Кости Непира — это ручное вычислительное устройство, созданное Джоном Непиром из Мерчистона , Шотландия, для вычисления произведений и частных чисел. Метод был основан на решетчатом умножении и также назывался рабдологией , словом, придуманным Непиром. Непир опубликовал свою версию в 1617 году . [1] Она была напечатана в Эдинбурге и посвящена его покровителю Александру Сетону .
Используя таблицы умножения, встроенные в стержни, умножение можно свести к операциям сложения , а деление к вычитаниям . Расширенное использование стержней позволяет извлекать квадратные корни . Кости Непера — это не то же самое, что логарифмы , с которыми также связано имя Непера, но они основаны на рассеченных таблицах умножения.
Полное устройство обычно включает в себя базовую доску с ободом; пользователь размещает палочки Непера и ободок для проведения умножения или деления. Левый край доски разделен на девять квадратов, содержащих числа от 1 до 9. В оригинальном дизайне Непера палочки сделаны из металла, дерева или слоновой кости и имеют квадратное поперечное сечение. На каждой из четырех сторон выгравирована таблица умножения. В некоторых более поздних дизайнах палочки плоские и имеют две таблицы или только одну, выгравированную на них, и сделаны из пластика или плотного картона . Набор таких костей может быть заключен в футляр для переноски.
Поверхность стержня отмечена девятью квадратами. Каждый квадрат , за исключением верхнего, разделен на две половины диагональной линией из нижнего левого угла в верхний правый. Квадраты содержат простую таблицу умножения . Первый содержит одну цифру , которую Нейпир назвал «единицей». Другие содержат кратные единице числа, а именно удвоенную единицу, утроенную единицу и так далее до девятого квадрата, содержащего девять раз больше числа в верхнем квадрате. Однозначные числа записываются в нижнем правом треугольнике, оставляя другой треугольник пустым, в то время как двузначные числа записываются с цифрой по обе стороны от диагонали.
Если таблицы держать на односторонних стержнях, то для умножения 4-значных чисел потребуется 40 стержней — поскольку числа могут иметь повторяющиеся цифры, то для каждой из цифр от 0 до 9 потребуется четыре копии таблицы умножения. Если использовать квадратные стержни, то 40 таблиц умножения можно записать на 10 стержнях. Нейпир привел подробную схему расположения таблиц таким образом, чтобы ни на одном стержне не было двух копий одной и той же таблицы, что позволяет представить каждое возможное четырехзначное число четырьмя из 10 стержней. Набор из 20 стержней, состоящий из двух идентичных копий 10 стержней Нейпира, позволяет производить вычисления с числами длиной до восьми цифр, а набор из 30 стержней можно использовать для 12-значных чисел.
Простейший вид умножения , числа с несколькими цифрами на число с одной цифрой, выполняется путем размещения палочек, представляющих многозначное число в рамке, напротив левого края. Ответ считывается со строки, соответствующей однозначному числу, которое отмечено слева от рамки, с небольшим количеством необходимого сложения, как объясняется в примерах ниже.
При умножении многозначного числа на другое многозначное число большее число устанавливается на стержнях рамки. Промежуточный результат выдается устройством для умножения на каждую из цифр меньшего числа. Они записываются, а окончательный результат вычисляется ручкой и бумагой.
Чтобы продемонстрировать, как использовать кости Непера для умножения, ниже приведены три примера возрастающей сложности.
В первом примере вычисляется 425 × 6 .
Кости Нейпира для чисел 4, 2 и 5 размещаются на доске в последовательности . Эти кости показывают большую цифру, которая будет умножаться. Числа ниже в каждом столбце, или кости, являются цифрами, найденными с помощью обычных таблиц умножения для соответствующего целого числа, расположенными выше и ниже диагональной линии. (Например, цифры, показанные в седьмой строке кости 4, это 2 ⁄ 8 , что представляет собой 7 × 4 = 28 .) В примере ниже для 425 × 6 кости здесь изображены как красные (4), желтые (2) и синие (5).
Самый левый столбец, предшествующий костям, показанным цветными, может представлять кость 1. (Пустое место или ноль в верхнем левом углу каждой цифры, разделенные диагональной линией, следует понимать, поскольку 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 x 3 = 03 и т. д.) Выбирается небольшое число, обычно от 2 до 9, на которое умножается большое число. В этом примере небольшое число, на которое умножается большее, — 6. Горизонтальная строка, в которой стоит это число, — единственная строка, необходимая для выполнения оставшихся вычислений, и теперь ее можно рассматривать изолированно.
Для расчета цифры, разделенные вертикальными линиями (т. е. парные между диагональными линиями, переходящими от одной кости к другой), складываются вместе, образуя цифры произведения. Последнее (самое правое) число в этой строке никогда не потребует сложения, так как оно всегда изолировано последней диагональной линией и всегда будет последней цифрой произведения. В этом примере есть четыре цифры, так как есть четыре группы значений костей, лежащих между диагональными линиями. Цифры произведения будут стоять в том порядке, в котором они вычислялись слева направо. За исключением первой и последней цифры, каждая цифра произведения будет суммой двух значений, взятых из двух разных костей.
