Мяч (математика)

Объемное пространство, ограниченное сферой

В евклидовом пространстве шар — это объем , ограниченный сферой.

В математике шар — это объёмная фигура , ограниченная сферой ; её также называют твёрдой сферой . ^[1] Это может быть замкнутый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).

Эти понятия определены не только в трехмерном евклидовом пространстве , но также для низших и высших измерений и для метрических пространств в целом. Шар в n измерениях называется гипершаром или n -шаром и ограничен гиперсферой или ( n − 1 )-сферой . Так, например, шар в евклидовой плоскости — это то же самое, что и диск , площадь, ограниченная кругом . В евклидовом 3-пространстве шаром считается объем, ограниченный 2 -мерной сферой . В одномерном пространстве шар — это отрезок прямой .

В других контекстах, например, в евклидовой геометрии и неформальном использовании, сфера иногда используется для обозначения шара . В области топологии замкнутый -мерный шар часто обозначается как или , в то время как открытый -мерный шар обозначается как или . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B^{n}}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {int} B^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} D^{n}}$

В евклидовом пространстве

В евклидовом n -пространстве (открытый) n -шар радиуса r и центра x - это множество всех точек, находящихся на расстоянии меньшем r от x . Закрытый n -шар радиуса r - это множество всех точек, находящихся на расстоянии меньшем или равном r от x .

В евклидовом n -пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Шар является ограниченным интервалом при n = 1 , является диском, ограниченным окружностью при n = 2 , и ограничен сферой при n = 3 .

Объем

n -мерный объем евклидова шара радиуса r в n -мерном евклидовом пространстве равен: ^[2] где  Γ - гамма-функция Леонарда Эйлера ( которую можно рассматривать как расширение факториальной функции на дробные аргументы). Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют вычисления гамма-функции. Это: $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}}$$

В формуле для нечетномерных объемов двойной факториал (2 k + 1)!! определяется для нечетных целых чисел 2 k + 1 как (2 k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1) .

В общих метрических пространствах

Пусть ( M , d ) — метрическое пространство , а именно множество M с метрикой (функцией расстояния) d , и пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ — положительное действительное число. Открытый (метрический) шар радиуса r с центром в точке p в M , обычно обозначаемый как B _r ( p ) или B ( p ; r ) , определяется так же, как евклидов шар, как множество точек в M , находящихся на расстоянии меньшем r от p , $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.}$$

Замкнутый (метрический) шар, иногда обозначаемый B _r [ p ] или B [ p ; r ] , также определяется как множество точек, находящихся на расстоянии меньшем или равном r от p , $${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$$

В частности, шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя p , поскольку определение требует r > 0. Единичный шар (открытый или закрытый) — это шар радиуса 1.

Шар в общем метрическом пространстве не обязательно должен быть круглым. Например, шар в вещественном координатном пространстве под расстоянием Чебышева является гиперкубом , а шар под расстоянием такси является кросс-политопом . Замкнутый шар также не обязательно должен быть компактным . Например, замкнутый шар в любом бесконечномерном нормированном векторном пространстве никогда не является компактным. Однако шар в векторном пространстве всегда будет выпуклым вследствие неравенства треугольника.

Подмножество метрического пространства ограничено , если оно содержится в некотором шаре. Множество полностью ограничено , если при любом положительном радиусе оно покрывается конечным числом шаров этого радиуса.

Открытые шары метрического пространства могут служить базой , задавая этому пространству топологию , открытые множества которой являются всевозможными объединениями открытых шаров. Эта топология на метрическом пространстве называется топологией, индуцированной метрикой d .

Пусть обозначает замыкание открытого шара в этой топологии. Хотя всегда так, что не всегда так, например, в метрическом пространстве с дискретной метрикой , то для любого ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$ ${\displaystyle B_{r}(p)}$ ${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],}$ ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$ ${\displaystyle B_{1}[p]=X}$ ${\displaystyle p\in X.}$

В нормированных векторных пространствах

Любое нормированное векторное пространство V с нормой также является метрическим пространством с метрикой В таких пространствах произвольный шар точек вокруг точки с расстоянием меньше можно рассматривать как масштабированную (на ) и перенесенную (на ) копию единичного шара Такие «центрированные» шары с обозначаются как ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|.}$ ${\displaystyle B_{r}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{1}(0).}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle B(r).}$

Евклидовы шары, рассмотренные ранее, являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.

