задачу к одномерному случаю. Из этих операторов можно построить дополнительные многомерные объекты.

Следствием второго различия является существование множественных типов интегрирования, включая линейные интегралы , поверхностные интегралы и объемные интегралы . Из-за неоднозначности этих интегралов первообразная или неопределенный интеграл не могут быть правильно определены.

Пределы

Изучение пределов и непрерывности в многомерном исчислении приводит к множеству противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями одной переменной.

Предел вдоль пути может быть определен путем рассмотрения параметризованного пути в n-мерном евклидовом пространстве. Любая функция может быть спроецирована на путь как 1D-функция . Предел для точки вдоль пути может быть, следовательно, определен как ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(s(t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s(t)}$

Обратите внимание, что значение этого предела может зависеть от формы , т.е. выбранного пути, а не только от точки, к которой приближается предел. ^{[1] : 19–22} Например, рассмотрим функцию ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

Если к точке приближаться по линии , или в параметрической форме: ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=kx}$

График функции f ( x , y ) = ( x ²y)/( x ⁴ + y ² )

Тогда предел по пути будет равен:

С другой стороны, если выбран путь (или параметрически ), то предел становится следующим: ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}$

Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные значения, для функции невозможно определить общий предел в этой точке . ${\displaystyle (0,0)}$

Общий предел может быть определен, если пределы для точки по всем возможным путям сходятся к одному и тому же значению, т.е. мы говорим для функции , что предел для некоторой точки равен L, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

для всех непрерывных функций таких, что . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Непрерывность

Из концепции предела вдоль пути мы можем вывести определение для многомерной непрерывности тем же способом, а именно: мы говорим для функции , которая непрерывна в точке , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

для всех непрерывных функций таких, что . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Как и в случае с пределами, непрерывность вдоль одного пути не подразумевает многомерной непрерывности. ${\displaystyle s(t)}$

Непрерывность по каждому аргументу недостаточна для многомерной непрерывности, что также можно увидеть из следующего примера. ^{[1] : 17–19} Например, для действительной функции с двумя действительными параметрами, непрерывность по при фиксированном и непрерывность по при фиксированном не влечет непрерывность . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Учитывать

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

Легко проверить, что эта функция равна нулю по определению на границе и вне четырехугольника . Кроме того, функции, определенные для константы и и по ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$и ${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

являются непрерывными. В частности,

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$для всех x и y . Следовательно, и, кроме того, вдоль осей координат, и . Следовательно, функция непрерывна вдоль обоих индивидуальных аргументов. ${\displaystyle f(0,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

Однако рассмотрим параметрический путь . Параметрическая функция становится ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$

Поэтому,

Отсюда ясно, что функция не является многомерной непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна по обеим координатам.

Теоремы о многомерных пределах и непрерывности

• Все свойства линейности и суперпозиции из исчисления с одной переменной переносятся в многомерное исчисление.
• Композиция : Если и являются многомерными непрерывными функциями в точках и соответственно, то также является многомерной непрерывной функцией в точке . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Умножение : Если и являются непрерывными функциями в точке , то непрерывна в , а также непрерывна в при условии, что . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• Если функция непрерывна в точке , то функция также непрерывна в этой же точке. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$
• Если является липшицево-непрерывной (с соответствующими нормированными пространствами по мере необходимости) в окрестности точки , то является многомерно непрерывной в . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Дифференциация

Направленная производная

Производная функции одной переменной определяется как

Используя расширение пределов, обсуждавшееся выше, можно затем расширить определение производной до скалярной функции вдоль некоторого пути : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

В отличие от пределов, для которых значение зависит от точного вида пути , можно показать, что производная вдоль пути зависит только от касательного вектора пути в точке , т. е . при условии, что является липшицевой функцией в точке , и что предел существует хотя бы для одного такого пути. ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s'(t_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$

Поэтому можно сгенерировать определение производной по направлению следующим образом: производная по направлению скалярной функции вдоль единичного вектора в некоторой точке равна ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

или, если выразить это в терминах обычной дифференциации,

что является хорошо определенным выражением, поскольку представляет собой скалярную функцию с одной переменной в . ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$ ${\displaystyle t}$

Невозможно определить уникальную скалярную производную без направления; например, ясно, что . Также возможно, что производные по направлению существуют для некоторых направлений, но не существуют для других. ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

Частичная производная

Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная многомерной функции — это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными. ^{[1] : 26ff}

Частную производную можно рассматривать как производную функции по направлению вдоль оси координат.

Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении оператор del ( ) используется для определения концепций градиента , дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якоби , может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование , которое напрямую изменяется от точки к точке в области определения функции. ${\displaystyle \nabla }$

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называются частными дифференциальными уравнениями или PDE. Эти уравнения, как правило, сложнее решить, чем обычные дифференциальные уравнения , которые содержат производные только по одной переменной. ^{[1] : 654ff}

Множественная интеграция

Кратный интеграл расширяет концепцию интеграла на функции любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть оценен как повторный интеграл или итерированный интеграл , пока подынтегральное выражение непрерывно во всей области интегрирования. ^{[1] : 367ff}

Поверхностный интеграл и линейный интеграл используются для интегрирования по искривленным многообразиям , таким как поверхности и кривые .

Основная теорема исчисления в многомерном пространстве

В одномерном исчислении основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в многомерном исчислении воплощается интегральными теоремами векторного исчисления: ^{[1] : 543ff}

• Теорема о градиенте
• Теорема Стокса
• Теорема о дивергенции
• Теорема Грина .

При более глубоком изучении многомерного исчисления становится ясно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса , которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям . ^[2]

Применения и использование

Методы многомерного исчисления используются для изучения многих объектов, представляющих интерес в материальном мире. В частности,

Многомерное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем , имеющих несколько степеней свободы . Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, а многомерное исчисление предоставляет инструменты для характеристики динамики системы .

Многомерное исчисление используется в оптимальном управлении непрерывными во времени динамическими системами . Оно используется в регрессионном анализе для вывода формул оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных .

Многомерное исчисление используется во многих областях естественных и социальных наук и инженерии для моделирования и изучения многомерных систем, которые демонстрируют детерминированное поведение. Например, в экономике выбор потребителя среди различных товаров и выбор производителя среди различных входов для использования и выходов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления.

Недетерминированные, или стохастические, системы можно изучать, используя другой вид математики, например, стохастическое исчисление .

Смотрите также

• Список тем по многомерному исчислению
• Многомерная статистика

Ссылки

1. Ричард Курант; Фриц Джон (14 декабря 1999 г.). Введение в исчисление и анализ Том II/2 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
2. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях. Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

Внешние ссылки

• Видеолекции Калифорнийского университета в Беркли по многомерному исчислению, осень 2009 г., профессор Эдвард Френкель
• Видеолекции Массачусетского технологического института по многомерному исчислению, осень 2007 г.
• Многомерное исчисление: бесплатный онлайн-учебник Джорджа Кейна и Джеймса Херода
• Многомерное исчисление онлайн: бесплатный онлайн-учебник Джеффа Книсли
• Многомерное исчисление – очень краткий обзор, проф. Блэр Перо, Массачусетский университет в Амхерсте
• Многовариантное исчисление, онлайн-текст д-ра Джерри Шурмана