Значения костей складываются, как описано выше, чтобы найти цифры произведения. На этой диаграмме третья цифра произведения из желтых и синих костей имеет соответствующие значения, окрашенные в зеленый цвет. Каждая сумма записана в поле ниже. Последовательность суммирования слева направо дает цифру 2550. Следовательно, решение для умножения 425 на 6 — 2550.
При умножении на большие однозначные числа часто бывает так, что после добавления диагонального столбца сумма чисел дает число 10 или больше.
Во втором примере вычисляется 6785 × 8 .
Как и в примере 1, на доске размещаются кости, соответствующие наибольшему числу. Для этого примера кости 6, 7, 8 и 5 были размещены в правильном порядке, как показано ниже.
В первом столбце находится число, на которое умножается наибольшее число. В этом примере это число было 8. Для оставшихся вычислений будет использоваться только строка 8, поэтому остальная часть доски была очищена для ясности объяснения оставшихся шагов.
Как и прежде, каждый диагональный столбец оценивается, начиная с правой стороны. Если сумма диагонального столбца равна 10 или больше, разряд «десятков» этой суммы должен быть перенесен и сложен вместе с числами в соседнем левом столбце, как показано ниже.
После оценки каждого диагонального столбца вычисленные числа считываются слева направо для получения окончательного ответа; в этом примере было получено 54280.
Следовательно: Решением для умножения 6785 на 8 является 54280.
Третий пример вычисляет 825 × 913 .
Соответствующие ведущему числу кости размещаются на доске. Для этого примера кости 8, 2 и 5 были размещены в правильном порядке, как показано ниже.
Для умножения на многозначное число рассматриваются несколько строк. В этом примере строки для 9, 1 и 3 были удалены с доски для ясности.
Каждая строка оценивается индивидуально, и каждый диагональный столбец добавляется, как объяснялось в предыдущих примерах. Суммы считываются слева направо, что дает числа, необходимые для последующих вычислений сложения длинной рукой. Для этого примера строка 9, строка 1 и строка 3 оценивались отдельно, чтобы получить результаты, показанные ниже.
Начиная с самой правой цифры второго числа, суммы размещаются в строках в последовательном порядке справа налево друг под другом, при этом в качестве заполнителя используется 0.
2475 825 0 7425 00
Строки и заполнители суммируются для получения окончательного ответа.
2475 8250+ 742500 753225
В этом примере окончательный ответ составил 753225. Следовательно: Решением для умножения 825 на 913 является 753225.
Деление выполняется аналогичным образом. Чтобы разделить 46785399 на 96431, на доске размещаются планки для делителя (96431), как показано на рисунке ниже. Используя счеты , все произведения делителя от 1 до 9 находятся путем считывания отображаемых чисел. Обратите внимание, что делимое имеет восемь цифр, тогда как частичные произведения (за исключением первой) все имеют шесть. Поэтому последние две цифры 46785399, а именно «99», временно игнорируются, оставляя число 467853. Затем находится наибольшее частичное произведение, которое меньше усеченного делимого. В этом случае 385724. Две вещи должны быть отмечены, как показано на схеме: поскольку 385724 находится в строке «4» счет, «4» отмечена как самая левая цифра частного; частичное произведение, выровненное по левому краю, под исходным делимым также записывается. Два члена вычитаются, что оставляет 8212999. Те же шаги повторяются: число усекается до шести цифр, выбирается частичное произведение, которое сразу меньше усеченного числа, номер строки записывается как следующая цифра частного, и частичное произведение вычитается из разницы, найденной при первом повторении. Процесс показан на схеме. Цикл повторяется до тех пор, пока результат вычитания не станет меньше делителя. Оставшееся число является остатком.
Итак, в этом примере то, что осталось, представляет собой частное 485 с остатком 16364. Процесс обычно останавливается здесь, и ответ использует дробную форму 485+16364/96431 .
Для большей точности цикл продолжается, чтобы найти необходимое количество знаков после запятой. Десятичная точка ставится после последней цифры частного, а к остатку добавляется ноль, что дает 163640. Цикл продолжается, каждый раз добавляя ноль к результату после вычитания.
Для извлечения квадратного корня используется дополнительная кость, которая отличается от других тем, что имеет три столбца. Первый столбец имеет первые девять квадратных чисел, второй — первые девять четных чисел, а последний — числа от 1 до 9.
Чтобы найти квадратный корень из числа 46785399, его цифры группируются по двое, начиная справа, так что это выглядит следующим образом:
Сначала выбирается самая левая группа, в данном случае 46. Выбирается самый большой квадрат на квадратной корневой кости, меньший 46, что составляет 36 из шестой строки. Первая цифра решения — 6, поскольку была выбрана шестая строка.
Затем на доске выставляется число 12, указанное во втором столбце шестой строки на костяшке квадратного корня.
Значение в первом столбце шестой строки, 36, вычитается из 46, в результате чего остается 10.
