Установить идентификацию

В статистике и эконометрике идентификация множеств ( или частичная идентификация ) расширяет концепцию идентифицируемости (или «точечной идентификации») в статистических моделях на среды, где модель и распределение наблюдаемых переменных недостаточны для определения уникального значения параметров модели , но вместо этого ограничивают параметры строгим подмножеством пространства параметров. Статистические модели, которые идентифицированы множеством (или частично), возникают в различных условиях в экономике , включая теорию игр и причинную модель Рубина . В отличие от подходов, которые обеспечивают точечную идентификацию параметров модели, методы из литературы по частичной идентификации используются для получения оценок множеств, которые действительны при более слабых предположениях моделирования. ^[1]

История

Ранние работы, содержащие основные идеи идентификации множеств, включали работы Фриша (1934) и Маршака и Эндрюса (1944). Однако методы были значительно развиты и продвинуты Чарльзом Мански , начиная с Мански (1989) и Мански (1990).

Частичная идентификация продолжает оставаться основной темой в исследованиях эконометрики. Пауэлл (2017) назвал частичную идентификацию примером теоретического прогресса в литературе по эконометрике, а Бономм и Шейх (2017) перечисляют частичную идентификацию как «одну из самых выдающихся недавних тем в эконометрике».

Определение

Пусть обозначает вектор скрытых переменных, пусть обозначает вектор наблюдаемых (возможно, эндогенных) объясняющих переменных, и пусть обозначает вектор наблюдаемых эндогенных переменных результата. Структура — это пара , где представляет собой набор условных распределений, а — структурная функция, такая что для всех реализаций случайных векторов . Модель — это набор допустимых (т.е. возможных) структур . ^{[2] [3]} ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{d_{u}}}$ ${\displaystyle Z\in {\mathcal {Z}}\subseteq \mathbb {R} ^{d_{z}}}$ ${\textstyle Y\in {\mathcal {Y}}\subseteq \mathbb {R} ^{d_{y}}}$ ${\displaystyle s=(h,{\mathcal {P}}_{U\mid Z})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{U\mid Z}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h(y,z,u)=0}$ ${\displaystyle (y,z,u)}$ ${\displaystyle (Y,Z,U)}$ ${\displaystyle s}$

Пусть обозначает набор условных распределений , соответствующих структуре . Допустимые структуры и называются эквивалентными с точки зрения наблюдения, если . ^{[2] [3]} Пусть обозначает истинную (т.е. генерирующую данные) структуру. Модель называется идентифицированной по точкам, если для каждого имеем . В более общем смысле модель называется заданно (или частично ) идентифицированной, если существует хотя бы одно допустимое такое, что . Идентифицированный набор структур — это набор допустимых структур, которые эквивалентны с точки зрения наблюдения . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)}$ ${\displaystyle Y\mid Z}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)={\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s')}$ ${\displaystyle s^{\star }}$ ${\displaystyle s\neq s'}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)\neq {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s^{\star })}$ ${\displaystyle s\neq s^{\star }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s)\neq {\mathcal {P}}_{Y\mid Z}(s^{\star })}$ ${\displaystyle s^{\star }}$

В большинстве случаев определение можно существенно упростить. В частности, когда не зависит от и имеет известное (с точностью до некоторого конечномерного параметра) распределение, и когда известно с точностью до некоторого конечномерного вектора параметров, каждая структура может быть охарактеризована конечномерным вектором параметров . Если обозначает истинный (т.е. генерирующий данные) вектор параметров, то идентифицированный набор , часто обозначаемый как , является набором значений параметров, которые с точки зрения наблюдения эквивалентны . ^[4] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{d_{\theta }}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \Theta _{I}\subset \Theta }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Пример: отсутствующие данные

Этот пример принадлежит Тамеру (2010). Предположим, что есть две бинарные случайные величины , Y и Z . Эконометрист интересуется . Однако существует проблема с отсутствующими данными : Y можно наблюдать только в том случае, если . ${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1)}$ ${\displaystyle Z=1}$

По закону полной вероятности ,

${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1)=\mathrm {P} (Y=1\mid Z=1)\mathrm {P} (Z=1)+\mathrm {P} (Y=1\mid Z=0)\mathrm {P} (Z=0).}$

Единственным неизвестным объектом является , который ограничен диапазоном от 0 до 1. Следовательно, идентифицированный набор — это ${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1\mid Z=0)}$

