Компактное пространство

Согласно критериям компактности евклидова пространства, изложенным в теореме Гейне–Бореля , интервал $A = (-\infty, -2]$ не является компактным, поскольку он не ограничен. Интервал $C = (2, 4)$ не является компактным, поскольку он не замкнут (но ограничен). Интервал $B = [0, 1]$ является компактным, поскольку он одновременно замкнут и ограничен.

В математике , в частности в общей топологии , компактность — это свойство, которое стремится обобщить понятие замкнутого и ограниченного подмножества евклидова пространства . ^[1] Идея заключается в том, что компактное пространство не имеет «проколов» или «отсутствующих конечных точек», т. е. оно включает все предельные значения точек. Например, открытый интервал (0,1) не будет компактным, поскольку он исключает предельные значения 0 и 1, тогда как замкнутый интервал [0,1] будет компактным. Аналогично, пространство рациональных чисел не является компактным, поскольку оно имеет бесконечно много «проколов», соответствующих иррациональным числам , и пространство действительных чисел также не является компактным, поскольку оно исключает два предельных значения и . Однако расширенная прямая действительных чисел будет компактной, поскольку она содержит обе бесконечности. Существует много способов сделать это эвристическое понятие точным. Эти способы обычно совпадают в метрическом пространстве , но могут быть не эквивалентны в других топологических пространствах . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$

Одно из таких обобщений заключается в том, что топологическое пространство последовательно компактно , если каждая бесконечная последовательность точек, выбранных из пространства, имеет бесконечную подпоследовательность , которая сходится к некоторой точке пространства. ^[2] Теорема Больцано–Вейерштрасса утверждает, что подмножество евклидова пространства компактно в этом последовательном смысле тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Таким образом, если выбрать бесконечное число точек в замкнутом единичном интервале $[0, 1]$ , некоторые из этих точек окажутся произвольно близкими к некоторому действительному числу в этом пространстве. Например, некоторые числа в последовательности ⁠ 1/2⁠ , ⁠4/5⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠5/6⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠6/7⁠ , ... накапливаются до 0 (в то время как другие накапливаются до 1). Поскольку ни 0, ни 1 не являются членами открытого единичного интервала $(0, 1)$ , те же самые наборы точек не будут накапливаться ни в одной его точке, поэтому открытый единичный интервал не является компактным. Хотя подмножества (подпространства) евклидова пространства могут быть компактными, само пространство не является компактным, поскольку оно не ограничено. Например, рассматривая(действительную числовую прямую), последовательность точек 0, 1, 2, 3, ... не имеет подпоследовательности, которая сходится к какому-либо действительному числу. $\mathbb {R} ^{1}$

Компактность была формально введена Морисом Фреше в 1906 году для обобщения теоремы Больцано–Вейерштрасса с пространств геометрических точек на пространства функций . Теорема Арцела–Асколи и теорема существования Пеано являются примерами приложений этого понятия компактности к классическому анализу. После его первоначального введения в общих метрических пространствах были разработаны различные эквивалентные понятия компактности, включая последовательную компактность и компактность предельной точки . ^[3] Однако в общих топологических пространствах эти понятия компактности не обязательно эквивалентны. Наиболее полезное понятие — и стандартное определение безусловного термина компактность — сформулировано в терминах существования конечных семейств открытых множеств , которые « покрывают » пространство, в том смысле, что каждая точка пространства лежит в некотором множестве, содержащемся в семействе. Это более тонкое понятие, введенное Павлом Александровым и Павлом Урысоном в 1929 году, демонстрирует компактные пространства как обобщения конечных множеств . В пространствах, которые компактны в этом смысле, часто можно объединить информацию, которая справедлива локально , то есть в окрестности каждой точки, в соответствующие утверждения, которые справедливы во всем пространстве, и многие теоремы носят именно такой характер.

Термин компактное множество иногда используется как синоним компактного пространства, но также часто относится к компактному подпространству топологического пространства .

