Теорема о запрете клонирования

Теорема квантовой информатики

В физике теорема о запрете клонирования утверждает, что невозможно создать независимую и идентичную копию произвольного неизвестного квантового состояния , и это утверждение имеет глубокие последствия, среди прочего, в области квантовых вычислений . Теорема представляет собой развитие теоремы о запрете 1970 года , автором которой является Джеймс Парк ^[1] , в которой он демонстрирует, что невозмущающая схема измерения, которая была бы одновременно простой и совершенной, не может существовать (тот же результат был бы независимо получен в 1982 году Уильям Вуттерс и Войцех Х. Зурек ^[2], а также Деннис Дикс ^[3] в том же году). Вышеупомянутые теоремы не исключают переплетения состояния одной системы с состоянием другой, поскольку клонирование конкретно относится к созданию разделимого состояния с идентичными факторами. Например, можно использовать управляемый вентиль НЕ и вентиль Уолша-Адамара, чтобы запутать два кубита , не нарушая теорему о запрете клонирования, поскольку никакое четко определенное состояние не может быть определено в терминах подсистемы запутанного состояния. Теорема о запрете клонирования (в общепринятом понимании) касается только чистых состояний , тогда как обобщенное утверждение о смешанных состояниях известно как теорема о запрете трансляции .

Теорема о запрете клонирования имеет двойственную по времени двойственную теорему — теорему о запрете удаления . Вместе они лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теории категорий и, в частности, как компактной категории . ^{[4] [5]} Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика , позволяет, в свою очередь, связать квантовую механику с линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в том же смысле, что интуиционистская логика возникает из декартовой замкнутой теории информации). категории ).

История

По мнению Ашера Переса ^[6] и Дэвида Кайзера , ^[7] публикация доказательства теоремы о запрете клонирования Вуттерсом и Зуреком [ ^2] и Диксом ^[3] в 1982 году была вызвана предложением Ника Герберта ^[8] для сверхсветового устройства связи, использующего квантовую запутанность, и Джанкарло Гирарди ^[9] доказал теорему за 18 месяцев до опубликованного доказательства Вуттерса и Зурека в своем рецензийном отчете по указанному предложению (о чем свидетельствует письмо редактора ^[9] ). . Однако Хуан Ортигосо ^[10] отметил в 2018 году, что полное доказательство вместе с интерпретацией с точки зрения отсутствия простых невозмущающих измерений в квантовой механике было уже представлено Парком в 1970 году. ^[1]

Теорема и доказательство

Предположим, у нас есть две квантовые системы A и B с общим гильбертовым пространством . Предположим, мы хотим иметь процедуру копирования состояния квантовой системы A поверх состояния квантовой системы B для любого исходного состояния (см. обозначение Бра-Кета ). То есть, начиная с государства , мы хотим государством и закончить . Чтобы сделать «копию» состояния A , мы объединяем его с системой B в каком-то неизвестном начальном или пустом состоянии, независимом от , о котором у нас нет предварительных знаний. ${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$

Состояние исходной составной системы тогда описывается следующим тензорным произведением : (далее мы будем опускать этот символ и оставлять его неявным). $${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$$ ${\displaystyle \otimes }$

Есть только две допустимые квантовые операции, с помощью которых мы можем манипулировать составной системой:

• Мы можем выполнить наблюдение , которое необратимо схлопывает систему в некоторое собственное состояние наблюдаемой , искажая информацию, содержащуюся в кубитах . Это явно не то, чего мы хотим.
• В качестве альтернативы мы могли бы контролировать гамильтониан объединенной системы и, следовательно, оператор эволюции во времени U ( t ), например , для независимого от времени гамильтониана . Развитие до некоторого фиксированного времени дает унитарный оператор U в гильбертовом пространстве объединенной системы. Однако ни один такой унитарный оператор U не может клонировать все состояния. ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle H\otimes H}$

Теорема о запрете клонирования отвечает отрицательно на следующий вопрос: возможно ли построить унитарный оператор U , действуя на , при котором состояние, в котором находится система B, всегда переходит в состояние, в котором находится система A, независимо от состояния система А включена? ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H}$

Теорема  .  Не существует унитарного оператора U на таком, что для всех нормализованных состояний и для некоторого действительного числа, зависящего от и . ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle U(|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B})=e^{i\alpha (\phi ,e)}|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle e}$

Дополнительный фазовый множитель выражает тот факт, что квантовомеханическое состояние определяет нормализованный вектор в гильбертовом пространстве только с точностью до фазового множителя, т.е. как элемент проективизированного гильбертова пространства .

