Нервный комплекс

Построение нерва открытого хорошего покрытия, содержащего 3 множества на плоскости.

В топологии нервный комплекс семейства множеств — это абстрактный комплекс , который записывает схему пересечений между множествами в семействе. Он был введен Павлом Александровым ^[1] и теперь имеет много вариантов и обобщений, среди которых нерв Чеха покрытия, который в свою очередь обобщается гиперпокрытиями . Он охватывает многие интересные топологические свойства алгоритмическим или комбинаторным способом. ^[2]

Основное определение

Пусть будет набором индексов и будет семейством наборов . Нерв — это набор конечных подмножеств набора индексов . Он содержит все конечные подмножества , такие что пересечение которых подиндексы находятся в непусто: ^{[3] : 81} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J\subseteq I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}$

В первоначальном определении Александрова множества являются открытыми подмножествами некоторого топологического пространства . ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

Множество может содержать синглетоны (элементы такие, что непустое), пары (пары элементов такие, что ), триплеты и т. д. Если , то любое подмножество также находится в , что делает абстрактный симплициальный комплекс . Поэтому N(C) часто называют нервным комплексом . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle J\in N(C)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle C}$

Примеры

1. Пусть X — окружность и , где — дуга, покрывающая верхнюю половину , а — дуга, покрывающая его нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть все ). Тогда , который является абстрактным 1-симплексом. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$
2. Пусть X — окружность и , где каждая из них — дуга, покрывающая одну треть , с некоторым перекрытием с соседним . Тогда . Обратите внимание, что {1,2,3} не входит в , поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто; как и незаполненный треугольник. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$

Чеховский нерв

При наличии открытого покрытия топологического пространства или, в более общем смысле, покрытия в сайте , мы можем рассмотреть парные волокнистые произведения , которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями . Совокупность всех таких пересечений может быть обозначена как , а тройные пересечения как . ${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle C\times _{X}C}$ ${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

Рассматривая естественные отображения и , мы можем построить симплициальный объект, определяемый , n-кратным волокнистым произведением. Это нерв Чеха. ^[4] ${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

Взяв связные компоненты, мы получаем симплициальное множество , которое можно реализовать топологически: . ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

Теоремы о нервах

Нервный комплекс — это простой комбинаторный объект. Зачастую он гораздо проще, чем лежащее в его основе топологическое пространство (объединение множеств в ). Поэтому возникает естественный вопрос: эквивалентна ли топология топологии . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

В общем случае это не обязательно так. Например, можно покрыть любую n -сферу двумя стягиваемыми множествами и , имеющими непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае — абстрактный 1-симплекс, который похож на прямую, но не на сферу. ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle N(C)}$

Однако в некоторых случаях отражает топологию X. Например, если окружность покрыта тремя открытыми дугами, пересекающимися попарно, как в примере 2 выше, то является 2-симплексом (без его внутренней части) и гомотопически эквивалентен исходной окружности. ^[5] ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$

Теорема о нерве (или лемма о нерве ) — это теорема, которая дает достаточные условия на C, гарантирующие, что отражает, в некотором смысле, топологию . Теорема о функториальном нерве — это теорема о нерве, которая является функториальной в соответствующем смысле, что, например, имеет решающее значение в топологическом анализе данных . ^[6] ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

Теорема Лерея о нерве

Основная теорема Жана Лере о нерве гласит, что если любое пересечение множеств в стягиваемо ( эквивалентно: для каждого конечного множества оно либо пусто, либо стягиваемо; эквивалентно: C — хорошее открытое покрытие ), то оно гомотопически эквивалентно . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

Теорема Борсука о нервах

Существует дискретная версия, приписываемая Борсуку . ^{[7] [3] : 81, Теория 4.4.4} Пусть K ₁ ,...,K _n — абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K. Пусть U _i = || K _i || = геометрическая реализация K i _, и обозначим нерв { U ₁ , ... , U _n } через N .

Если для каждого непустого пересечение либо пусто, либо стягиваемо , то N гомотопически эквивалентно K. ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Более сильная теорема была доказана Андерсом Бьёрнером . ^[8] если для каждого непустого пересечение либо пусто, либо (k-|J|+1)-связно , то для каждого j ≤ k j -я гомотопическая группа N изоморфна j -й гомотопической группе K. В частности, N является k -связным тогда и только тогда, когда K является k -связным . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Теорема Чеха о нерве

Другая теорема о нерве относится к приведенному выше нерву Чеха: если компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пространство гомотопически эквивалентно . [ ⁹ ] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$ ${\displaystyle X}$

Теорема о гомологическом нерве

Следующая теорема о нерве использует группы гомологии пересечений множеств в покрытии. ^[10] Для каждого конечного обозначим j -ю редуцированную группу гомологии . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Если H _J,j является тривиальной группой для всех J в k -скелете N( C ) и для всех j в {0, ..., k -dim( J )}, то N( C ) является "гомологически эквивалентным" X в следующем смысле:

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}$для всех j из {0, ..., k };
• если то . ${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

Смотрите также

• Гиперпокрытие

Ссылки

1. Александров, PS (1928). «Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung». Математические Аннален . 98 : 617–635. дои : 10.1007/BF01451612. S2CID  119590045.
2. Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман (1952-12-31). Основы алгебраической топологии . Принстон: Princeton University Press . doi :10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.
3. Matoušek, Jiří (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., Раздел 4.3
4. "Чех нерв в nLab" . ncatlab.org . Проверено 7 августа 2020 г.
5. Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969). Этальная гомотопия . Конспект лекций по математике . Том 100. doi :10.1007/bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN  0075-8434.
6. Бауэр, Ульрих; Кербер, Михаэль; Ролл, Фабиан; Ролл, Александр (2023). «Единый взгляд на теорему о функториальном нерве и ее вариации». Expositiones Mathematicae . arXiv : 2203.03571 . doi :10.1016/j.exmath.2023.04.005.
7. Борсук, Кароль (1948). «О вложении систем компактов в симплициальные комплексы». Fundamenta Mathematicae . 35 (1): 217–234. doi : 10.4064/fm-35-1-217-234 . ISSN  0016-2736.
8. Бьёрнер, Андерс (2003-04-01). «Нервы, волокна и гомотопические группы». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 102 (1): 88–93. doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.
9. Теорема о нервах в n Lab
10. Мешулам, Рой (01.01.2001). «Комплекс клик и соответствие гиперграфов». Combinatorica . 21 (1): 89–94. doi :10.1007/s004930170006. ISSN  1439-6912. S2CID  207006642.