Номограмма ( от греческого nomos νόμος , «закон» и grammē γραμμή , «линия»), также называемая номограммой , диаграммой выравнивания или abac , представляет собой графическое вычислительное устройство , двумерную диаграмму, предназначенную для приблизительного графического расчета математическая функция . Область номографии была изобретена в 1884 году французским инженером Филбером Морисом д'Оканем (1862–1938) и в течение многих лет широко использовалась для обеспечения инженеров быстрыми графическими расчетами сложных формул с практической точностью. Номограммы используют параллельную систему координат, изобретенную д'Оканем, а не стандартные декартовы координаты .
Номограмма состоит из набора из n шкал, по одной для каждой переменной в уравнении. Зная значения n-1 переменных, можно найти значение неизвестной переменной или, зафиксировав значения некоторых переменных, изучить связь между незафиксированными. Результат получается путем наложения линейки на известные значения весов и считывания неизвестного значения в том месте, где оно пересекает шкалу для этой переменной. Виртуальная или нарисованная линия, созданная линейкой, называется индексной линией или изоплетом .
Номограммы процветали во многих различных контекстах в течение примерно 75 лет, поскольку они позволяли выполнять быстрые и точные вычисления до эпохи карманных калькуляторов. Результаты номограммы можно получить очень быстро и надежно, просто проведя одну или несколько линий. Пользователю не обязательно уметь решать алгебраические уравнения, искать данные в таблицах, использовать логарифмическую линейку или подставлять числа в уравнения для получения результатов. Пользователю даже не нужно знать основное уравнение, которое представляет номограмма. Кроме того, номограммы естественным образом включают в свой дизайн неявные или явные знания предметной области . Например, чтобы создать номограммы большего размера для большей точности, номограф обычно включает только диапазоны масштабов, которые являются разумными и представляют интерес для проблемы. Многие номограммы содержат другие полезные обозначения, такие как ссылочные метки и цветные области. Все это дает пользователю полезные ориентиры.
Как и логарифмическая линейка, номограмма представляет собой графическое аналоговое вычислительное устройство. Как и в случае с логарифмической линейкой, ее точность ограничена точностью, с которой физические отметки могут быть нарисованы, воспроизведены, просмотрены и выровнены. В отличие от логарифмической линейки, которая является вычислительным устройством общего назначения, номограмма предназначена для выполнения конкретного расчета с таблицами значений, встроенными в шкалы устройства . Номограммы обычно используются в приложениях, для которых уровень точности, который они обеспечивают, достаточен и полезен. Альтернативно, номограмму можно использовать для проверки ответа, полученного путем более точного, но подверженного ошибкам расчета.
Другие типы графических калькуляторов, такие как диаграммы пересечений , трилинейные диаграммы и шестиугольные диаграммы , иногда называются номограммами. Эти устройства не соответствуют определению номограммы как графического калькулятора, решение которого находится с помощью одной или нескольких линейных изоплет.
Номограмма для уравнения с тремя переменными обычно имеет три шкалы, хотя существуют номограммы, в которых две или даже все три шкалы являются общими. Здесь две шкалы представляют известные значения, а третья — это шкала, по которой считывается результат. Простейшим таким уравнением является u 1 + u 2 + u 3 = 0 для трех переменных u 1 , u 2 и u 3 . Пример номограммы этого типа показан справа и снабжен терминами, используемыми для описания частей номограммы.
Более сложные уравнения иногда можно выразить как сумму функций трех переменных. Например, номограмму в начале этой статьи можно построить как номограмму параллельного масштаба, поскольку ее можно выразить в виде такой суммы после логарифмирования обеих частей уравнения.
Шкала неизвестной переменной может находиться между двумя другими шкалами или вне их. На шкалах этих переменных отмечаются известные значения расчета, между этими отметками проводится линия. Результат считывается с неизвестной шкалы в точке пересечения линии с этой шкалой. На шкалах имеются деления для указания точного местоположения чисел, а также они могут включать обозначенные эталонные значения. Эти шкалы могут быть линейными , логарифмическими или иметь более сложные отношения.
Образец изоплеты, показанный красным на номограмме в верхней части этой статьи, рассчитывает значение T при S = 7,30 и R = 1,17. Изоплет пересекает шкалу Т чуть ниже 4,65; более крупная цифра, напечатанная с высоким разрешением на бумаге, даст T = 4,64 с точностью до трех цифр. Обратите внимание, что любую переменную можно вычислить на основе значений двух других — эта особенность номограмм особенно полезна для уравнений, в которых переменная не может быть алгебраически изолирована от других переменных.
Прямые шкалы полезны для относительно простых расчетов, но для более сложных расчетов может потребоваться использование простых или сложных изогнутых шкал. Номограммы для более чем трех переменных могут быть построены путем включения сетки шкал для двух переменных или путем объединения отдельных номограмм с меньшим количеством переменных в составную номограмму.