Историческое развитие

В 19 веке было понято несколько разрозненных математических свойств, которые позже будут рассматриваться как следствия компактности. С одной стороны, Бернард Больцано (1817) знал, что любая ограниченная последовательность точек (например, на линии или плоскости) имеет подпоследовательность, которая в конечном итоге должна произвольно приблизиться к некоторой другой точке, называемой предельной точкой . Доказательство Больцано основывалось на методе деления пополам : последовательность помещалась в интервал, который затем делился на две равные части, и выбиралась часть, содержащая бесконечно много членов последовательности. Затем процесс можно было повторить, разделив полученный меньший интервал на все меньшие и меньшие части — пока он не замкнется на желаемой предельной точке. Полное значение теоремы Больцано и ее метода доказательства не проявилось почти 50 лет спустя, когда она была заново открыта Карлом Вейерштрассом . ^[4]

В 1880-х годах стало ясно, что результаты, подобные теореме Больцано–Вейерштрасса, могут быть сформулированы для пространств функций, а не только для чисел или геометрических точек. Идея рассматривать функции как точки обобщенного пространства восходит к исследованиям Джулио Асколи и Чезаре Арцелы . ^[5] Кульминацией их исследований стала теорема Арцелы–Асколи , которая была обобщением теоремы Больцано–Вейерштрасса на семейства непрерывных функций , точный вывод которой состоял в том, что можно извлечь равномерно сходящуюся последовательность функций из подходящего семейства функций. Равномерный предел этой последовательности тогда играл точно такую же роль, как «предельная точка» Больцано. К началу двадцатого века результаты, подобные результатам Арцелы и Асколи, начали накапливаться в области интегральных уравнений , исследованных Давидом Гильбертом и Эрхардом Шмидтом . Для определенного класса функций Грина, полученных из решений интегральных уравнений, Шмидт показал, что свойство, аналогичное теореме Арцела–Асколи, выполняется в смысле средней сходимости – или сходимости в том, что позже будет названо гильбертовым пространством . Это в конечном итоге привело к понятию компактного оператора как ответвлению общего понятия компактного пространства. Именно Морис Фреше в 1906 году выделил суть свойства Больцано–Вейерштрасса и ввел термин компактность для обозначения этого общего явления (он использовал этот термин уже в своей статье 1904 года ^[6], которая привела к знаменитой диссертации 1906 года).

Однако в конце XIX века из изучения континуума постепенно возникло совершенно иное понятие компактности , которое считалось основополагающим для строгой формулировки анализа. В 1870 году Эдуард Гейне показал, что непрерывная функция, определенная на замкнутом и ограниченном интервале, на самом деле равномерно непрерывна . В ходе доказательства он использовал лемму о том, что из любого счетного покрытия интервала меньшими открытыми интервалами можно выбрать конечное число из них, которые также покрывают его. Значимость этой леммы была признана Эмилем Борелем (1895), и она была обобщена на произвольные наборы интервалов Пьером Кузеном (1895) и Анри Лебегом (1904). Теорема Гейне–Бореля , как теперь известно, является еще одним особым свойством, которым обладают замкнутые и ограниченные множества действительных чисел.

Это свойство было важным, поскольку оно позволяло перейти от локальной информации о множестве (такой как непрерывность функции) к глобальной информации о множестве (такой как равномерная непрерывность функции). Это мнение было высказано Лебегом (1904), который также использовал его при разработке интеграла, теперь носящего его имя . В конечном итоге, русская школа топологии точечных множеств под руководством Павла Александрова и Павла Урысона сформулировала компактность Гейне–Бореля таким образом, что ее можно было применить к современному понятию топологического пространства . Александров и Урысон (1929) показали, что более ранняя версия компактности, предложенная Фреше, теперь называемая (относительной) секвенциальной компактностью , при соответствующих условиях вытекала из версии компактности, которая была сформулирована в терминах существования конечных подпокрытий. Именно это понятие компактности стало доминирующим, поскольку оно не только было более сильным свойством, но и могло быть сформулировано в более общей постановке с минимумом дополнительных технических средств, поскольку опиралось только на структуру открытых множеств в пространстве.

Простые примеры

Любое конечное пространство компактно; конечное подпокрытие может быть получено путем выбора для каждой точки открытого множества, содержащего ее. Нетривиальным примером компактного пространства является (замкнутый) единичный интервал $[0,1]$ действительных чисел . Если выбрать бесконечное число различных точек в единичном интервале, то среди этих точек в этом интервале должна быть некоторая точка накопления . Например, нечетные члены последовательности 1, ⁠1/2⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠3/4⁠ , ⁠1/5⁠ , ⁠5/6⁠ , ⁠1/7⁠ , ⁠7/8⁠ , ... становятся произвольно близкими к 0, в то время как четные становятся произвольно близкими к 1. Приведенный пример последовательности показывает важность включения граничных точек интервала, поскольку предельные точки должны находиться в самом пространстве — открытый (или полуоткрытый) интервал действительных чисел не является компактным. Также принципиально важно, чтобы интервал был ограниченным , поскольку в интервале $[0,\infty)$ можно выбрать последовательность точек 0, 1, 2, 3, ... , из которых ни одна подпоследовательность в конечном итоге не становится произвольно близкой к любому заданному действительному числу.

