В математике алгебра Ли нильпотентна , если ее нижний центральный ряд заканчивается нулевой подалгеброй. Нижний центральный ряд представляет собой последовательность подалгебр![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{ \mathfrak {g}}]]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}}, [{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}]]]\geq . ..}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы пишем и для всех . Если нижний центральный ряд со временем доходит до нулевой подалгебры, то алгебра Ли называется нильпотентной. Нижний центральный ряд для алгебр Ли аналогичен нижнему центральному ряду в теории групп , а нильпотентные алгебры Ли являются аналогами нильпотентных групп .![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=[{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}_{n-1}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Нильпотентные алгебры Ли — это в точности те, которые можно получить из абелевых алгебр Ли путем последовательных центральных расширений .
Обратите внимание, что определение означает, что, если рассматривать ее как неассоциативную неединичную алгебру, алгебра Ли нильпотентна, если она нильпотентна как идеал.![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение
Пусть – алгебра Ли . Говорят, что оно нильпотентно , если нижний центральный ряд обрывается, т. е. если для некоторого![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\in \mathbb {N}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Явно это означает, что
![{\displaystyle [X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{ X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
так что объявление X 1 объявление X 2 ⋅⋅⋅ объявление X n знак равно 0 .
Эквивалентные условия
Особым следствием (1) является то, что
![{\displaystyle [X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_{n} =0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом (ad X ) n = 0 для всех . То есть ad X — нильпотентный эндоморфизм в обычном смысле линейных эндоморфизмов (а не алгебр Ли). Мы называем такой элемент x в ad-nilpotent .![{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечательно, что если условие конечномерно, то очевидно гораздо более слабое условие (2) на самом деле эквивалентно (1), как утверждается![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Теорема Энгеля : Конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее элементы ад-нильпотентны.
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
чего мы не будем здесь доказывать.
Несколько более простое эквивалентное условие нильпотентности : нильпотентно тогда и только тогда, когда нильпотентно (как алгебра Ли). Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что из (1) следует, что это нильпотентно, поскольку разложение ( n − 1) -кратной вложенной скобки будет состоять из членов вида (1). Обратно, можно написать [1]![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {ad} \, {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {ad} \, {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [[\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n}, X_{n-1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и поскольку ad является гомоморфизмом алгебры Ли,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad } _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если нильпотентно, то последнее выражение равно нулю для достаточно больших n и, соответственно, первое. Но отсюда следует (1), поэтому оно нильпотентно.![{\displaystyle \mathrm {ad} \, {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кроме того, конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда существует убывающая цепочка идеалов такая, что . [2]![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{ n}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Строго верхнетреугольные матрицы
Если – множество матриц размера k × k с элементами из , то подалгебра , состоящая из строго верхнетреугольных матриц, является нильпотентной алгеброй Ли.![{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Алгебры Гейзенберга
Алгебра Гейзенберга нильпотентна. Например, в размерности 3 коммутатор двух матриц
![{\displaystyle \left[{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}, {\begin{bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\ right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где .![{\displaystyle a''=ac'-a'c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Картановские подалгебры
Картановская подалгебра алгебры Ли нильпотентна и самонормализуется [3], стр. 80 . Условие самонормализации эквивалентно нормализатору алгебры Ли. Это означает . Сюда входят верхние треугольные матрицы и все диагональные матрицы в .
![{\displaystyle {\mathfrak {c}}=N_{\mathfrak {l}}({\mathfrak {c}})=\{x\in {\mathfrak {l}}:[x,c]\subset { \mathfrak {c}}{\text{ for }}c\in {\mathfrak {c}}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {t}}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {d}}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другие примеры
Если алгебра Ли имеет автоморфизм простого периода без неподвижных точек, кроме точки 0 , то она нильпотентна. [4]![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Нильпотентные алгебры Ли разрешимы.
Любая нильпотентная алгебра Ли разрешима . Это полезно при доказательстве разрешимости алгебры Ли , поскольку на практике обычно легче доказать нильпотентность (когда она справедлива!), чем разрешимость. Однако в общем случае обратное это свойство неверно. Например, подалгебра ( k ≥ 2 ), состоящая из верхнетреугольных матриц, разрешима, но не нильпотентна.![{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {b}}(k,\mathbb {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подалгебры и изображения
Если алгебра Ли нильпотентна, то все подалгебры и гомоморфные образы нильпотентны.![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Нильпотентность частного по центру
Если факторалгебра , где – центр нильпотентна , то нильпотентна и . Это означает, что центральное расширение нильпотентной алгебры Ли с помощью нильпотентной алгебры Ли является нильпотентным.![{\displaystyle {\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теорема Энгеля
Теорема Энгеля : Конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее элементы ад-нильпотентны.![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Форма «Нулевое убийство»
Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли равна 0 .
Имеют внешние автоморфизмы
Ненулевая нильпотентная алгебра Ли имеет внешний автоморфизм , т. е. автоморфизм, не входящий в образ Ad.
Производные подалгебры разрешимых алгебр Ли
Производная подалгебра конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем характеристики 0 нильпотентна.
Смотрите также
Примечания
- ^ Кнапп, 2002 г., Предложение 1.32.
- ^ Серр, Ч. Я, предложение 1.
- ^ Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-6398-2. ОСЛК 852791600.
- ^ Джейкобсон, Н. (1989), Джейкобсон, Натан (редактор), «Заметка об автоморфизмах и выводах алгебр Ли», Натан Джейкобсон, Сборник математических статей: Том 2 (1947–1965) , Современные математики, Биркхойзер, стр. 251–253, номер домена : 10.1007/978-1-4612-3694-8_16, ISBN 978-1-4612-3694-8
Рекомендации
- Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике . Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. МР 1153249.
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90053-5.
- Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4259-5.
- Серр, Жан-Пьер (2000), Алгебры полупростых комплексов Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, ISBN 978-3-540-67827-4.