Ориентация действительного векторного пространства или просто ориентация векторного пространства — это произвольный выбор того, какие упорядоченные базы ориентированы «положительно», а какие — «отрицательно». В трехмерном евклидовом пространстве правые базы обычно объявляются положительно ориентированными, но выбор произволен, поскольку им может быть назначена и отрицательная ориентация. Векторные пространства с выбранной ориентацией называются ориентированными , а те, у которых ориентация не выбрана, называютсянеориентированный .
В математике ориентируемость — это более широкое понятие, которое в двух измерениях позволяет сказать, когда цикл идет по часовой стрелке или против часовой стрелки, а в трех измерениях — когда фигура левая или правая. В линейной алгебре над действительными числами понятие ориентации имеет смысл в произвольном конечном измерении и является своего рода асимметрией, которая делает отражение невозможным для воспроизведения с помощью простого смещения . Таким образом, в трех измерениях невозможно превратить левую руку человеческой фигуры в правую руку фигуры, применив только смещение, но это возможно сделать, отразив фигуру в зеркале. В результате в трехмерном евклидовом пространстве две возможные базисные ориентации называются правой и левой (или правохиральной и левохиральной).
Пусть V — конечномерное действительное векторное пространство, а b 1 и b 2 — два упорядоченных базиса для V . Стандартный результат линейной алгебры заключается в том, что существует единственное линейное преобразование A : V → V , которое переводит b 1 в b 2 . Говорят, что базисы b 1 и b 2 имеют одинаковую ориентацию (или согласованно ориентированы), если A имеет положительный определитель ; в противном случае они имеют противоположные ориентации . Свойство иметь одинаковую ориентацию определяет отношение эквивалентности на множестве всех упорядоченных базисов для V . Если V не равно нулю, существует ровно два класса эквивалентности, определяемых этим отношением. Ориентация на V — это присвоение +1 одному классу эквивалентности и −1 другому. [1]
Каждый упорядоченный базис живет в том или ином классе эквивалентности. Таким образом, любой выбор привилегированного упорядоченного базиса для V определяет ориентацию: класс ориентации привилегированного базиса объявляется положительным.
Например, стандартный базис на R n обеспечивает стандартную ориентацию на R n (в свою очередь, ориентация стандартного базиса зависит от ориентации декартовой системы координат , на которой он построен). Любой выбор линейного изоморфизма между V и R n обеспечит тогда ориентацию на V .
Порядок элементов в базисе имеет решающее значение. Два базиса с разным порядком будут отличаться некоторой перестановкой . Они будут иметь одинаковую/противоположную ориентацию в зависимости от того, равна ли сигнатура этой перестановки ±1. Это происходит потому, что определитель матрицы перестановки равен сигнатуре связанной перестановки.
Аналогично, пусть A — невырожденное линейное отображение векторного пространства R n в R n . Это отображение сохраняет ориентацию, если его определитель положителен. [2] Например, в R 3 поворот вокруг декартовой оси Z на угол α сохраняет ориентацию: тогда как отражение относительно декартовой плоскости XY не сохраняет ориентацию:
Понятие ориентации вырождается в нульмерном случае. Нульмерное векторное пространство имеет только одну точку — нулевой вектор. Следовательно, единственным базисом нульмерного векторного пространства является пустое множество . Поэтому существует единственный класс эквивалентности упорядоченных базисов, а именно класс, единственным членом которого является пустое множество. Это означает, что ориентация нульмерного пространства является функцией. Поэтому возможно ориентировать точку двумя различными способами: положительным и отрицательным.
Поскольку существует только один упорядоченный базис , нульмерное векторное пространство совпадает с нульмерным векторным пространством с упорядоченным базисом. Выбор или , следовательно, выбирает ориентацию каждого базиса каждого нульмерного векторного пространства. Если всем нульмерным векторным пространствам назначена эта ориентация, то, поскольку все изоморфизмы среди нульмерных векторных пространств сохраняют упорядоченный базис, они также сохраняют ориентацию. Это отличается от случая многомерных векторных пространств, где нет способа выбрать ориентацию так, чтобы она сохранялась при всех изоморфизмах.
Однако существуют ситуации, когда желательно задать разную ориентацию разным точкам. Например, рассмотрим основную теорему исчисления как пример теоремы Стокса . Замкнутый интервал [ a , b ] — это одномерное многообразие с границей , а его границей является множество { a , b } . Чтобы получить правильное утверждение основной теоремы исчисления, точка b должна быть ориентирована положительно, а точка a — отрицательно.