В двух измерениях замкнутые диски компактны, поскольку для любого бесконечного числа точек, выбранных из диска, некоторое подмножество этих точек должно произвольно приблизиться либо к точке внутри диска, либо к точке на границе. Однако открытый диск не компактен, поскольку последовательность точек может стремиться к границе — не приближаясь произвольно к любой точке внутри. Аналогично, сферы компактны, но сфера, в которой отсутствует точка, не компактна, поскольку последовательность точек все еще может стремиться к отсутствующей точке, тем самым не приближаясь произвольно к любой точке внутри пространства. Линии и плоскости не компактны, поскольку можно взять набор равномерно распределенных точек в любом заданном направлении, не приближаясь ни к одной точке.

Определения

Различные определения компактности могут применяться в зависимости от уровня общности. Подмножество евклидова пространства , в частности, называется компактным, если оно замкнуто и ограничено . Это подразумевает, по теореме Больцано–Вейерштрасса , что любая бесконечная последовательность из множества имеет подпоследовательность , которая сходится к точке в множестве. Различные эквивалентные понятия компактности, такие как последовательная компактность и компактность предельной точки , могут быть разработаны в общих метрических пространствах . ^[3]

Напротив, различные понятия компактности не эквивалентны в общих топологических пространствах , и наиболее полезное понятие компактности — первоначально называемое бикомпактностью — определяется с использованием покрытий, состоящих из открытых множеств (см. Определение открытого покрытия ниже). То, что эта форма компактности справедлива для замкнутых и ограниченных подмножеств евклидова пространства, известно как теорема Гейне–Бореля . Компактность, определенная таким образом, часто позволяет взять информацию, известную локально — в окрестности каждой точки пространства — и распространить ее на информацию, которая справедлива глобально во всем пространстве. Примером этого явления является теорема Дирихле, к которой она первоначально была применена Гейне, о том, что непрерывная функция на компактном интервале равномерно непрерывна ; здесь непрерывность является локальным свойством функции, а равномерная непрерывность — соответствующим глобальным свойством.

Определение открытого покрытия

Формально топологическое пространство $X$ называется компактным $,$ если каждое открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие . ^[7] То есть $X$ является компактным, если для любого набора $C$ открытых подмножеств ^[8] $X$ такого , что

$X=\bigcup _{S\in C}S\ ,$

существует конечная подколлекция $F$ ⊆ $C$ такая, что

$X=\bigcup _{S\in F}S\ .$

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия , как правило, находящаяся под влиянием французской школы Бурбаки , используют термин квазикомпактный для общего понятия и резервируют термин компактный для топологических пространств, которые являются как хаусдорфовыми , так и квазикомпактными . Компактное множество иногда называют компактом , множественное число — compacta .

Компактность подмножеств

Подмножество $K$ топологического пространства $X$ называется компактным, если оно компактно как подпространство (в топологии подпространства ). То есть, $K$ компактно, если для любого произвольного набора $C$ открытых подмножеств $X,$ таких что

$K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,$

существует конечная подколлекция $F$ ⊆ $C$ такая, что

$K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .$

Поскольку компактность является топологическим свойством , компактность подмножества зависит только от индуцированной на нем топологии подпространства. Отсюда следует, что если , с подмножеством $Z,$ снабженным топологией подпространства, то $K$ компактно в $Z$ тогда и только тогда, когда $K$ компактно в $Y$ . $K\подмножество Z\подмножество Y$

Характеристика

Если $X$ — топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны:

$X$ компактно; т. е. каждое $открытое$ покрытие X имеет конечное подпокрытие .
$X$ имеет подбазу, такую что каждое покрытие пространства элементами подбазы имеет конечное подпокрытие ( теорема Александера о подбазе ).
$X$ является линделёфовым и счётно компактным . ^[9]
Любая совокупность замкнутых подмножеств $X$ со свойством конечного пересечения имеет непустое пересечение.
Каждая сеть на $X$ имеет сходящуюся подсеть ( доказательство см. в статье о сетях ).
Каждый фильтр на $X$ имеет сходимое уточнение.
Каждая сеть на $X$ имеет точку кластера.
Каждый фильтр на $X$ имеет точку кластеризации.
Каждый ультрафильтр на $X$ сходится по крайней мере к одной точке.
Каждое бесконечное подмножество $X$ имеет полную точку накопления . ^[10]
Для любого топологического пространства $Y$ проекция является замкнутым отображением ^[11] (см. собственное отображение ). $X\times Y\to Y$
Каждое открытое покрытие, линейно упорядоченное включением подмножества, содержит $X.$ ^[12 ]

