Nef линейный комплект

Понятие в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии линейное расслоение на проективном многообразии является nef , если оно имеет неотрицательную степень на каждой кривой в многообразии. Классы nef линейных расслоений описываются выпуклым конусом , а возможные сжатия многообразия соответствуют некоторым граням nef конуса. Ввиду соответствия между линейными расслоениями и дивизорами (построенными из подмногообразий коразмерности -1) существует эквивалентное понятие nef дивизора .

Определение

В более общем случае линейное расслоение L на собственной схеме X над полем k называется численно эффективным, если оно имеет неотрицательную степень на каждой (замкнутой неприводимой ) кривой в X. ^[1] ( Степень линейного расслоения L на собственной кривой C над k — это степень дивизора ( s ) любого ненулевого рационального сечения s из L. ) Линейное расслоение также можно назвать обратимым пучком .

Термин «nef» был введен Майлзом Ридом в качестве замены более старых терминов «арифметически эффективный» (Zariski 1962, определение 7.6) и «численно эффективный», а также фразы «численно в конечном итоге свободный». ^[2] Более старые термины вводили в заблуждение, учитывая примеры ниже.

Каждое линейное расслоение L на собственной кривой C над k , имеющее глобальное сечение , которое не является тождественно нулем, имеет неотрицательную степень. В результате линейное расслоение без базисных точек на собственной схеме X над k имеет неотрицательную степень на каждой кривой в X ; то есть оно является nef. ^[3] В более общем смысле линейное расслоение L называется полуобильным, если некоторая положительная тензорная степень является nef. Из этого следует, что полуобильное линейное расслоение является nef. Полуобильные линейные расслоения можно считать основным геометрическим источником nef линейных расслоений, хотя эти два понятия не эквивалентны; см. примеры ниже. ${\displaystyle L^{\otimes a}}$

Дивизор Картье D на собственной схеме X над полем называется численно эффективным, если соответствующее линейное расслоение O ( D ) является численно эффективным на X. Эквивалентно, D является численно эффективным, если число пересечений неотрицательно для каждой кривой C в X. ${\displaystyle D\cdot C}$

Возвращаясь от линейных расслоений к дивизорам, первый класс Черна — это изоморфизм из группы Пикара линейных расслоений на многообразии X в группу дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности . Явно, первый класс Черна — это дивизор ( s ) любого ненулевого рационального сечения s из L. ^[4 ] ${\displaystyle c_{1}(L)}$

Конус нефа

Для работы с неравенствами удобно рассматривать R -дивизоры, то есть конечные линейные комбинации дивизоров Картье с действительными коэффициентами. R -дивизоры по модулю численной эквивалентности образуют действительное векторное пространство конечной размерности, группу Нерона–Севери, тензорную с действительными числами. ^[5] (Явно: два R -дивизора называются численно эквивалентными, если они имеют одинаковое число пересечений со всеми кривыми в X .) R -дивизор называется nef, если он имеет неотрицательную степень на каждой кривой. Nef R -дивизоры образуют замкнутый выпуклый конус в , nef-конус Nef( X ). ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Конус кривых определяется как выпуклый конус линейных комбинаций кривых с неотрицательными действительными коэффициентами в действительном векторном пространстве 1-циклов по модулю числовой эквивалентности. Векторные пространства и являются двойственными друг другу посредством пересечения пар, а nef-конус (по определению) является двойственным конусом конуса кривых. ^[6] ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$

Важной проблемой в алгебраической геометрии является анализ того, какие линейные расслоения являются обильными , поскольку это равносильно описанию различных способов, которыми многообразие может быть вложено в проективное пространство. Одним из ответов является критерий Клеймана (1966): для проективной схемы X над полем линейное расслоение (или R -дивизор) является обильным тогда и только тогда, когда его класс в лежит внутри nef-конуса. ^[7] ( R -дивизор называется обильным, если его можно записать в виде положительной линейной комбинации обильных дивизоров Картье.) Из критерия Клеймана следует, что для X проективного каждый nef R -дивизор на X является пределом обильных R -дивизоров в . Действительно, для D nef и A обильно, D + cA обильно для всех действительных чисел c > 0. ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Метрическое определение пучков линий nef

Пусть X — компактное комплексное многообразие с фиксированной эрмитовой метрикой , рассматриваемое как положительная (1,1)-форма . Согласно Жан-Пьеру Демайи , Томасу Петернеллу и Михаэлю Шнайдеру, голоморфное линейное расслоение L на X называется nef, если для каждого существует гладкая эрмитова метрика на L , кривизна которой удовлетворяет . Когда X проективен над C , это эквивалентно предыдущему определению (что L имеет неотрицательную степень на всех кривых в X ). ^[8] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$

Даже для X, проективного над C , nef-линейное расслоение L не обязательно должно иметь эрмитову метрику h с кривизной , что объясняет более сложное определение, данное выше. ^[9] ${\displaystyle \Theta _{h}(L)\geq 0}$