Номограммы использовались во многих приложениях. Образец включает в себя:
Номограмма ниже выполняет расчет:
Эта номограмма интересна тем, что она выполняет полезные нелинейные вычисления, используя только прямолинейные шкалы с одинаковой градуировкой. Хотя диагональная линия имеет масштаб, в несколько раз превышающий масштабы осей, числа на ней точно совпадают с числами, расположенными непосредственно под ней или слева от нее, и поэтому ее можно легко создать, нарисовав прямую линию по диагонали на листе миллиметровой бумаги .
A и B вводятся по горизонтальной и вертикальной шкале, а результат считывается по диагональной шкале. Поскольку эта формула пропорциональна среднему гармоническому значению A и B , она имеет несколько применений. Например, это формула параллельного сопротивления в электронике и уравнение тонкой линзы в оптике .
В примере красная линия показывает, что параллельные резисторы сопротивлением 56 и 42 Ом имеют общее сопротивление 24 Ом. Также показано, что объект на расстоянии 56 см от линзы с фокусным расстоянием 24 см формирует реальное изображение на расстоянии 42 см.
Приведенную ниже номограмму можно использовать для приблизительного расчета некоторых значений, необходимых при выполнении знакомого статистического теста — критерия хи-квадрат Пирсона . Данная номограмма демонстрирует использование изогнутых шкал с неравномерно расположенными делениями.
Соответствующее выражение:
Шкала вверху используется для пяти различных диапазонов наблюдаемых значений: A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение находится в одном из этих диапазонов, а отметка, используемая на этой шкале, находится непосредственно над ним. Затем кривая шкала, используемая для ожидаемого значения, выбирается на основе диапазона. Например, для наблюдаемого значения 9 будет использоваться отметка над цифрой 9 в диапазоне A, а для ожидаемого значения будет использоваться кривая шкала A. Для наблюдаемого значения 81 будет использоваться отметка выше 81 в диапазоне E, а для ожидаемого значения будет использоваться изогнутая шкала E. Это позволяет объединить пять различных номограмм в одну диаграмму.
Таким образом, синяя линия демонстрирует вычисление:
(9 − 5) 2/5 = 3,2
а красная линия демонстрирует вычисление:
(81 − 70) 2/70 = 1,7
При выполнении теста часто применяется поправка Йейтса на непрерывность , которая просто включает вычитание 0,5 из наблюдаемых значений. Номограмму для проведения теста с поправкой Йейтса можно было бы построить, просто сдвигая каждую «наблюдаемую» шкалу на полединицы влево так, чтобы деления 1,0, 2,0, 3,0,... располагались там, где находятся значения 0,5, 1,5, 2,5. , ... появляются на настоящем графике.
.png/1280px-Risk_Based_Sampling_Nomogram_(3yr).png)
Хотя номограммы представляют математические отношения, не все из них выведены математически. Следующий вариант был разработан графически для достижения соответствующих конечных результатов, которые можно было бы легко определить через произведение их отношений в субъективных единицах, а не в числовых значениях. Использование непараллельных осей позволило включить в модель нелинейные зависимости.
Числа в квадратных прямоугольниках обозначают оси, требующие ввода после соответствующей оценки.
Пара номограмм в верхней части изображения определяет вероятность возникновения и доступность, которые затем включаются в нижнюю многоступенчатую номограмму.
Линии 8 и 10 являются «связующими линиями» или «опорными линиями» и используются для перехода между этапами номограммы соединения.
Последняя пара параллельных логарифмических шкал (12) не является номограммами как таковыми, а представляет собой считывающую шкалу для перевода оценки риска (11, от отдаленной до чрезвычайно высокой) в частоту выборки для рассмотрения аспектов безопасности и других аспектов «защиты потребителей» соответственно. . На этом этапе требуется политическая поддержка, балансирующая затраты и риск. В примере используется трехлетняя минимальная частота для каждого, хотя конец шкалы высокого риска различен для двух аспектов, что дает разную частоту для двух, но оба подлежат общему минимальному отбору проб каждого продукта питания, по крайней мере, для всех аспектов. раз в три года.
Эта номограмма оценки рисков была разработана Службой общественных аналитиков Великобритании при финансовой поддержке Агентства по пищевым стандартам Великобритании для использования в качестве инструмента для определения соответствующей частоты отбора проб и анализа пищевых продуктов в целях официального контроля пищевых продуктов, предназначенного для использования для оценки всех потенциальных рисков. проблемы со всеми продуктами питания, хотя еще не приняты.
С помощью линейки можно легко прочитать недостающий член закона синусов или корни квадратного и кубического уравнения . [4]