Бурбаки определяет компактное пространство (квазикомпактное пространство) как топологическое пространство, где каждый фильтр имеет точку кластеризации (т. е. 8. в приведенном выше примере). ^[13]

Евклидово пространство

Для любого подмножества $A$ евклидова пространства , A $компактно$ тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено ; это теорема Гейне–Бореля .

Поскольку евклидово пространство является метрическим, условия в следующем подразделе также применяются ко всем его подмножествам. Из всех эквивалентных условий на практике проще всего проверить, что подмножество замкнуто и ограничено, например, для замкнутого интервала или замкнутого $n$ -шара.

Метрические пространства

Для любого метрического пространства $(X, d)$ следующие условия эквивалентны (при условии счетного выбора ):

$(X, d)$ компактно.
$(X, d)$ полно и вполне ограничено (это также эквивалентно компактности для равномерных пространств ). ^[14]
$(X, d)$ является последовательно компактным; то есть каждая последовательность в $X$ имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой находится в $X$ (это также эквивалентно компактности для равномерных пространств с первой аксиомой счетности ).
$(X, d)$ является компактом предельной точки (также называемым слабо счетно компактным); то есть каждое бесконечное подмножество $X$ имеет по крайней мере одну предельную точку в $X$ .
$(X, d)$ является счетно компактным ; то есть каждое счетное открытое покрытие $X$ имеет конечное подпокрытие.
$(X, d)$ — изображение непрерывной функции из множества Кантора . ^[15]
Каждая убывающая вложенная последовательность непустых замкнутых подмножеств $S 1 \supseteq S 2 \supseteq ...$ в $(X, d)$ имеет непустое пересечение.
Любая возрастающая вложенная последовательность собственных открытых подмножеств $S 1 \subseteq S 2 \subseteq ...$ в $(X, d)$ не покрывает $X.$

Компактное метрическое пространство $(X, d)$ также удовлетворяет следующим свойствам:

Лемма Лебега о числе : Для каждого открытого покрытия $X$ существует число δ > 0 такое, что каждое подмножество $X$ диаметра < $δ$ содержится в некотором члене покрытия.
$(X, d)$ является счетно-секундным , сепарабельным и линделефовым – эти три условия эквивалентны для метрических пространств. Обратное неверно; например, счетное дискретное пространство удовлетворяет этим трем условиям, но не является компактным.
$X$ замкнуто и ограничено (как подмножество любого метрического пространства, ограниченная метрика которого есть $d$ ). Обратное может быть неверным для неевклидова пространства; например, вещественная прямая, снабженная дискретной метрикой , замкнута и ограничена, но не компактна, поскольку совокупность всех синглетонов пространства является открытым покрытием, не допускающим конечного подпокрытия. Оно полно, но не полностью ограничено.

Упорядоченные пространства

Для упорядоченного пространства $(X, <)$ (т.е. полностью упорядоченного множества, снабженного топологией порядка), следующие условия эквивалентны:

$(X, <)$ компактно.
Каждое подмножество $X$ имеет супремум (т.е. точную верхнюю границу) в $X.$
Каждое подмножество $X$ имеет инфимум (т.е. точную нижнюю границу) в $X.$
Каждое непустое замкнутое подмножество $X$ имеет максимальный и минимальный элементы.

Упорядоченное пространство, удовлетворяющее (любому из) этих условий, называется полной решеткой.

Кроме того, следующие утверждения эквивалентны для всех упорядоченных пространств $(X, <)$ и (предполагая счетный выбор ) верны всякий раз, когда $(X, <)$ компактно. (Обратное утверждение в общем случае неверно, если $(X, <)$ также не метризуемо.):

Каждая последовательность в $(X, <)$ имеет подпоследовательность, которая сходится в $(X, <)$ .
Каждая монотонно возрастающая последовательность в $X$ сходится к единственному пределу в $X.$
Каждая монотонно убывающая последовательность в $X$ сходится к единственному пределу в $X.$
Каждая убывающая вложенная последовательность непустых замкнутых подмножеств $S$ ₁ ⊇ $S$ ₂ ⊇ ... в $(X, <)$ имеет непустое пересечение.
Любая возрастающая вложенная последовательность собственных открытых подмножеств $S$ ₁ ⊆ $S$ ₂ ⊆ ... в $(X, <)$ не покрывает $X$ .