Для доказательства теоремы выберем произвольную пару состояний и в гильбертовом пространстве . Поскольку предполагается, что U унитарно, мы получим. Поскольку предполагается, что квантовое состояние нормализовано, мы получаем ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$$ ${\displaystyle |e\rangle }$ $${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$$

Это означает, что либо или . Следовательно, по неравенству Коши– Шварца либо или ортогонально . Однако этого не может быть в случае двух произвольных состояний. Следовательно, один универсальный U не может клонировать общее квантовое состояние. Это доказывает теорему о запрете клонирования. ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$ ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$ ${\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Возьмем, к примеру, кубит. Его можно представить двумя комплексными числами , называемыми амплитудами вероятности ( нормированными на 1 ), то есть тремя действительными числами (два полярных угла и один радиус). Копирование трех чисел на классическом компьютере с использованием любой операции копирования и вставки тривиально (с конечной точностью), но проблема проявляется, если кубит унитарно преобразуется (например, с помощью квантового вентиля Адамара ) в поляризованный (какое унитарное преобразование является сюръективным изометрия ). В таком случае кубит можно представить всего двумя действительными числами (одним полярным углом и одним радиусом, равным 1), а значение третьего в таком представлении может быть произвольным. Тем не менее, реализация кубита (например, фотона с поляризационным кодированием) способна хранить всю информационную поддержку кубита в своей «структуре». Таким образом , согласно теореме о запрете клонирования, ни одна универсальная унитарная эволюция U не может клонировать произвольное квантовое состояние. Оно должно было бы зависеть от преобразованного (начального) состояния кубита и, следовательно, не было бы универсальным .

Обобщение

В формулировке теоремы были сделаны два предположения: копируемое состояние является чистым состоянием и предлагаемый копировальный аппарат действует посредством унитарной временной эволюции. Эти предположения не приводят к потере общности. Если копируемое состояние является смешанным , его можно «очистить », то есть рассматривать как чистое состояние более крупной системы. С другой стороны, можно дать другое доказательство, которое работает непосредственно со смешанными состояниями; в этом случае теорему часто называют теоремой о запрете трансляции. ^{[11] [12]} Аналогичным образом, произвольная квантовая операция может быть реализована путем введения вспомогательной функции и выполнения подходящей унитарной эволюции. ^{[ необходимы разъяснения ]} Таким образом, теорема о запрете клонирования справедлива в полной общности.

Последствия

• Теорема о запрете клонирования предотвращает использование некоторых классических методов исправления ошибок в квантовых состояниях. Например, нельзя создать резервные копии состояния в середине квантового вычисления и использовать его для исправления последующих ошибок. Исправление ошибок жизненно важно для практических квантовых вычислений, и какое-то время было неясно, возможно ли это. В 1995 году Шор и Стин показали, что это так, независимо разработав первые квантовые коды исправления ошибок , которые обходят теорему о запрете клонирования.
• Точно так же клонирование нарушило бы теорему о запрете телепортации , которая гласит, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже в бесконечную последовательность битов), скопировать эти биты в какое-то новое место и воссоздать копию исходное квантовое состояние в новом месте. Это не следует путать с телепортацией с помощью запутанности , которая позволяет уничтожить квантовое состояние в одном месте и воссоздать точную копию в другом месте.
• Теорема о запрете клонирования подразумевается теоремой об отсутствии связи , которая утверждает, что квантовую запутанность нельзя использовать для передачи классической информации (сверхсветовой или более медленной). То есть клонирование вместе с запутанностью позволит осуществить такое общение. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим мысленный эксперимент ЭПР и предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Предположим, что части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса могла бы послать биты Бобу следующим образом: если Алиса желает передать «0», она измеряет вращение своего электрона в направлении z , сводя состояние Боба к либо или . Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом. Боб создает множество копий состояния своего электрона и измеряет вращение каждой копии в направлении z . Боб узнает, что Алиса передала «0», если все его измерения дают одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты или с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу передавать друг другу классические биты (возможно, через пространственное разделение, нарушая причинность ). ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• Квантовые состояния не могут быть четко различены. ^[13]
• Теорема о запрете клонирования не позволяет интерпретировать голографический принцип для черных дыр как означающий, что существуют две копии информации: одна лежит на горизонте событий , а другая - внутри черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как дополнительность черных дыр .
• Теорема о запрете клонирования применима ко всем компактным категориям кинжала : не существует универсального морфизма клонирования для любой нетривиальной категории такого типа. ^[14] Хотя теорема присуща определению этой категории, не так-то просто увидеть, что это так; понимание важно, поскольку эта категория включает в себя вещи, которые не являются конечномерными гильбертовыми пространствами, включая категорию множеств и отношений и категорию кобордизмов .

Несовершенное клонирование

Хотя невозможно сделать идеальные копии неизвестного квантового состояния, можно создать несовершенные копии. Это можно сделать, соединив более крупную вспомогательную систему с системой, которую необходимо клонировать, и применив унитарное преобразование к объединенной системе. Если унитарное преобразование выбрано правильно, несколько компонентов объединенной системы эволюционируют в приблизительные копии исходной системы. В 1996 году В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная машина клонирования может создавать клон неизвестного состояния с удивительно высокой точностью 5/6. ^[15]

Несовершенное квантовое клонирование может использоваться для подслушивания протоколов квантовой криптографии , а также для других целей в квантовой информатике.

