В математике ориентация кривой — это выбор одного из двух возможных направлений движения по кривой . Например, для декартовых координат ось x традиционно ориентирована вправо, а ось y — вверх.
В случае плоской простой замкнутой кривой (то есть кривой на плоскости, начальная точка которой является также конечной точкой и которая не имеет других самопересечений), кривая называется положительно ориентированной или ориентированной против часовой стрелки , если при движении по нему всегда имеет внутреннюю кривую слева (и, следовательно, внешнюю кривую справа). В противном случае, то есть если поменять местами левое и правое, кривая будет ориентирована отрицательно или по часовой стрелке . Это определение основано на том факте, что каждая простая замкнутая кривая имеет четко определенную внутреннюю часть, что следует из теоремы Жордана о кривой .
Внутренний контур кольцевой дороги в стране, где люди ездят по правой стороне дороги, является примером отрицательно ориентированной кривой ( по часовой стрелке ). В тригонометрии единичный круг традиционно ориентирован против часовой стрелки .
Понятие ориентации кривой есть лишь частный случай понятия ориентации многообразия (т. е . кроме ориентации кривой можно говорить также об ориентации поверхности , гиперповерхности и т. д.).
Ориентация кривой связана с параметризацией ее точек действительной переменной. Кривая может иметь эквивалентные параметризации, если существует непрерывная возрастающая монотонная функция , связывающая параметр одной кривой с параметром другой. Когда существует убывающая непрерывная функция, связывающая параметры, параметрические представления противоположны и ориентация кривой меняется на обратную. [1] [2]
В двух измерениях, если задан упорядоченный набор из трех или более соединенных вершин (точек) (например, в соединении точек ), который образует простой многоугольник , ориентация полученного многоугольника напрямую связана со знаком угла в любом измерении. вершина выпуклой оболочки многоугольника, например угла ABC на рисунке. В вычислениях знак меньшего угла, образованного парой векторов, обычно определяется знаком векторного произведения векторов. Последний может быть рассчитан как знак определителя их матрицы ориентации. В частном случае, когда два вектора определяются двумя отрезками прямой с общей конечной точкой, например, сторонами BA и BC угла ABC в нашем примере, матрица ориентации может быть определена следующим образом:
Формулу для его определителя можно получить, например, методом разложения сомножителей :
Если определитель отрицательный, то многоугольник ориентирован по часовой стрелке. Если определитель положителен, многоугольник ориентирован против часовой стрелки. Определитель отличен от нуля, если точки A, B и C не лежат на одной прямой . В приведенном выше примере с точками, расположенными в порядке A, B, C и т. д., определитель отрицательный, и, следовательно, многоугольник расположен по часовой стрелке.
В практических приложениях обычно принимают во внимание следующие соображения.
Чтобы найти подходящую вершину, не нужно строить выпуклую оболочку многоугольника. Обычно выбирают вершину многоугольника с наименьшей координатой X. Если их несколько, выбирается тот, у которого координата Y наименьшая. Гарантировано, что это вершина выпуклой оболочки многоугольника. Альтернативно, вершина с наименьшей координатой Y среди вершин с наибольшими координатами X или вершина с наименьшей координатой X среди вершин с наибольшими координатами Y (или любая другая из 8 «наименьших, самых больших» X/ Y-комбинации) тоже подойдут. После того, как вершина выпуклой оболочки выбрана, можно применить формулу, используя предыдущую и следующую вершины, даже если они не принадлежат выпуклой оболочке, поскольку в этой вершине не может быть локальной вогнутости.
Если искать ориентацию выпуклого многоугольника , то, конечно, можно выбрать любую вершину.
По численным соображениям обычно используется следующая эквивалентная формула для определителя:
Последняя формула имеет на четыре умножения меньше. Что еще более важно в компьютерных вычислениях, используемых в большинстве практических приложений, таких как компьютерная графика или САПР , абсолютные значения множителей обычно меньше (например, когда A, B, C находятся в одном квадранте ), что дает меньший численный результат . ошибка или, в крайнем случае, избежание арифметического переполнения .
Когда заранее неизвестно, что последовательность точек определяет простой многоугольник, необходимо иметь в виду следующее.
Для самопересекающегося многоугольника ( комплексного многоугольника ) (или для любой самопересекающейся кривой) не существует естественного понятия «внутренность», следовательно, ориентация не определена. В то же время в геометрии и компьютерной графике существует ряд концепций, заменяющих понятие «внутренность» замкнутых непростых кривых; см., например, « заливка заливки » и « номер обмотки ».
В «мягких» случаях самопересечения с вырожденными вершинами, когда три последовательные точки могут находиться на одной прямой и образовывать угол в нуль градусов, концепция «внутреннего» все еще имеет смысл, но необходимо проявлять особую осторожность. в выборе испытуемого угла. В данном примере представим, что точка А лежит на отрезке BC. В этой ситуации угол ABC и его определитель будут равны 0 и, следовательно, бесполезны. Решение состоит в том, чтобы проверять последовательные углы вдоль многоугольника (BCD, DEF,...) до тех пор, пока не будет найден ненулевой определитель (если только все точки не лежат на одной прямой ). (Обратите внимание, что точки C, D, E лежат на одной прямой и образуют угол 180 градусов с нулевым определителем.)
Как только ориентация многоугольника, образованного из упорядоченного набора вершин, известна, вогнутость локальной области многоугольника может быть определена с использованием второй матрицы ориентации. Эта матрица состоит из трех последовательных вершин, которые проверяются на вогнутость. Например, в изображенном выше многоугольнике, если мы хотим узнать, является ли последовательность точек FGH вогнутой , выпуклой или коллинеарной (плоской), мы строим матрицу
Если определитель этой матрицы равен 0, то последовательность коллинеарна – ни вогнута, ни выпукла. Если определитель имеет тот же знак, что и матрица ориентации всего многоугольника, то последовательность выпуклая. Если знаки различаются, то последовательность вогнутая. В этом примере многоугольник ориентирован отрицательно, но определитель точек FGH положителен, поэтому последовательность FGH вогнутая.
В следующей таблице показаны правила определения того, является ли последовательность точек выпуклой, вогнутой или плоской:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(O)&=1{\begin{vmatrix}x_{B}&y_{B}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}-1{ \begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{B }&y_{B}\end{vmatrix}}\\[4pt]&=x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}-x_{A}y_{C}+y_{A}x_ {C}+x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\\[4pt]&=(x_{B}y_{C}+x_{A}y_{B}+y_{A }x_{C})-(y_{A}x_{B}+y_{B}x_{C}+x_{A}y_{C}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a5f9441ca7207e2bb32894caf834d53f3669c2)