Характеристика непрерывными функциями

Пусть $X$ — топологическое пространство, а $C(X) —$ кольцо действительных непрерывных функций на $X$ . Для каждого $p \in X$ отображение оценки, заданное формулой $ev$ $p$ $($ $f$ $) =$ $f$ $($ $p$ $),$ является кольцевым гомоморфизмом. Ядро ev $p$ является максимальным идеалом , поскольку поле вычетов $C($ $X$ $)/ker ev$ $p$ является полем действительных чисел по первой теореме $об$ изоморфизме . Топологическое пространство $X$ является псевдокомпактным тогда и только тогда, когда каждый максимальный идеал в $C($ $X$ $)$ имеет поле вычетов действительных чисел. Для вполне регулярных пространств это эквивалентно тому, что каждый максимальный идеал является ядром оценочного гомоморфизма. ^[16] Однако существуют псевдокомпактные пространства, которые не являются компактными. $\operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R}$

В общем случае для непсевдокомпактных пространств всегда существуют максимальные идеалы $m$ в $C(X)$ такие, что поле вычетов $C(X)/ m$ является ( неархимедовым ) гиперреальным полем . Рамки нестандартного анализа допускают следующую альтернативную характеристику компактности: ^[17] топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда каждая точка $x$ естественного расширения $*X$ бесконечно близка к точке $x 0$ пространства $X$ (точнее, $x$ содержится в монаде x $0$ $)$ .

Гиперреальное определение

Пространство $X$ компактно, если его гипердействительное расширение $*X$ (построенное, например, с помощью ультрастепенной конструкции ) обладает тем свойством, что каждая точка $*X$ бесконечно близка к некоторой точке $X \subset *X$ . Например, открытый действительный интервал $X = (0, 1)$ не является компактным, поскольку его гипердействительное расширение $*(0,1)$ содержит бесконечно малые, которые бесконечно близки к 0, который не является точкой $X.$

Достаточные условия

Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. ^[18]
Конечное объединение компактных множеств компактно.
Непрерывное изображение компактного пространства компактно. ^[19]
Пересечение любого непустого набора компактных подмножеств хаусдорфова пространства компактно (и замкнуто);
- Если $X$ не является хаусдорфовым, то пересечение двух компактных подмножеств может не быть компактным (см. пример сноски). ^[a]
Произведение любого набора компактных пространств компактно. (Это теорема Тихонова , которая эквивалентна аксиоме выбора .)
В метризуемом пространстве подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно последовательно компактно (предполагая счетный выбор ).
Конечное множество, наделенное любой топологией, компактно.

Свойства компактных пространств

Компактное подмножество хаусдорфова пространства X замкнуто.
- Если $X$ не является хаусдорфовым, то компактное подмножество $X$ может не быть замкнутым подмножеством $X$ (см., например, сноску). ^[b]
- Если $X$ не является хаусдорфовым, то замыкание компактного множества может не быть компактным (см., например, сноску). ^[c]
В любом топологическом векторном пространстве (TVS) компактное подмножество является полным . Однако каждое нехаусдорфово TVS содержит компактные (и, следовательно, полные) подмножества, которые не являются замкнутыми.
Если $A$ и $B$ — непересекающиеся компактные подмножества хаусдорфова пространства $X$ , то существуют непересекающиеся открытые множества $U$ и $V$ в $X,$ такие что $A \subseteq U$ и $B \subseteq V.$
Непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом .
Компактное хаусдорфово пространство нормально и регулярно .
Если пространство $X$ компактно и хаусдорфово, то никакая более тонкая топология на $X$ не компактна и никакая более грубая топология на $X$ не хаусдорфова.
Если подмножество метрического пространства $(X, d)$ компактно, то оно $d$ -ограничено.

Функции и компактные пространства

Поскольку непрерывный образ компактного пространства компактен, для таких пространств справедлива теорема об экстремальном значении : непрерывная вещественная функция на непустом компактном пространстве ограничена сверху и достигает своей супремум. ^[20] (В более общем случае это верно для полунепрерывной сверху функции.) Как своего рода обратный к приведенным выше утверждениям, прообраз компактного пространства при собственном отображении компактен .

