Математическое понятие в алгебре
В линейной алгебре нильпотентной матрицей называется квадратная матрица N такая, что
![{\displaystyle N^{k}=0\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для некоторого положительного целого числа . Наименьший такой называется индексом , [ 1 ] иногда степенью .![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В более общем смысле нильпотентное преобразование — это линейное преобразование векторного пространства такое, что для некоторого положительного целого числа (и, следовательно, для всех ). [2] [3] [4] Обе эти концепции являются частными случаями более общей концепции нильпотентности , применимой к элементам колец .![{\displaystyle L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{k}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{j}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j\geq k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Пример 1
Матрица
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
нильпотентен с индексом 2, так как .![{\displaystyle A^{2}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример 2
В более общем смысле, любая -мерная треугольная матрица с нулями вдоль главной диагонали является нильпотентной с индексом . Например, матрица![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
нильпотентен, причем
![{\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\ \0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом , индекс равен 4.![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример 3
Хотя в приведенных выше примерах имеется большое количество нулевых элементов, в типичной нильпотентной матрице их нет. Например,
![{\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
хотя в матрице нет нулевых элементов.
Пример 4
Кроме того, любые матрицы вида
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
такой как
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
квадрат к нулю.
Пример 5
Возможно, одними из наиболее ярких примеров нильпотентных матриц являются квадратные матрицы вида:![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Первые несколько из них:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}} \qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\ 1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти матрицы нильпотентны, но в любой из степеней, меньших индекса, нет нулевых элементов. [5]
Пример 6
Рассмотрим линейное пространство многочленов ограниченной степени. Оператор производной представляет собой линейное отображение. Мы знаем, что применение производной к многочлену уменьшает его степень на единицу, поэтому при итеративном применении мы в конечном итоге получим ноль. Следовательно, на таком пространстве производная представима нильпотентной матрицей.
Характеристика
Для квадратной матрицы с вещественными (или комплексными ) элементами следующие действия эквивалентны:![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является нильпотентным.- Характеристический полином для равен .
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Минимальный полином для — для некоторого положительного целого числа .
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\leq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Единственное комплексное собственное значение равно 0.
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Последняя теорема справедлива для матриц над любым полем характеристики 0 или достаточно большой характеристики. (ср. тождества Ньютона )
Эта теорема имеет несколько следствий, в том числе:
- Индекс нильпотентной матрицы всегда меньше или равен . Например, каждая нильпотентная матрица равна нулю.
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\times 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Определитель и след нильпотентной матрицы всегда равны нулю . Следовательно, нильпотентная матрица не может быть обратимой .
- Единственная нильпотентная диагонализуемая матрица — это нулевая матрица.
См. также: Разложение Жордана – Шевалле # Критерий нильпотентности .
Классификация
Рассмотрим (верхнюю) матрицу сдвига :![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\ конец{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эта матрица имеет единицы вдоль супердиагонали и нули повсюду. В качестве линейного преобразования матрица сдвига «сдвигает» компоненты вектора на одну позицию влево, при этом в последней позиции появляется ноль:
[6]
Эта матрица нильпотентна со степенью и является канонической нильпотентной матрицей.![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В частности, если это любая нильпотентная матрица, то она аналогична блочно -диагональной матрице вида![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\ конец{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где каждый из блоков представляет собой матрицу сдвига (возможно, разного размера). Эта форма является частным случаем жордановой канонической формы матриц. [7]![{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots,S_{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Например, любая ненулевая нильпотентная матрица размера 2 × 2 аналогична матрице
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
То есть, если это любая ненулевая нильпотентная матрица размера 2 × 2, то существует базис b 1 , b 2 такой, что N b 1 = 0 и N b 2 = b 1 .![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эта классификационная теорема справедлива для матриц над любым полем . (Поле не обязательно должно быть алгебраически замкнутым.)
Флаг подпространств
Нильпотентное преобразование естественным образом определяет флаг подпространств![{\displaystyle L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2} \subset \ldots \subset \ker L^{q-1} \subset \ker L^{q}=\mathbb { Р} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и подпись
![{\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^ {я}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сигнатура характеризует с точностью до обратимого линейного преобразования . Кроме того, оно удовлетворяет неравенствам
![{\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots,q-1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
И наоборот, любая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, является признаком нильпотентного преобразования.
Дополнительные свойства
Обобщения
Линейный оператор локально нильпотентен , если для любого вектора существует такой, что![{\displaystyle Т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для операторов в конечномерном векторном пространстве локальная нильпотентность эквивалентна нильпотентности.
Примечания
- ^ Херштейн (1975, стр. 294)
- ^ Борегар и Фрели (1973, стр. 312)
- ^ Херштейн (1975, стр. 268)
- ^ Неринг (1970, стр. 274)
- ↑ Мерсер, Идрис Д. (31 октября 2005 г.). «Нахождение «неочевидных» нильпотентных матриц» (PDF) . idmercer.com . самостоятельно опубликованный; личные данные: доктор математических наук, Университет Саймона Фрейзера . Проверено 5 апреля 2023 г.
- ^ Борегар и Фрели (1973, стр. 312)
- ^ Борегар и Фрели (1973, стр. 312, 313)
- ^ Р. Салливан, Произведения нильпотентных матриц, Линейная и полилинейная алгебра , Vol. 56, № 3
Рекомендации
- Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-Х
- Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), John Wiley & Sons
- Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646
Внешние ссылки
- Нильпотентная матрица и нильпотентное преобразование в PlanetMath .