${\displaystyle \Theta _{I}=\{p\in [0,1]:p=\mathrm {P} (Y=1\mid Z=1)\mathrm {P} (Z=1)+q\mathrm {P} (Z=0),{\text{ for some }}q\in [0,1]\}.}$

Учитывая ограничение в виде отсутствующих данных, эконометрист может сказать только то, что . Это позволяет использовать всю доступную информацию. ${\displaystyle \mathrm {P} (Y=1)\in \Theta _{I}}$

Статистический вывод

Оценка множества не может полагаться на обычные инструменты статистического вывода, разработанные для точечной оценки . Литература по статистике и эконометрике изучает методы статистического вывода в контексте моделей, идентифицированных множеством, уделяя особое внимание построению доверительных интервалов или доверительных областей с соответствующими свойствами. Например, метод, разработанный Черножуковым, Хонгом и Тамером (2007), строит доверительные области, которые покрывают идентифицированный набор с заданной вероятностью.

Примечания

1. Тамер 2010.
2. "Обобщенные модели инструментальных переменных - Эконометрическое общество". www.econometricsociety.org . doi :10.3982/ecta12223 . Получено 05.01.2024 .
3. Matzkin, Rosa L. (2013-08-02). «Непараметрическая идентификация в структурных экономических моделях». Annual Review of Economics . 5 (1): 457–486. doi :10.1146/annurev-economics-082912-110231. ISSN  1941-1383.
4. Lewbel 2019.

Ссылки

• Бономм, Стефан; Шейх, Азим (2017). «Сохранение экономики в эконометрике: (микро-) эконометрика в журнале политической экономии». Журнал политической экономии . 125 (6): 1846–1853. doi :10.1086/694620.
• Черножуков, Виктор ; Хонг, Хан; Тамер, Эли (2007). «Оценка и доверительные области для наборов параметров в эконометрических моделях». Econometrica . 75 (5). Эконометрическое общество: 1243–1284. doi : 10.1111/j.1468-0262.2007.00794.x. hdl : 1721.1/63545 . ISSN  0012-9682.
• Фриш, Рагнар (1934). Статистический анализ слияния с помощью полных регрессионных систем . Университетский институт экономики, Осло.
• Мански, Чарльз (1989). «Анатомия проблемы отбора». Журнал человеческих ресурсов . 24 (3): 343–360. doi :10.2307/145818.
• Мански, Чарльз (1990). «Непараметрические границы эффектов лечения». The American Economic Review . 80 (2): 319–323. JSTOR  2006592.
• Маршак, Якоб; Эндрюс, Уильямс (1944). «Случайные одновременные уравнения и теория производства». Econometrica . 12 (3/4). Эконометрическое общество: 143–205. doi :10.2307/1905432.
• Пауэлл, Джеймс (2017). «Идентификация и асимптотические аппроксимации: три примера прогресса в эконометрической теории». Журнал экономических перспектив . 31 (2): 107–124. doi :10.1257/jep.31.2.107.
• Льюбел, Артур (01.12.2019). «Зоопарк идентификации: значения идентификации в эконометрике». Журнал экономической литературы . 57 (4). Американская экономическая ассоциация: 835–903. doi : 10.1257/jel.20181361. ISSN  0022-0515. S2CID  125792293.
• Тамер, Эли (2010). «Частичная идентификация в эконометрике». Annual Review of Economics . 2 (1): 167–195. doi :10.1146/annurev.economics.050708.143401.

Дальнейшее чтение

• Хо, Кейт ; Розен, Адам М. (2017). «Частичная идентификация в прикладных исследованиях: преимущества и проблемы» (PDF) . В Honore, Бо ; Pakes, Ариэль ; Piazzesi, Моника ; Samuelson, Ларри (ред.). Достижения в экономике и эконометрике (PDF) . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 307–359. doi : 10.1017/9781108227223.010. ISBN 978-1-108-22722-3.
• Мански, Чарльз Ф.; Пеппер, Джон В. (июль 2000 г.). «Монотонные инструментальные переменные: с приложением к отдаче от обучения» (PDF) . Econometrica . 68 (4): 997–1010. doi :10.1111/1468-0262.00144. ISSN  0012-9682. JSTOR  2999533.
• Мански, Чарльз Ф. (2003). Частичная идентификация распределений вероятностей . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00454-9.