Компактификации

Каждое топологическое пространство $X$ является открытым плотным подпространством компактного пространства, имеющим не более одной точки больше, чем $X$ , по одноточечной компактификации Александрова . По той же конструкции каждое локально компактное хаусдорфово пространство $X$ является открытым плотным подпространством компактного хаусдорфова пространства, имеющим не более одной точки больше , чем $X.$

Упорядоченные компактные пространства

Непустое компактное подмножество действительных чисел имеет наибольший элемент и наименьший элемент.

Пусть $X$ — просто упорядоченное множество, снабженное топологией порядка . Тогда $X$ компактно тогда и только тогда, когда $X$ — полная решетка (т.е. все подмножества имеют верхние и нижние границы). ^[21]

Примеры

Любое конечное топологическое пространство , включая пустое множество , компактно. В более общем смысле, любое пространство с конечной топологией (только конечное число открытых множеств) компактно; это включает в себя, в частности, тривиальную топологию .
Любое пространство, несущее кофинитную топологию, компактно.
Любое локально компактное хаусдорфово пространство можно превратить в компактное пространство, добавив к нему одну точку, с помощью одноточечной компактификации Александрова . Одноточечная компактификация гомеоморфна окружности $S$ $1$ ; одноточечная компактификация гомеоморфна сфере $S$ $2$ . Используя одноточечную компактификацию, можно также легко построить компактные пространства, которые не являются хаусдорфовыми, начав с нехаусдорфового пространства. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$
Топология правого порядка или топология левого порядка на любом ограниченном полностью упорядоченном множестве компактна. В частности, пространство Серпинского компактно.
Никакое дискретное пространство с бесконечным числом точек не является компактным. Совокупность всех синглетонов пространства является открытым покрытием, не допускающим конечного подпокрытия. Конечные дискретные пространства компактны.
При выполнении топологии нижнего предела ни одно несчетное множество не является компактным. $\mathbb {R}$
В косчетной топологии на несчетном множестве ни одно бесконечное множество не является компактным. Как и в предыдущем примере, пространство в целом не является локально компактным, но все еще является линделефовым .
Замкнутый единичный интервал $[0, 1]$ компактен. Это следует из теоремы Гейне–Бореля . Открытый интервал $(0, 1)$ не компактен: открытое покрытие для $n$ $= 3, 4, ...$ не имеет конечного подпокрытия. Аналогично, множество рациональных чисел в замкнутом интервале $[0, 1]$ не компактно: множества рациональных чисел в интервалах покрывают все рациональные числа из [0, 1] для $n$ $= 4, 5, ...,$ но это покрытие не имеет конечного подпокрытия. Здесь множества открыты в топологии подпространства, хотя они не открыты как подмножества . ${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ и }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$ $\mathbb {R}$
Множество всех действительных чисел не является компактным, поскольку существует покрытие открытых интервалов, не имеющее конечного подпокрытия. Например, интервалы $($ $n$ $- 1,$ $n$ $+ 1)$ , где $n$ принимает все целые значения в $Z$ , покрывают, но не имеют конечного подпокрытия. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
С другой стороны, расширенная прямая действительных чисел, несущая аналогичную топологию, компактна ; обратите внимание, что покрытие, описанное выше, никогда не достигнет точек на бесконечности и, таким образом, не покроет расширенную прямую действительных чисел. Фактически, множество имеет гомеоморфизм к [−1, 1], отображающий каждую бесконечность в ее соответствующую единицу, а каждое действительное число — в его знак, умноженный на уникальное число в положительной части интервала, что приводит к его абсолютному значению при делении на единицу минус само себя, и поскольку гомеоморфизмы сохраняют покрытия, можно вывести свойство Гейне-Бореля.
Для любого натурального числа $n$ n -сфера компактна. Опять же из теоремы Гейне–Бореля замкнутый единичный шар любого конечномерного нормированного векторного пространства компактен. Это неверно для бесконечных измерений; на самом деле, нормированное векторное пространство конечномерно тогда и только тогда, когда его $замкнутый$ единичный шар компактен.
С другой стороны, замкнутый единичный шар сопряженного к нормированному пространству пространства компактен для слабой-* топологии. ( Теорема Алаоглу )
Множество Кантора компактно. Фактически, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора.
Рассмотрим множество $K$ всех функций $\mathbb {R}$ от действительной числовой прямой до замкнутого единичного интервала и определим топологию на $K$ так, что последовательность в $K$ сходится к $f$ $\in$ $K$ тогда и только тогда, когда сходится к $f$ $($ $x$ $)$ для всех действительных чисел $x$ . Существует только одна такая топология; она называется топологией поточечной сходимости или топологией произведения . Тогда $K$ является компактным топологическим пространством; это следует из теоремы Тихонова . $\{f_{n}\}$ $\{f_{n}(x)\}$
Подмножество банахова пространства действительнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве является относительно компактным тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и поточечно ограничено ( теорема Арцела–Асколи ).
Рассмотрим множество $K$ всех функций $f : [0, 1] \to [0, 1],$ удовлетворяющих условию Липшица $| f (x) - f (y) | \leq | x - y |$ для всех $x, y \in [0,1]$ . Рассмотрим на $K$ метрику, индуцированную равномерным расстоянием Тогда по теореме Арцела–Асколи пространство $K$ компактно. $d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.$
Спектр любого ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве является непустым компактным подмножеством комплексных чисел . Обратно, любое компактное подмножество возникает таким образом, как спектр некоторого ограниченного линейного оператора. Например, диагональный оператор в гильбертовом пространстве может иметь любое компактное непустое подмножество в качестве спектра. $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\ell ^{2}$ $\mathbb {C}$
Пространство борелевских вероятностных мер на компактном хаусдорфовом пространстве компактно для нечеткой топологии по теореме Алаоглу.
Набор вероятностных мер на борелевских множествах евклидова пространства называется плотным , если для любого положительного ε существует компактное подмножество, содержащее все, кроме не более ε массы каждой из мер. Теорема Хелли тогда утверждает, что набор вероятностных мер является относительно компактным для нечеткой топологии тогда и только тогда, когда он плотный.

