Математические утверждения , обсуждаемые ниже, доказуемо независимы от ZFC (канонической аксиоматической теории множеств современной математики, состоящей из аксиом Цермело–Френкеля и аксиомы выбора ), предполагая, что ZFC непротиворечива . Утверждение независимо от ZFC (иногда его называют «неразрешимым в ZFC»), если его нельзя ни доказать, ни опровергнуть из аксиом ZFC.
В 1931 году Курт Гёдель доказал свои теоремы о неполноте , установив, что многие математические теории, включая ZFC, не могут доказать свою собственную непротиворечивость. Предполагая ω-непротиворечивость такой теории, утверждение о непротиворечивости также не может быть опровергнуто, то есть оно является независимым. Несколько лет спустя были определены другие арифметические утверждения, которые независимы от любой такой теории, см., например, трюк Россера .
Следующие теоретико-множественные утверждения независимы от ZFC, среди прочего:
Имеем следующие цепочки следствий:
и (см. раздел о теории порядка):
Несколько утверждений, связанных с существованием больших кардиналов, не могут быть доказаны в ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Они независимы от ZFC при условии, что они непротиворечивы с ZFC, что большинство работающих теоретиков множеств считают верным. Эти утверждения достаточно сильны, чтобы подразумевать непротиворечивость ZFC. Это имеет следствие (через вторую теорему Гёделя о неполноте ), что их непротиворечивость с ZFC не может быть доказана в ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Следующие утверждения относятся к этому классу:
Можно доказать, что следующие утверждения не зависят от ZFC, предполагая согласованность подходящего большого кардинала:
Существует много кардинальных инвариантов вещественной прямой, связанных с теорией меры и утверждениями, относящимися к теореме Бэра о категории , точные значения которых не зависят от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные соотношения, большинство кардинальных инвариантов могут быть любыми регулярными кардинальными числами между ℵ 1 и 2 ℵ 0 . Это основная область исследований в теории множеств вещественной прямой (см. диаграмму Сихона ). MA имеет тенденцию устанавливать наиболее интересные кардинальные инварианты равными 2 ℵ 0 .
Подмножество X действительной прямой является множеством сильной меры нуля, если для каждой последовательности ( ε n ) положительных вещественных чисел существует последовательность интервалов ( I n ), которая покрывает X и такая, что I n имеет длину не более ε n . Гипотеза Бореля о том, что каждое множество сильной меры нуля счетно, не зависит от ZFC.
Подмножество X действительной прямой является -плотным, если каждый открытый интервал содержит -множество элементов X. Являются ли все -плотные множества изоморфными по порядку, не зависит от ZFC. [2]
Проблема Суслина заключается в том, характеризует ли определенный короткий список свойств упорядоченное множество действительных чисел R . Это неразрешимо в ZFC. [3] Линия Суслина — это упорядоченное множество, которое удовлетворяет этому определенному списку свойств, но не является порядково-изоморфным R . Принцип алмаза ◊ доказывает существование линии Суслина, в то время как MA + ¬CH подразумевает EATS ( каждое дерево Ароншайна является особым ), [4] что, в свою очередь, подразумевает (но не эквивалентно) [5] несуществование линий Суслина. Рональд Йенсен доказал, что CH не подразумевает существование линии Суслина. [6]
Существование деревьев Курепы не зависит от ZFC, предполагая согласованность недоступного кардинала . [7]
Существование разбиения порядкового числа на два цвета без одноцветного несчетного последовательно замкнутого подмножества не зависит от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, предполагая согласованность кардинала Мало . [8] [9] [10] Эта теорема Шелаха отвечает на вопрос Х. Фридмана .
В 1973 году Сахарон Шелах показал, что проблема Уайтхеда («является ли каждая абелева группа A с Ext 1 (A, Z ) = 0 свободной абелевой группой ?») не зависит от ZFC. [11] Абелева группа с Ext 1 (A, Z ) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, в то время как V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны. В одном из самых ранних применений собственного форсинга Шелах построил модель ZFC + CH, в которой существует несвободная группа Уайтхеда. [12] [13]
Рассмотрим кольцо A = R [ x , y , z ] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле дробей M = R ( x , y , z ). Проективная размерность M как A -модуля равна либо 2, либо 3, но она не зависит от ZFC, равна ли она 2; она равна 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH. [ 14]
Прямое произведение счетного числа полей имеет глобальную размерность 2 тогда и только тогда, когда выполняется гипотеза континуума. [15]
Можно записать конкретный многочлен p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ] такой, что утверждение «существуют целые числа m 1 , ..., m 9 с p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0» не может быть ни доказано, ни опровергнуто в ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Это следует из решения Юрия Матиясевича десятой проблемы Гильберта ; многочлен построен так, что он имеет целый корень тогда и только тогда, когда ZFC непротиворечива. [16]
Более сильная версия теоремы Фубини для положительных функций, где функция больше не предполагается измеримой , а просто то, что два повторных интеграла хорошо определены и существуют, не зависит от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны — функция является просто индикаторной функцией упорядочения [0, 1], эквивалентного хорошему упорядочению кардинала ω 1 . Похожий пример можно построить с помощью MA . С другой стороны, согласованность сильной теоремы Фубини была впервые показана Фридманом . [17] Она также может быть выведена из варианта аксиомы симметрии Фрейлинга . [18]
Гипотеза о нормальном пространстве Мура, а именно, что каждое нормальное пространство Мура метризуемо , может быть опровергнута, если принять гипотезу континуума или принять как аксиому Мартина , так и отрицание гипотезы континуума, и может быть доказана, если принять определенную аксиому, которая подразумевает существование больших кардиналов . Таким образом, при наличии больших кардиналов гипотеза о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC. [19]
Существование S-пространства не зависит от ZFC. В частности, оно следует из существования линии Суслина. [20]
Гарт Дейлс и Роберт М. Соловей доказали в 1976 году, что гипотеза Капланского , а именно, что каждый гомоморфизм алгебры из банаховой алгебры C(X) (где X — некоторое компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру должен быть непрерывным, не зависит от ZFC. Из CH следует, что для любого бесконечного X существует разрывный гомоморфизм в любую банахову алгебру. [21]
Рассмотрим алгебру B ( H ) ограниченных линейных операторов на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H . Компактные операторы образуют двусторонний идеал в B ( H ). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух собственно меньших идеалов, не зависит от ZFC, как было доказано Андреасом Блассом и Сахароном Шелахом в 1987 году. [22]
В 2003 году Чарльз Акеман и Ник Уивер показали, что утверждение «существует контрпример к проблеме Наймарка , который порождается ℵ 1 элементами» не зависит от ZFC.
Мирослав Бачак и Петр Гаек доказали в 2008 году, что утверждение «каждое пространство Асплунда с характером плотности ω 1 имеет перенормировку со свойством пересечения Мазура» не зависит от ZFC. Результат показан с использованием аксиомы максимума Мартина , в то время как Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагающий CH.
Как показали Илияс Фарах [23] , Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер [24], существование внешних автоморфизмов алгебры Калкина зависит от теоретико-множественных предположений, выходящих за рамки ZFC.
Проблема Ветцеля , которая спрашивает, является ли счетным каждый набор аналитических функций , принимающий не более счетного числа различных значений в каждой точке, верна тогда и только тогда, когда континуум-гипотеза ложна. [25]
Гипотеза Чанга не зависит от ZFC, если предположить согласованность кардинала Эрдёша .
Марсия Грожек и Теодор Сламан привели примеры утверждений, независимых от ZFC, относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, существует ли максимально независимое множество степеней размера меньше континуума. [26]
