В математике операция — это функция множества в себя . Например, операция над действительными числами будет принимать действительные числа и возвращать действительное число. Операция может принимать ноль или более входных значений (также называемых « операндами » или «аргументами») в четко определенное выходное значение. Количество операндов — это арность операции.
Наиболее часто изучаемыми операциями являются бинарные операции (т. е. операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. е. операции арности 1), такие как аддитивная обратная и мультипликативная обратная . Операция арности ноль, или нульарная операция , является константой . [1] [2] Смешанное произведение является примером операции арности 3, также называемой тернарной операцией .
Обычно арность считается конечной. Однако иногда рассматриваются бесконечные операции , [1] в этом случае «обычные» операции конечной арности называются финитными операциями .
Частичная операция определяется аналогично операции, но с частичной функцией вместо функции.
Существует два распространенных типа операций: унарные и бинарные . Унарные операции включают только одно значение, например, отрицание и тригонометрические функции . [3] Бинарные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . [4]
Операции могут включать математические объекты, отличные от чисел. Логические значения true и false можно комбинировать с помощью логических операций , таких как and , or, and not . Векторы можно складывать и вычитать. [5] Вращения можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя сначала вращение, а затем второе. Операции над множествами включают бинарные операции union и crossing и унарную операцию addition . [6] [7] [8] Операции над функциями включают композицию и convolution . [9] [10]
Операции не могут быть определены для каждого возможного значения ее области определения . Например, в действительных числах нельзя делить на ноль [11] или извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют множество, называемое ее областью определения или активной областью определения . Множество, содержащее полученные значения, называется областью значений , но множество фактических значений, достигаемых операцией, является ее областью значений, активной областью значений, образом или диапазоном . [12] Например, в действительных числах операция возведения в квадрат производит только неотрицательные числа; область значений — это множество действительных чисел, но диапазон — это неотрицательные числа.
Операции могут включать в себя разнородные объекты: вектор можно умножить на скаляр , чтобы получить другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ) [13] , а операция скалярного произведения двух векторов дает величину, которая является скалярной. [14] [15] Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и т. д.
Объединенные значения называются операндами , аргументами или входами , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или больше двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного множества входов [1] ).
Оператор похож на операцию в том, что он ссылается на символ или процесс, используемый для обозначения операции, поэтому их точки зрения различаются. Например, часто говорят об «операции сложения» или «операции сложения», когда фокусируются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда фокусируются на процессе, или с более символической точки зрения, на функцию + : X × X → X (где X — это множество, такое как множество действительных чисел).
n -арная операция ω на множестве X — это функция ω : X n → X . Множество X n называется областью определения операции, выходное множество называется областью определения операции, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции. Таким образом, унарная операция имеет арность один, а бинарная операция — арность два. Операция с арностью ноль, называемая нуль-арной операцией, является просто элементом области определения Y . n -арная операция также может рассматриваться как ( n + 1) -арное отношение , которое является полным на своих n входных областях и уникальным на своей выходной области.
Частичная операция n-арного порядка ω из X n в X является частичной функцией ω : X n → X. Частичную операцию n -арного порядка можно также рассматривать как ( n + 1) -арное отношение, уникальное в своей выходной области.
Выше описано то, что обычно называют финитной операцией , ссылаясь на конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, где арность берется как бесконечный ординал или кардинал , [1] или даже как произвольный набор, индексирующий операнды.
Часто использование термина операция подразумевает, что область функции включает степень кодомена (т.е. декартово произведение одной или нескольких копий кодомена), [16] хотя это ни в коем случае не является универсальным, как в случае скалярного произведения , где векторы умножаются и в результате получается скаляр. n -арная операция ω : X n → X называетсявнутренняя операция .n-арная операция ω : X i × S × X n − i − 1 → X , где0 ≤ i < n, называетсявнешней операциейскалярнымнаборомилинабором операторов S.В частности, для бинарной операции ω : S × X → X называетсялево-внешней операциейS,аω : X × S → X называется право-внешней операцией S. Примером внутренней операции является сложение векторов , когдадвавектораскладываютсяив результате получается вектор. Примером внешней операции являетсяскалярное умножение, когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.
N- арный многофункциональный илиМультиоперация ω— это отображение декартовой степени множества в множество подмножеств этого множества, формально.[17]