Алгебраические примеры

Топологические группы, такие как ортогональная группа, являются компактными, в то время как такие группы, как общая линейная группа, таковыми не являются.
Поскольку $p$ -адические целые числа гомеоморфны множеству Кантора, они образуют компактное множество .
Любое глобальное поле K является дискретной аддитивной подгруппой своего кольца аделей , а факторпространство компактно. Это было использовано в диссертации Джона Тейта, чтобы разрешить использование гармонического анализа в теории чисел .
Спектр любого коммутативного кольца с топологией Зариского (то есть множество всех простых идеалов) компактен, но никогда не хаусдорфов ( за исключением тривиальных случаев). В алгебраической геометрии такие топологические пространства являются примерами квазикомпактных схем , «квази» относится к нехаусдорфовой природе топологии.
Спектр булевой алгебры компактен, что является частью теоремы Стоуна о представлении . Пространства Стоуна , компактные полностью несвязные хаусдорфовы пространства, образуют абстрактную структуру, в которой изучаются эти спектры. Такие пространства также полезны при изучении проконечных групп .
Структурное пространство коммутативной унитальной банаховой алгебры является компактным хаусдорфовым пространством.
Куб Гильберта компактен, что снова является следствием теоремы Тихонова.
Проконечная группа (например, группа Галуа ) компактна.

Смотрите также

Примечания

^ Пусть $\mathbb {N}$ , $\mathbb {N}$ , и $\mathbb {N}$ . Наделите $X$ топологией, порожденной следующими базовыми открытыми множествами: каждое подмножество открыто; единственные открытые множества, содержащие $a,$ — это $X$ и $U$ ; и единственные открытые множества, содержащие $b,$ — это $X$ и $V$ . Тогда $U$ и $V$ — оба компактные подмножества, но их пересечение, которое есть , не является компактным. Обратите внимание, что и $U$ , и $V$ — компактные открытые подмножества, ни одно из которых не замкнуто. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$
^ Пусть $X = {a, b}$ и наделим $X$ топологией ${X, \emptyset, {a}}$ . Тогда ${a}$ — компактное множество, но оно не замкнуто.
^ Пусть $X$ — множество неотрицательных целых чисел. Мы наделяем $X$ топологией конкретной точки , определяя подмножество $U \subseteq X$ как открытое тогда и только тогда, когда $0 \in U$ . Тогда $S := {0}$ компактно, замыкание $S$ — это все $X$ , но $X$ не компактно, поскольку набор открытых подмножеств ${{0, x} : x \in X}$ не имеет конечного подпокрытия.