Примеры

• Если X — гладкая проективная поверхность, а C — (неприводимая) кривая в X с числом самопересечения , то C является nef на X , поскольку любые две различные кривые на поверхности имеют неотрицательное число пересечения. Если , то C является эффективным, но не nef на X . Например, если X — раздутие гладкой проективной поверхности Y в точке, то исключительная кривая E раздутия имеет . ${\displaystyle C^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle C^{2}<0}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$ ${\displaystyle E^{2}=-1}$
• Каждый эффективный делитель на флаговом многообразии или абелевом многообразии является численно эффективным, учитывая, что эти многообразия имеют транзитивное действие связной алгебраической группы . ^[10]
• Каждое линейное расслоение L степени 0 на гладкой комплексной проективной кривой X является численно эффективным, но L является полуобильным тогда и только тогда, когда L является кручением в группе Пикара X. Для X рода g не менее 1 большинство линейных расслоений степени 0 не являются кручением, учитывая, что якобиан X является абелевым многообразием размерности g .
• Каждое полуобильное линейное расслоение является nef, но не каждое nef линейное расслоение даже численно эквивалентно полуобильному линейному расслоению. Например, Дэвид Мамфорд построил линейное расслоение L на подходящей линейчатой ​​поверхности X, так что L имеет положительную степень на всех кривых, но число пересечений равно нулю. ^[11] Из этого следует, что L является nef, но никакое положительное кратное не является численно эквивалентным эффективному дивизору. В частности, пространство глобальных сечений равно нулю для всех положительных целых чисел a . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})}$

Сокращения и конус nef

Сжатие нормального проективного многообразия X над полем k является сюръективным морфизмом с Y — нормальным проективным многообразием над k, таким что . (Последнее условие подразумевает, что f имеет связные слои, и это эквивалентно тому, что f имеет связные слои, если k имеет нулевую характеристику . ^[12] ) Сжатие называется расслоением, если dim( Y ) < dim( X ). Сжатие с dim( Y ) = dim( X ) автоматически является бирациональным морфизмом . ^[13] (Например, X может быть раздутием гладкой проективной поверхности Y в точке.) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}O_{X}=O_{Y}}$

Грань F выпуклого конуса N означает выпуклый подконус такой, что любые две точки N , сумма которых лежит в F, сами должны быть в F . Стягивание X определяет грань F nef - конуса X , а именно пересечение Nef( X ) с пулбэком . Наоборот, при заданном многообразии X грань F nef-конуса определяет стягивание с точностью до изоморфизма. Действительно, существует полуобильное линейное расслоение L на X , класс в которого находится внутри F (например, возьмем L в качестве пулбэка на X любого обильного линейного расслоения на Y ). Любое такое линейное расслоение определяет Y с помощью конструкции Proj : ^[14] ${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

Описывая Y в геометрических терминах: кривая C в X отображается в точку в Y тогда и только тогда, когда L имеет нулевую степень на C.

В результате, существует взаимно-однозначное соответствие между сжатиями X и некоторыми гранями nef-конуса X. ^[15] (Это соответствие также можно сформулировать двойственно, в терминах граней конуса кривых . ) Знание того, какие nef-линейные расслоения являются полуобильными, определило бы, какие грани соответствуют сжатиям. Теорема о конусе описывает значительный класс граней, которые соответствуют сжатиям, а гипотеза об обилии дала бы больше.

Пример: Пусть X будет раздутием комплексной проективной плоскости в точке p . Пусть H будет обратным проецированием в X прямой на , и пусть E будет исключительной кривой раздутия . Тогда X имеет число Пикара 2, что означает, что вещественное векторное пространство имеет размерность 2. По геометрии выпуклых конусов размерности 2, nef-конус должен быть натянут на два луча; явно, это лучи, натянутые на H и H − E . ^[16] В этом примере оба луча соответствуют сжатиям X : H дает бирациональный морфизм , а H − E дает расслоение со слоями, изоморфными (соответствующими прямым в через точку p ). Поскольку nef-конус X не имеет других нетривиальных граней, это единственные нетривиальные сжатия X ; это было бы сложнее увидеть без связи с выпуклыми конусами. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Примечания

1. Лазарсфельд (2004), Определение 1.4.1.
2. Рид (1983), раздел 0.12f.
3. Лазарсфельд (2004), Пример 1.4.5.
4. Лазарсфельд (2004), Пример 1.1.5.
5. Лазарсфельд (2004), Пример 1.3.10.
6. Лазарсфельд (2004), Определение 1.4.25.
7. Лазарсфельд (2004), Теорема 1.4.23.
8. Демайли и др. (1994), раздел 1.
9. Демайли и др. (1994), Пример 1.7.
10. Лазарсфельд (2004), Пример 1.4.7.
11. Лазарсфельд (2004), Пример 1.5.2.
12. Лазарсфельд (2004), Определение 2.1.11.
13. Лазарсфельд (2004), Пример 2.1.12.
14. Лазарсфельд (2004), Теорема 2.1.27.
15. Коллар и Мори (1998), Примечание 1.26.
16. Коллар и Мори (1998), Лемма 1.22 и пример 1.23 (1).

Ссылки

• Демайи, Жан-Пьер ; Петернелл, Томас; Шнайдер, Майкл (1994), «Компактные комплексные многообразия с численно эффективными касательными расслоениями» (PDF) , Журнал алгебраической геометрии , 3 : 295–345, MR  1257325
• Коллар, Янош ; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, г-н  1658959
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии , т. 1, Берлин: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, МР  2095471
• Рид, Майлз (1983), «Минимальные модели канонических 3-мерных многообразий», Алгебраические и аналитические многообразия (Токио, 1981) , Advanced Studies in Pure Mathematics, т. 1, Северная Голландия, стр. 131–180, doi : 10.2969/aspm/00110131 , ISBN 0-444-86612-4, МР  0715649
• Зариски, Оскар (1962), «Теорема Римана-Роха для больших кратностей эффективного дивизора на алгебраической поверхности», Annals of Mathematics , 2, 76 (3): 560–615, doi :10.2307/1970376, JSTOR  1970376, MR  0141668