Любую из трех пар параллельных граней можно рассматривать как базовые плоскости призмы. Параллелепипед имеет три набора по четыре параллельных ребра; ребра внутри каждого набора имеют одинаковую длину.
Параллелепипеды возникают в результате линейных преобразований куба (для невырожденных случаев: биективных линейных преобразований) .
Поскольку каждая грань обладает точечной симметрией , параллелепипед является зоноэдром . Также весь параллелепипед имеет точечную симметрию C i (см. также триклинику ). Каждое лицо, если смотреть снаружи, является зеркальным отражением противоположного лица. Грани в целом хиральны , а параллелепипед — нет.
Параллелепипед можно рассматривать как наклонную призму с параллелограммом в основании. Следовательно, объем параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты (см. схему). С
(где – угол между векторами и ), а
(где угол между вектором и нормалью к основанию), получим:
Пусть – матрица 3×3, столбцами которой являются векторы (см. выше). Тогда верно следующее:
(На последних шагах используются , ..., , , , ...)
Соответствующий тетраэдр
Объем любого тетраэдра , имеющего три сходящихся ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. доказательство ).
Площадь поверхности
Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей ограничивающих его параллелограммов:
Особые случаи симметрии
Параллелепипед с симметрией Oh известен как куб , имеющий шесть равных квадратных граней.
Параллелепипед с симметрией D 4h известен как квадратный кубоид , который имеет две квадратные грани и четыре конгруэнтные прямоугольные грани.
Параллелепипед с симметрией D3d известен как тригональный трапецоэдр , имеющий шесть конгруэнтных ромбических граней (также называемый изоэдральным ромбоэдром ).
Для параллелепипедов с симметрией D 2h возможны два случая:
Прямоугольный кубоид : имеет шесть прямоугольных граней (также называемый прямоугольным параллелепипедом или иногда просто кубоидом ).
Правая ромбическая призма : имеет две ромбические грани и четыре равных прямоугольных грани.
Примечание: полностью ромбический частный случай с двумя ромбическими гранями и четырьмя конгруэнтными квадратными гранями имеет то же имя и ту же группу симметрии (D 2h , порядок 8).
Для параллелепипедов с симметрией C 2h возможны два случая:
Призма правая параллелограммная : имеет четыре прямоугольные грани и две параллелограммные грани.
Косая ромбическая призма : у нее две ромбические грани, причем из остальных граней две смежные равны, а также две другие (две пары являются зеркальным отражением друг друга).
Идеальный параллелепипед
Совершенный параллелепипед — это параллелепипед с ребрами целой длины, гранями и пространственными диагоналями . В 2009 году было показано существование десятков совершенных параллелепипедов, [3] ответив на открытый вопрос Ричарда Гая . В одном примере есть ребра 271, 106 и 103, диагонали второстепенных граней 101, 266 и 255, большие диагонали граней 183, 312 и 323 и пространственные диагонали 374, 300, 278 и 272.
Известны совершенные параллелепипеды, имеющие две прямоугольные грани. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все лица прямоугольные; такой случай можно было бы назвать идеальным кубоидом .
Параллелотоп
Коксетер назвал обобщение параллелепипеда в высших измерениях параллелотопом . В современной литературе термин «параллелепипед» часто используется и в более высоких (или произвольных конечных) измерениях. [4]
Конкретно в n -мерном пространстве его называют n -мерным параллелотопом или просто n -параллелотопом (или n -параллелепипедом). Таким образом, параллелограмм — это 2-параллелоэдр, а параллелепипед — 3-параллелоэдр.
Ребра, исходящие из одной вершины k -параллелоэдра, образуют k -кадр векторного пространства, и параллелоэдр можно восстановить из этих векторов, взяв линейные комбинации векторов с весами от 0 до 1.
n - объем n -параллелоэдра, вложенного в где , можно вычислить с помощью определителя Грама . Альтернативно, объем является нормой внешнего произведения векторов:
Если m = n , это равно абсолютному значению определителя матрицы , образованной компонентами n векторов.
Формула для вычисления объема n -параллелоэдра P в , чьи n + 1 вершины равны , имеет вид
Аналогично, объем любого n - симплекса , имеющего n сходящихся ребер параллелоэдра, имеет объем, равный одному 1/ n ! объема этого параллелоэдра.
Этимология
Термин параллелепипед происходит от древнегреческого παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , «тело с параллельными плоскими поверхностями»), от parallēl («параллельный») + epípedon («плоская поверхность»), от epí- («на») + pedon («земля»). ). Таким образом, грани параллелепипеда плоские, а противоположные грани параллельны. [5] [6]
На английском языке термин «параллелипедон» засвидетельствован в переводе Генри Биллингсли «Начал» Евклида в 1570 году . Написание параллелепипед используется в издании 1644 года « Курса математики» Пьера Эригона . В 1663 году современный параллелепипед засвидетельствован в «Хорее гигантской» Уолтера Чарлтона . [5]
В словаре Чарльза Хаттона (1795) показаны параллелепипед и параллелопедон , показывая влияние комбинирующей формы параллело- , как если бы вторым элементом был пипдон , а не эпипедон . Ной Вебстер (1806 г.) включает в себя написание параллелепипед . В Оксфордском словаре английского языка 1989 года параллелепипед (и параллелепипед ) явно описывается как неправильные формы, но в издании 2004 года они перечислены без комментариев, и даны только произношения с ударением на пятый слог пи ( /paɪ/ ).
^ В евклидовой геометрии определены четыре понятия — параллелепипед и куб в трех измерениях, параллелограмм и квадрат в двух измерениях, но в контексте более общей аффинной геометрии , в которой углы не дифференцируются, существуют только параллелограммы и параллелепипеды .
Коксетер, Правильные многогранники HSM , 3-е изд. Нью-Йорк: Дувр, с. 122, 1973. (Он определяет параллелотоп как обобщение параллелограмма и параллелепипеда в n-мерностях.)
Внешние ссылки
Найдите параллелепипед в Викисловаре, бесплатном словаре.
Викискладе есть медиафайлы по теме параллелепипедов .