Ссылки

^ «Компактность». Encyclopaedia Britannica . математика . Получено 25.11.2019 – через britannica.com.
^ Энгелькинг, Рышард (1977). Общая топология . Варшава, Польша: PWN. п. 266.
^ ab "Последовательная компактность". www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk . Лекции курса MT 4522 . Получено 25.11.2019 .
^ Клайн 1990, стр. 952–953; Бойер и Мерцбах 1991, стр. 561
^ Клайн 1990, Глава 46, §2
^ Фреше, М. 1904. «Обобщение теоремы Вейерштрасса» . Анализируйте математику .
^ Weisstein, Eric W. "Compact Space". Wolfram MathWorld . Получено 25.11.2019 .
^ Здесь «коллекция» означает « набор », но используется потому, что «коллекция открытых подмножеств» менее неуклюжа, чем «набор открытых подмножеств». Аналогично, «подколлекция» означает «подмножество».
↑ Хоус 1995, стр. xxvi–xxviii.
^ Келли 1955, стр. 163
^ Бурбаки 2007, § 10.2. Теорема 1, Следствие 1.
↑ Мак 1967.
^ Бурбаки 2007, § 9.1. Определение 1.
^ Архангельский и Федорчук 1990, Теорема 5.3.7.
^ Уиллард 1970 Теорема 30.7.
^ Гиллман и Джерисон 1976, §5.6
^ Робинсон 1996, Теорема 4.1.13
^ Архангельский и Федорчук 1990, Теорема 5.2.3.
^ Архангельский и Федорчук 1990, Теорема 5.2.2.
^ Архангельский и Федорчук 1990, следствие 5.2.1.
^ Стин и Зеебах 1995, стр. 67

Библиография

Александров Павел ; Урысон, Павел (1929). «Mémoire sur les espaces topologiques Compact». Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Труды секции математических наук . 14 .
Архангельский, А.В.; Федорчук, В.В. (1990). "Основные понятия и конструкции общей топологии". В Архангельский, А.В.; Понтрягин, Л.С. (ред.). Общая топология I . Энциклопедия математических наук. Т. 17. Springer. ISBN 978-0-387-18178-3..
Архангельский, А.В. (2001) [1994], "Компактное пространство", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
Больцано, Бернар (1817). Если вы хотите, чтобы ваш аналитик был в курсе, то, как вы думаете, вы получите результат, который вы получите, когда будете знать, что вы думаете о сеньоре. Вильгельм Энгельманн.( Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по крайней мере один действительный корень уравнения ).
Борель, Эмиль (1895). «Sur quelques Points de la Theorie des Functions». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 3. 12 :9–55. дои : 10.24033/asens.406 . ЖФМ 26.0429.03.
Бурбаки, Николя (2007). Общая топология. Главы 1–4. Берлин: Springer. дои : 10.1007/978-3-540-33982-3. ISBN 978-3-540-33982-3.
Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Нью-Йорк: Dover Publications. MR 0124178.
Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С. (1991). История математики (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
Арсела, Чезаре (1895). «Все функции линии». Память Аккад. наук. Ист. Болонья Кл. наук. Фис. Мат . 5 (5): 55–74.
Арсела, Чезаре (1882–1883). «Un'osservazione intorno alle serie di funzioni». Ренд. Делл Аккад. Р. Делле Ски. dell'Istituto di Bologna : 142–159.
Асколи, Г. (1883–1884). «Ограничение разнообразия данных кривой». Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. наук. Фис. Мат. Нат . 18 (3): 521–586.
Фреше, Морис (1906). «Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 (1): 1–72. дои : 10.1007/BF03018603. hdl :10338.dmlcz/100655. S2CID 123251660.
Гиллман, Леонард; Джерисон, Мейер (1976). Кольца непрерывных функций . Springer-Verlag.
Howes, Norman R. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970. OL 1272666M.
Келли, Джон (1955). Общая топология . Graduate Texts in Mathematics. Том 27. Springer-Verlag.
Клайн, Моррис (1990) [1972]. Математическая мысль от древности до современности (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506136-9.
Лебег, Анри (1904). Уроки интеграции и исследования примитивных функций. Готье-Виллар.
Мак, Джон (1967). «Направленные покрытия и паракомпактные пространства». Канадский математический журнал . 19 : 649–654. doi :10.4153/CJM-1967-059-0. MR 0211382.
Робинсон, Абрахам (1996). Нестандартный анализ . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04490-3. МР 0205854.
Scarborough, CT; Stone, AH (1966). «Продукты почти компактных пространств» (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 124 (1): 131–147. doi : 10.2307/1994440 . JSTOR 1994440. Архивировано (PDF) из оригинала 2017-08-16..
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии (переиздание Dover Publications 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. МР 0507446.
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Dover publications. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

Сундстрём, Манья Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].

В данной статье использованы материалы из раздела Примеры компактных пространств на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .