Единичный подмодуль

В разделах абстрактной алгебры, известных как теория колец и теория модулей , каждый правый (соответственно левый) R - модуль M имеет сингулярный подмодуль, состоящий из элементов, аннуляторы которых являются существенными правыми (соответственно левыми) идеалами в R . В записи множеств он обычно обозначается как . Для общих колец , является хорошим обобщением подмодуля кручения tors( M ), который чаще всего определяется для областей . В случае, когда R является коммутативной областью, . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)}$

Если R — любое кольцо, определяется, рассматривая R как правый модуль, и в этом случае является двусторонним идеалом R, называемым правым сингулярным идеалом R. Левосторонний аналог определяется аналогично. Это возможно для . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$

Определения

Вот несколько определений, используемых при изучении сингулярных подмодулей и сингулярных идеалов. В следующем M — это R -модуль:

• M называется сингулярным модулем, если . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$
• M называется невырожденным модулем, если . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$
• R называется правонесингулярным, если . Левонесингулярное кольцо определяется аналогично, с использованием левого сингулярного идеала, и вполне возможно, что кольцо будет право-но-не-левонесингулярным. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$

В кольцах с единицей всегда так, что , и поэтому "правое сингулярное кольцо" обычно не определяется так же, как сингулярные модули. Некоторые авторы использовали "сингулярное кольцо" в значении "имеет ненулевой сингулярный идеал", однако такое использование не согласуется с использованием прилагательных для модулей. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$

Характеристики

Некоторые общие свойства особого подмодуля включают в себя:

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,}$где обозначает цоколь .​ ${\displaystyle \mathrm {soc} (M_{R})\,}$ ${\displaystyle R_{R}}$
• Если f — гомоморфизм R -модулей из M в N , то . ${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$
• Если N — подмодуль M , то . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$
• Свойства «сингулярный» и «несингулярный» являются инвариантными свойствами Мориты .
• Сингулярные идеалы кольца содержат центральные нильпотентные элементы кольца. Следовательно, сингулярный идеал коммутативного кольца содержит нильрадикал кольца.
• Общим свойством подмодуля кручения является то, что , но это не обязательно выполняется для сингулярного подмодуля. Однако, если R — правое несингулярное кольцо, то . ${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$
• Если N — существенный подмодуль M (оба правые модули), то M / N — сингулярный. Если M — свободный модуль , или если R — правый несингулярный, то верно обратное.
• Полупростой модуль несингулярен тогда и только тогда, когда он является проективным модулем .
• Если R — самоинъективное справа кольцо , то , где J( R ) — радикал Джекобсона кольца R . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$

Примеры

Правые несингулярные кольца представляют собой очень широкий класс, включающий редуцированные кольца , правые (полу)наследственные кольца , регулярные кольца фон Неймана , домены , полупростые кольца , кольца Бэра и правые кольца Риккарта .

Для коммутативных колец несингулярность эквивалентна принадлежности к редуцированному кольцу.

Важные теоремы

Теорема Джонсона (от RE Johnson (Lam 1999, стр. 376)) содержит несколько важных эквивалентностей. Для любого кольца R следующие эквивалентны:

1. R — правое неособое число.
2. Инъективная оболочка E ( R _R ) является невырожденным правым R -модулем.
3. Кольцо эндоморфизмов является полупримитивным кольцом (то есть ). ${\displaystyle S=\mathrm {End} (E(R_{R}))\,}$ ${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$
4. Максимальное правое кольцо частных является регулярным по фон Нейману. ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$

Правая несингулярность также имеет сильное взаимодействие с правыми самоинъективными кольцами.

Теорема: Если R — самоинъективное справа кольцо, то следующие условия на R эквивалентны: несингулярное справа, регулярное по фон Нейману, полунаследственное справа, правое по Рикарту, по Бэру, полупримитивное. (Lam 1999, стр. 262)

В статье (Зельманович, 1983) несингулярные модули использовались для характеристики класса колец, максимальное правое кольцо частных которых имеет определенную структуру.

Теорема: Если R — кольцо, то является правым полным линейным кольцом тогда и только тогда, когда R имеет несингулярный, точный , равномерный модуль . Более того, является конечным прямым произведением полных линейных колец тогда и только тогда, когда R имеет несингулярный, точный модуль с конечной равномерной размерностью . ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$ ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$

Учебники

• Гудэрл, KR (1976), Теория колец: Несингулярные кольца и модули , Чистая и прикладная математика, № 33, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., стр. viii+206, MR  0429962
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294

Первичные источники

• Зельманович, Дж. М. (1983), «Структура колец с точными несингулярными модулями», Trans. Amer. Math. Soc. , 278 (1): 347–359, doi : 10.2307/1999320 , ISSN  0002-9947, MR  0697079