В оболочке и без оболочки

Конфигурации системы, удовлетворяющие или не удовлетворяющие классическим уравнениям движения

В физике , в частности в квантовой теории поля , конфигурации физической системы, удовлетворяющие классическим уравнениям движения , называются конфигурациями на массовой оболочке ( on shell ); те, которые этого не делают, называются конфигурациями вне массовой оболочки ( off shell ).

В квантовой теории поля виртуальные частицы называются внеоболочечными, поскольку они не удовлетворяют соотношению энергия-импульс ; реальные обменные частицы удовлетворяют этому соотношению и называются на (массовой) оболочке. ^{[1] [2] [3]} Например, в классической механике в формулировке действия экстремальные решения вариационного принципа находятся на оболочке, а уравнения Эйлера–Лагранжа дают уравнения на оболочке. Теорема Нётер относительно дифференцируемых симметрий физического действия и законов сохранения является еще одной теоремой на оболочке.

Массовая оболочка

Точки на поверхности гиперболоида («оболочке») являются решениями уравнения.

Массовая оболочка является синонимом массового гиперболоида , то есть гиперболоида в пространстве энергии - импульса, описывающего решения уравнения:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$,

формула эквивалентности массы и энергии , которая дает энергию в терминах импульса и массы покоя частицы. Уравнение для массовой оболочки также часто записывается в терминах четырехимпульса ; в обозначениях Эйнштейна с метрической сигнатурой (+,−,−,−) и единицами, где скорость света , как . В литературе можно также встретить , если используемая метрическая сигнатура (−,+,+,+). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$ ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$

Четырехимпульс обмененной виртуальной частицы равен , с массой . Четырехимпульс виртуальной частицы равен разнице между четырехимпульсами входящей и исходящей частиц. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$

Виртуальные частицы, соответствующие внутренним пропагаторам в диаграмме Фейнмана, в общем случае могут находиться вне оболочки, но амплитуда процесса будет уменьшаться в зависимости от того, насколько далеко они находятся от оболочки. ^[4] Это происходит потому, что -зависимость пропагатора определяется четырьмя импульсами входящих и исходящих частиц. Пропагатор обычно имеет сингулярности на массовой оболочке. ^[5] ${\displaystyle q^{2}}$

Когда речь идет о пропагаторе, отрицательные значения, удовлетворяющие уравнению, рассматриваются как находящиеся на оболочке, хотя классическая теория не допускает отрицательных значений для энергии частицы. Это происходит потому, что пропагатор объединяет в одном выражении случаи, в которых частица переносит энергию в одном направлении, и случаи, в которых ее античастица переносит энергию в другом направлении; отрицательные и положительные on-shell тогда просто представляют противоположные потоки положительной энергии. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Скалярное поле

Примером может служить рассмотрение скалярного поля в D -мерном пространстве Минковского . Рассмотрим плотность Лагранжа, заданную как . Действие ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

Уравнение Эйлера–Лагранжа для этого действия можно найти, варьируя поле и его производную и приравнивая вариацию к нулю :

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Теперь рассмотрим бесконечно малый перенос пространства-времени . Плотность Лагранжа является скаляром, и поэтому будет бесконечно мало трансформироваться как при бесконечно малом преобразовании. С другой стороны, по разложению Тейлора , мы имеем в общем случае ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

Подставляя и отмечая, что (поскольку вариации независимы в каждой точке пространства-времени): ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Поскольку это должно выполняться для независимых переводов , мы можем «разделить» на и записать: ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$ ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Это пример уравнения, которое выполняется вне оболочки , поскольку оно справедливо для любой конфигурации полей, независимо от того, соблюдает ли оно уравнения движения (в данном случае уравнение Эйлера–Лагранжа, приведенное выше). Однако мы можем вывести уравнение на оболочке , просто подставив уравнение Эйлера–Лагранжа:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Мы можем записать это так:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

А если мы определим величину в скобках как , то получим: ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Это пример теоремы Нётер. Здесь сохраняющейся величиной является тензор энергии-напряжения , который сохраняется только на оболочке, то есть, если выполняются уравнения движения.

Ссылки

1. Томсон, М. (2013). Современная физика элементарных частиц . Cambridge University Press, ISBN  978-1107034266 , стр. 117–119.
2. Качазо, Фредди (21 декабря 2012 г.). «Глубокое погружение: на оболочке и вне оболочки». Институт теоретической физики Периметра .
3. Аркани-Хамед, Н. (21 декабря 2012 г.). «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан». arXiv : 1212.5605 [hep-th].
4. Jaeger, Gregg (2019). «Виртуальные частицы менее реальны?» (PDF) . Entropy . 21 (2): 141. Bibcode :2019Entrp..21..141J. doi : 10.3390/e21020141 . PMC 7514619 . PMID  33266857. 
5. Томсон, М. (2013). Современная физика элементарных частиц . Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266 , стр.119.