Одномерный случай имеет дело с ориентированной линией или направленной линией , которую можно пересекать в одном из двух направлений. В реальном координатном пространстве ориентированная линия также известна как ось . [ 3] Существуют две ориентации линии , так же как существуют две ориентации ориентированной окружности (по часовой стрелке и против часовой стрелки). Полубесконечная ориентированная линия называется лучом . В случае отрезка линии (связного подмножества линии) две возможные ориентации приводят к направленным отрезкам линии .
Ориентируемая поверхность иногда имеет выбранную ориентацию, указанную ориентацией нормали к поверхности . Ориентированная плоскость может быть определена псевдовектором .
Для любого n -мерного вещественного векторного пространства V мы можем сформировать k -ю внешнюю степень V , обозначаемую Λ k V . Это вещественное векторное пространство размерности . Следовательно, векторное пространство Λ n V (называемое верхней внешней степенью ) имеет размерность 1. То есть, Λ n V является просто вещественной прямой. Не существует априорного выбора того, какое направление на этой прямой является положительным. Ориентация является именно таким выбором. Любая ненулевая линейная форма ω на Λ n V определяет ориентацию V , объявляя, что x находится в положительном направлении, когда ω ( x ) > 0. Чтобы связать с базисной точкой зрения, мы говорим, что положительно ориентированные базисы - это те, на которых ω оценивается как положительное число (поскольку ω является n -формой, мы можем оценить ее на упорядоченном наборе из n векторов, задавая элемент R ). Форма ω называется формой ориентации . Если { ei } — привилегированный базис для V , а { ei ∗ } — двойственный базис , то форма ориентации, задающая стандартную ориентацию, имеет вид e1 ∗ ∧e2 ∗ ∧ … ∧en ∗ .
Связь этого с детерминантной точкой зрения такова: детерминант эндоморфизма можно интерпретировать как индуцированное действие на верхнюю внешнюю мощность.
Пусть B — множество всех упорядоченных базисов для V . Тогда общая линейная группа GL( V ) действует свободно и транзитивно на B . (Выражаясь языком, B — это GL( V ) -торсор ). Это означает, что как многообразие B (неканонически) гомеоморфно GL( V ). Обратите внимание, что группа GL( V ) не является связной , а имеет две связные компоненты в соответствии с тем, является ли определитель преобразования положительным или отрицательным (за исключением GL 0 , которая является тривиальной группой и, таким образом, имеет одну связную компоненту; это соответствует канонической ориентации на нульмерном векторном пространстве). Компонента тождества GL( V ) обозначается GL + ( V ) и состоит из тех преобразований с положительным определителем. Действие GL + ( V ) на B не является транзитивным: существуют две орбиты, которые соответствуют связным компонентам B . Эти орбиты являются в точности классами эквивалентности, упомянутыми выше. Поскольку B не имеет выделенного элемента (т. е. привилегированного базиса), нет естественного выбора того, какой компонент является положительным. Сравните это с GL( V ), у которого есть привилегированный компонент: компонент тождества. Конкретный выбор гомеоморфизма между B и GL( V ) эквивалентен выбору привилегированного базиса и, следовательно, определяет ориентацию.
Более формально: , а многообразие Штифеля n -фреймов в является -торсором , поэтому является торсором над , т.е. его 2 точками, и выбор одной из них является ориентацией.
Различные объекты геометрической алгебры наделены тремя атрибутами или характеристиками : отношением, ориентацией и величиной. [5] Например, вектор имеет отношение, заданное прямой линией, параллельной ему, ориентацию, заданную его смыслом (часто обозначенную стрелкой), и величину, заданную его длиной. Аналогично, бивектор в трех измерениях имеет отношение, заданное семейством плоскостей , связанных с ним (возможно, заданным нормальной линией, общей для этих плоскостей [6] ), ориентацию (иногда обозначенную изогнутой стрелкой на плоскости), указывающую выбор смысла пересечения его границы (его циркуляцию ), и величину, заданную площадью параллелограмма, заданной его двумя векторами. [7]
Каждая точка p на n -мерном дифференцируемом многообразии имеет касательное пространство T p M , которое является n -мерным действительным векторным пространством. Каждому из этих векторных пространств можно приписать ориентацию. Некоторые ориентации «плавно меняются» от точки к точке. Из-за определенных топологических ограничений это не всегда возможно. Многообразие, допускающее плавный выбор ориентаций для своих касательных пространств, называется ориентируемым .
{{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ){{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это величина ориентированной площади в определенной плоскости, вот и все.