Мощная p-группа

В математике , в области теории групп , особенно при изучении p -групп и про- p -групп , концепция мощных p -групп играет важную роль. Они были введены в (Lubotzky & Mann 1987), где дан ряд приложений, включая результаты о множителях Шура . Мощные p -группы используются при изучении автоморфизмов p - групп (Khukhro 1998), решении ограниченной проблемы Бернсайда (Vaughan-Lee 1993), классификации конечных p -групп с помощью гипотез коклассов (Leedham-Green & McKay 2002) и предоставили превосходный метод понимания аналитических про- p -групп (Dixon et al. 1991).

Формальное определение

Конечная p -группа называется мощной , если коммутант содержится в подгруппе при нечетном , или если содержится в подгруппе при . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G^{4}}$ ${\displaystyle p=2}$

Свойства мощногоп-группы

Мощные p -группы имеют много свойств, подобных абелевым группам , и, таким образом, обеспечивают хорошую основу для изучения p -групп. Каждая конечная p -группа может быть выражена как часть мощной p -группы.

Мощные p -группы также полезны при изучении про- p -групп , поскольку они предоставляют простой способ характеризовать p -адические аналитические группы (группы, которые являются многообразиями над p -адическими числами): Конечно порожденная про- p -группа является p -адической аналитической тогда и только тогда, когда она содержит открытую нормальную подгруппу , которая является мощной: это частный случай глубокого результата Мишеля Лазара (1965).

Некоторые свойства, аналогичные абелевым p -группам : если - мощная p -группа, то: ${\displaystyle G}$

• Подгруппа Фраттини обладает свойством ${\displaystyle \Phi (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}.}$
• ${\displaystyle G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}}$для всех То есть группа, порожденная степенями , есть в точности набор степеней . ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
• Если тогда для всех ${\displaystyle G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle }$ ${\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle }$ ${\displaystyle k\geq 1.}$
• Запись th нижнего центрального ряда имеет свойство для всех ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$
• Каждая факторгруппа мощной p -группы является мощной.
• Ранг Прюфера равен минимальному числу генераторов ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Вот некоторые менее абелевоподобные свойства: если — мощная p -группа, то: ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G^{p^{k}}}$мощный.
• Подгруппы не обязательно обладают большой силой . ${\displaystyle G}$

Ссылки

• Лазар, Мишель (1965), Аналитические группы p-adiques, Publ. Математика. IHÉS 26 (1965), 389–603.
• Диксон, Дж. Д.; дю Сотой, М. П. Ф .; Манн, А.; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-п-группы , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, МР  1152800
• Хухро, Э.И. (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511526008, ISBN 0-521-59717-X, МР  1615819
• Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), Структура групп порядка простых чисел , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, т. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, г-н  1918951
• Любоцкий, Александр ; Манн, Авиноам (1987), "Мощные p-группы. I. Конечные группы", J. Algebra , 105 (2): 484–505, doi :10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR  0873681
• Воган-Ли, Майкл (1993), Ограниченная проблема Бернсайда (2-е изд.), Oxford University Press , ISBN 0-19-853786-7, г-н  1364414