В математике неархимедово упорядоченное поле — это упорядоченное поле , которое не удовлетворяет свойству Архимеда . Такие поля будут содержать бесконечно малые и бесконечно большие элементы, соответствующим образом определенные.
Предположим, что F — упорядоченное поле . Мы говорим, что F удовлетворяет архимедову свойству , если для любых двух положительных элементов x и y из F существует натуральное число n такое, что nx > y . Здесь n обозначает элемент поля, полученный в результате формирования суммы n копий элемента поля 1 , так что nx — это сумма n копий x .
Упорядоченное поле, не удовлетворяющее архимедову свойству, является неархимедовым упорядоченным полем.
Поля рациональных чисел и действительных чисел с их обычным порядком удовлетворяют свойству Архимеда.
Примерами неархимедовых упорядоченных полей являются поле Леви-Чивиты , гиперреальные числа , сюрреальные числа , поле Дена и поле рациональных функций с действительными коэффициентами (где мы определяем f > g , имея в виду, что f ( t )> g ( t ) для достаточно больших t ).
В неархимедовом упорядоченном поле мы можем найти два положительных элемента x и y , таких, что для каждого натурального числа n , nx ≤ y . Это означает, что положительный элемент y / x больше любого натурального числа n (поэтому он является «бесконечным элементом»), а положительный элемент x / y меньше 1 / n для каждого натурального числа n (поэтому он является «бесконечно малым элементом»).
Наоборот, если упорядоченное поле содержит бесконечный или бесконечно малый элемент в этом смысле, то это неархимедово упорядоченное поле.
Гипердействительные поля , неархимедовы упорядоченные поля, содержащие действительные числа в качестве подполя, используются для обеспечения математической основы нестандартного анализа .
Макс Ден использовал поле Дена , пример неархимедова упорядоченного поля, для построения неевклидовых геометрий , в которых постулат параллельности неверен, но тем не менее треугольники имеют углы, сумма которых равна π . [1]
Поле рациональных функций над может быть использовано для построения упорядоченного поля, которое является полным по Коши (в смысле сходимости последовательностей Коши), но не является действительными числами. [2] Это завершение можно описать как поле формальных рядов Лорана над . Это неархимедово упорядоченное поле. Иногда термин «полный» используется для обозначения того, что выполняется свойство наименьшей верхней границы , т. е. для полноты по Дедекинду . Не существует полных по Дедекинду неархимедовых упорядоченных полей. Тонкое различие между этими двумя использованиями слова «полный» иногда является источником путаницы.