Смотрите также

• Фундаментальная группа Фисикс
• Моногамия запутанности
• Теорема о запрете трансляции
• Теорема об отсутствии связи
• Теорема о запрете удаления
• Теорема о несокрытии
• Квантовая запутанность
• Квантовое клонирование
• Квантовая информация
• Квантовая телепортация
• Более сильные отношения неопределенности
• Принцип неопределенности

Рекомендации

1. Парк, Джеймс (1970). «Понятие перехода в квантовой механике». Основы физики . 1 (1): 23–33. Бибкод : 1970FoPh....1...23P. CiteSeerX  10.1.1.623.5267 . дои : 10.1007/BF00708652. S2CID  55890485.
2. Вуттерс, Уильям; Журек, Войцех (1982). «Один квант не может быть клонирован». Природа . 299 (5886): 802–803. Бибкод : 1982Natur.299..802W. дои : 10.1038/299802a0. S2CID  4339227.
3. Дикс, Деннис (1982). «Связь посредством устройств ЭПР». Буквы по физике А. 92 (6): 271–272. Бибкод : 1982PhLA...92..271D. CiteSeerX 10.1.1.654.7183 . дои : 10.1016/0375-9601(82)90084-6. hdl : 1874/16932. 
4. Баэз, Джон; Останься, Майк (2010). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень» (PDF) . Новые структуры для физики . Берлин: Шпрингер. стр. 95–172. ISBN 978-3-642-12821-9.
5. Куке, Боб (2009). «Квантовый пиктурализм». Современная физика . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . дои : 10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.
6. Перес, Ашер (2003). «Как теорема о запрете клонирования получила свое название». Fortschritte der Physik . 51 (45): 458–461. arXiv : Quant-ph/0205076 . Бибкод : 2003ForPh..51..458P. дои : 10.1002/prop.200310062. S2CID  16588882.
7. Кайзер, Дэвид (2011). Как хиппи спасли физику: наука, контркультура и квантовое возрождение . WW Нортон . ISBN 978-0-393-07636-3.
8. Герберт, Ник (1982). «FLASH — сверхсветовой коммуникатор, основанный на новом виде квантовых измерений». Основы физики . 12 (12): 1171–1179. Бибкод : 1982FoPh...12.1171H. дои : 10.1007/BF00729622. S2CID  123118337.
9. Гирарди, ДжанКарло (2013), «Запутывание, нелокальность, сверхсветовая передача сигналов и клонирование», в Бракене, Поле (редактор), « Достижения в квантовой механике» , IntechOpen (опубликовано 3 апреля 2013 г.), arXiv : 1305.2305 , doi : 10.5772 /56429, ISBN 978-953-51-1089-7, S2CID  118778014
10. Ортигосо, Хуан (2018). «Двенадцать лет до квантовой теоремы о запрете клонирования». Американский журнал физики . 86 (3): 201–205. arXiv : 1707.06910 . Бибкод : 2018AmJPh..86..201O. дои : 10.1119/1.5021356. S2CID  119192142.
11. Барнум, Ховард; Кейвс, Карлтон М.; Фукс, Кристофер А.; Джожа, Ричард; Шумахер, Бенджамин (8 апреля 1996 г.). «Некоммутирующие смешанные штаты не могут транслироваться». Письма о физических отзывах . 76 (15): 2818–2821. arXiv : Quant-ph/9511010 . Бибкод : 1996PhRvL..76.2818B. doi : 10.1103/PhysRevLett.76.2818. PMID  10060796. S2CID  11724387.
12. Калев, Амир; Хен, Италия (29 мая 2008 г.). «Теорема о запрете вещания и ее классический аналог». Письма о физических отзывах . 100 (21): 210502. arXiv : 0704.1754 . Бибкод : 2008PhRvL.100u0502K. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.210502. PMID  18518590. S2CID  40349990.
13. Пэ, Джуну; Квек, Леонг-Чуан (27 февраля 2015 г.). «Квантовая государственная дискриминация и ее приложения». Физический журнал A: Математический и теоретический . 48 (8): 083001. arXiv : 1707.02571 . Бибкод : 2015JPhA...48h3001B. дои : 10.1088/1751-8113/48/8/083001. ISSN  1751-8113. S2CID  119199057.
14. С. Абрамски, «Запрет клонирования в категориальной квантовой механике», (2008) Семантические методы для квантовых вычислений , И. Маки и С. Гей (редакторы), Cambridge University Press. arXiv : 0910.2401
15. Бужек, В.; Хиллери, М. (1996). «Квантовое копирование: помимо теоремы о запрете клонирования». Физ. Преподобный А. 54 (3): 1844–1852. arXiv : Quant-ph/9607018 . Бибкод : 1996PhRvA..54.1844B. doi :10.1103/PhysRevA.54.1844. PMID  9913670. S2CID  1446565.

Другие источники

• В. Бузек и М. Хиллери, Квантовое клонирование , Physics World 14 (11) (2001), стр. 25–29.