Следующая группа цифр, 78, добавляется к 10; в результате получается остаток 1078.
На данном этапе плата и промежуточные расчеты должны выглядеть следующим образом:
Числа в каждой строке «считываются», игнорируя второй и третий столбцы из квадратного корня; они записываются. (Например, шестая строка читается как: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 ).
Как и в умножении, показанном ранее, числа читаются справа налево, а диагональные числа добавляются сверху направо и слева вниз ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 ).
Найдено наибольшее число, меньшее текущего остатка, 1078 (из восьмой строки).
Как и прежде, 8 добавляется для получения следующей цифры квадратного корня, а значение восьмой строки, 1024, вычитается из текущего остатка, 1078, чтобы получить 54. Считывается второй столбец восьмой строки на кости квадратного корня, 16, и число устанавливается на доске следующим образом.
Текущее число на доске — 12. Первая цифра 16 прибавляется к 12, а вторая цифра 16 добавляется к результату. Таким образом, доска должна быть установлена следующим образом:
Теперь таблица и промежуточные расчеты выглядят так.
Снова найдена строка с наибольшим значением, меньшим текущего частичного остатка, 5453. На этот раз это третья строка с 4089.
Следующая цифра квадратного корня — 3. Повторяются те же шаги, что и раньше, и 4089 вычитается из текущего остатка, 5453, чтобы получить 1364 в качестве следующего остатка. Когда доска перестраивается, второй столбец квадратной кости корня — 6, одна цифра. Таким образом, 6 добавляется к текущему числу на доске, 136, чтобы оставить 1366 на доске.
Процесс повторяется снова. Теперь наибольшее значение на доске, меньшее текущего остатка, 136499, составляет 123021 из девятой строки.
Часто не нужно находить значение каждой строки, чтобы получить ответ. Строку, в которой находится ответ, можно угадать, посмотрев на число на первых нескольких костях и сравнив его с первыми несколькими цифрами остатка. Но диаграммы показывают значение всех строк, чтобы сделать его понятным.
К результату добавляется 9, а из текущего остатка вычитается 123021.
Если все цифры использованы и остался остаток, то целая часть решена, но дробную часть все еще необходимо найти.
Если целая часть решена, текущий результат, возведенный в квадрат ( 6839 2 = 46771921 ), должен быть наибольшим полным квадратом, меньшим 46785899.
Эта идея используется позже для понимания того, как работает метод, но можно сгенерировать и больше цифр.
Подобно нахождению дробной части при делении в столбик , к остатку добавляются два нуля, чтобы получить новый остаток 1347800. Второй столбец девятой строки квадратной корневой кости равен 18, а текущее число на доске — 1366.
вычисляется так, чтобы на доске оказалось 13678.
Теперь доска и промежуточные вычисления выглядят так.
Девятая строка с 1231101 — это наибольшее значение, меньшее остатка, поэтому первая цифра дробной части квадратного корня равна 9.
Значение девятой строки вычитается из остатка и добавляется еще несколько нулей, чтобы получить новый остаток 11669900. Второй столбец в девятой строке равен 18 с 13678 на доске, поэтому
вычисляется так, чтобы на доске было 136798.
Шаги можно продолжать, чтобы найти столько цифр, сколько нужно, и если нужная точность достигнута. Если остаток становится нулевым, это означает, что был найден точный квадратный корень.
Найдя нужное количество цифр, легко определить, нужно ли округлять его в большую сторону, т. е. менять последнюю цифру. Не нужно искать другую цифру, чтобы увидеть, равна она или больше 5. К корню добавляется 25, и он сравнивается с остатком; если он меньше или равен остатку, то следующая цифра будет не менее пяти и необходимо округление в большую сторону. В приведенном выше примере 6839925 меньше 11669900, поэтому корень нужно округлить до 6840,0.
Чтобы извлечь квадратный корень из числа, которое не является целым числом, скажем, 54782,917, все то же самое, за исключением того, что цифры слева и справа от десятичной точки сгруппированы в двойки.
Таким образом, 54782,917 будет сгруппировано как
Затем квадратный корень можно найти, используя ранее упомянутый процесс.
В 19 веке кости Непера были преобразованы, чтобы их было легче читать. Стержни были сделаны под углом около 65°, так что треугольники, которые нужно было добавить, были выровнены. В этом случае в каждом квадрате стержня единица находится справа, а десятка (или ноль) слева.
Стержни были сделаны таким образом, что вертикальные и горизонтальные линии были более заметны, чем линия, где стержни соприкасались, что делало два компонента каждой цифры результата более удобными для чтения. Таким образом, на рисунке сразу видно, что:
В 1891 году Анри Женай изобрел вариант костей Непера, которые стали известны как линейки Женайля–Люка . Представляя перенос графически, результаты простых задач на умножение можно читать напрямую, без промежуточных устных вычислений. [2]
В следующем примере вычисляется 52749 × 4 = 210996 .
Медиа, связанные с костями Нейпира на Wikimedia Commons