Положительные и отрицательные стороны

Разложение действительных функций

Положительные и отрицательные части f ( x ) = x ² − 4

В математике положительная часть действительной или расширенной действительной функции определяется формулой $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ if }}f(x)>0\\0&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$$

Интуитивно график получается путем взятия графика функции , отбрасывания части под осью x и присвоения ей нулевого значения. ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$

Аналогично, отрицательная часть f определяется как $${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ if }}f(x)<0\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Обратите внимание, что обе функции f ⁺ и f ⁻ являются неотрицательными. Особенностью терминологии является то, что «отрицательная часть» не является ни отрицательной, ни частью (подобно тому, как мнимая часть комплексного числа не является ни мнимой, ни частью).

Функцию f можно выразить через f ⁺ и f ⁻ следующим образом: $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

Также обратите внимание, что $${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Используя эти два уравнения, можно выразить положительную и отрицательную части как $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}}$$

Другое представление, использующее скобку Айверсона, выглядит так: $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&=[f>0]f\\f^{-}&=-[f<0]f.\end{aligned}}}$$

Можно определить положительную и отрицательную часть любой функции со значениями в линейно упорядоченной группе .

Функция единичного линейного изменения является положительной частью функции тождества .

Теоретико-мерные свойства

При наличии измеримого пространства ( X , Σ) расширенная вещественная функция f измерима тогда и только тогда, когда измеримы ее положительная и отрицательная части. Следовательно, если такая функция f измерима, то измерима и ее абсолютное значение | f | , будучи суммой двух измеримых функций . Обратное, однако, не обязательно выполняется: например, если взять f как , где V — множество Витали , то ясно, что f неизмерима, но ее абсолютное значение измеримо, будучи постоянной функцией. $${\displaystyle f=1_{V}-{\frac {1}{2}},}$$

Положительная и отрицательная части функции используются для определения интеграла Лебега для действительной функции. Аналогично этому разложению функции можно разложить знаковую меру на положительную и отрицательную части — см. теорему разложения Хана .

Смотрите также

• Выпрямитель (нейронные сети)
• Чётные и нечётные функции
• Действительная и мнимая части

Ссылки

• Джонс, Фрэнк (2001). Интеграция Лебега в евклидовом пространстве (ред. ред.). Садбери, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1708-8.
• Хантер, Джон К; Нахтергаеле, Бруно (2001). Прикладной анализ . Сингапур; Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
• Рана, Индер К (2002). Введение в измерение и интегрирование (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2974-2.

Внешние ссылки

• Положительная часть на MathWorld