Ортант

В двух измерениях есть четыре ортанта (называемые квадрантами).

В геометрии ортант ^[1] или гипероктант [ ^2] — это аналог в n -мерном евклидовом пространстве квадранта на плоскости или октанта в трёх измерениях.

В общем, ортант в n -мерностях можно рассматривать как пересечение n взаимно ортогональных полупространств . В результате независимого выбора знаков полупространства в n -мерном пространстве имеется 2 ^{n ортантов.}

Более конкретно, закрытый ортант в R ⁿ представляет собой подмножество, определенное путем ограничения каждой декартовой координаты неотрицательностью или неположительностью. Такое подмножество определяется системой неравенств:

ε ₁ x ₁  ≥ 0 ε ₂ x ₂  ≥ 0 · · · ε _n x _n  ≥ 0,

где каждое ε _i равно +1 или −1.

Аналогично, открытый ортант в Rn — это подмножество ^, определяемое системой строгих неравенств

ε ₁ x ₁  > 0 ε ₂ x ₂  > 0 · · · ε _n x _n  > 0,

где каждое ε _i равно +1 или −1.

По размеру:

• В одном измерении ортант — это луч .
• В двух измерениях ортант — это квадрант .
• В трёх измерениях ортант — это октант .

Джон Конвей и Нил Слоан определили термин n - ортоплекс от ортантного комплекса как правильный многогранник в n -мерностях с 2 ⁿ симплексными гранями , по одному на ортант. ^[3]

Неотрицательный ортант является обобщением первого квадранта на n -мерности и важен во многих задачах оптимизации с ограничениями .

Смотрите также

• Перекрестный многогранник (или ортоплекс) - семейство правильных многогранников n -мерности , которые можно построить с помощью одной симплексной грани в каждом ортантном пространстве.
• Многогранник меры (или гиперкуб) - семейство правильных многогранников n -мерности, которые можно построить с одной вершиной в каждом ортантном пространстве.
• Ортотоп – обобщение прямоугольника в n -мерностях, с одной вершиной в каждой ортанте.

Рекомендации

1. Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-24766-1.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Гипероктант». Математический мир .
3. Конвей, Дж. Х.; Слоан, Нью-Джерси (1991). «Ячеистые структуры некоторых решеток». В Хилтоне, П.; Хирцебрух, Ф.; Реммерт, Р. (ред.). Разное Математика . Берлин: Шпрингер. стр. 89–90. дои : 10.1007/978-3-642-76709-8_5. ISBN 978-3-642-76711-1.

дальнейшее чтение

• Факты в досье: Справочник по геометрии , Кэтрин А. Горини, 2003, ISBN 0-8160-4875-4 , стр.113.