п-норма

В декартовом пространстве R ⁿ с p -нормой L _p , то есть выбирается некоторая и определяется Тогда открытый шар вокруг начала координат с радиусом задается множеством Для n = 2 в 2-мерной плоскости «шары» согласно L ₁ -норме (часто называемой метрикой такси или Манхэттена ) ограничены квадратами с диагоналями , параллельными осям координат; те, что соответствуют L _∞ -норме, также называемой метрикой Чебышева , имеют квадраты со сторонами, параллельными осям координат, в качестве своих границ. L ₂ -норма, известная как евклидова метрика, порождает хорошо известные диски внутри кругов, а для других значений p соответствующие шары являются областями, ограниченными кривыми Ламе (гипоэллипсами или гиперэллипсами). ${\displaystyle p\geq 1}$ $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},}$$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

При n = 3 L 1 -шары находятся внутри октаэдров с выровненными по осям диагоналями тела , L _{∞ -шары находятся внутри кубов с выровненными} по осям ребрами , а границы шаров для L _p при p > 2 являются суперэллипсоидами . p = 2 порождает внутреннюю часть обычных сфер.

Часто можно также рассмотреть случай, в котором мы определяем ${\displaystyle p=\infty }$ $${\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}}$$

Общая выпуклая норма

В более общем случае, если задано любое центрально-симметричное , ограниченное , открытое и выпуклое подмножество X из R ⁿ , можно определить норму на R ^{n ,} где все шары являются перемещенными и равномерно масштабированными копиями  X . Обратите внимание, что эта теорема не выполняется, если «открытое» подмножество заменить на «замкнутое», поскольку исходная точка квалифицирует, но не определяет норму на  R ⁿ .

В топологических пространствах

Можно говорить о шарах в любом топологическом пространстве X , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытый или закрытый) n -мерный топологический шар X - это любое подмножество X , которое гомеоморфно (открытому или закрытому) евклидову n -шару. Топологические n -шары важны в комбинаторной топологии , как строительные блоки клеточных комплексов .

Любой открытый топологический n -шар гомеоморфен декартову пространству R ⁿ и открытому единичному n -кубу (гиперкубу) (0, 1) ⁿ ⊆ R ⁿ . Любой замкнутый топологический n -шар гомеоморфен замкнутому n -кубу [0, 1] ⁿ .

n -шар гомеоморфен m -шару тогда и только тогда, когда n = m . Гомеоморфизмы между открытым n -шаром B и R n ^можно разделить на два класса, которые можно отождествить с двумя возможными топологическими ориентациями B. 

Топологический n -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, он не обязательно должен быть диффеоморфным евклидову n -шару.

Регионы

Для мяча можно определить ряд специальных областей:

• крышка , ограниченная одной плоскостью
• сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
• сегмент , ограниченный парой параллельных плоскостей
• оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
• клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы

Смотрите также

• Мяч – обычное значение
• Диск (математика)
• Формальный шар , расширение до отрицательных радиусов
• Соседство (математика)
• Сфера , подобная геометрическая фигура
• 3-сфера
• n -сфера , или гиперсфера
• Рогатая сфера Александра
• Коллектор
• Объем n -шара
• Октаэдр – 3-шар в _{метрике} l1 .

Ссылки

1. Sūgakkai, Nihon (1993). Энциклопедический словарь математики. MIT Press . ISBN 9780262590204.
2. Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST . [1] Выпуск 1.0.6 от 06.05.2013.

• Смит, DJ; Ваманамурти, MK (1989). «Насколько мал единичный шар?». Mathematics Magazine . 62 (2): 101–107. doi :10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR  2690391.
• Dowker, JS (1996). «Условия Робина на евклидовом шаре». Классическая и квантовая гравитация . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode :1996CQGra..13..585D. doi :10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID  119438515.
• Грубер, Питер М. (1982). «Изометрии пространства выпуклых тел, содержащихся в евклидовом шаре». Israel Journal of Mathematics . 42 (4): 277–283. doi :10.1007/BF02761407. S2CID  119483499.