Разбиение интервала

Возрастающая последовательность чисел, охватывающая интервал

Разбиение интервала, используемое в сумме Римана . Само разбиение показано серым цветом внизу, а норма разбиения указана красным цветом.

В математике разбиением интервала [ a , b ] на действительной прямой _{называется} конечная последовательность x0 , x1 , x2 , … , xn _{действительных} чисел такая _{, что}

а = х ₀ < х ₁ < х ₂ < … < х _n = б .

Другими словами, разбиение компактного интервала I — это строго возрастающая последовательность чисел (принадлежащих самому интервалу I ), начинающаяся с начальной точки I и приходящая в конечную точку I.

Каждый интервал вида [ x _i , x _{i + 1} ] называется подынтервалом разбиения x .

Уточнение раздела

Другое разбиение Q данного интервала [a, b] определяется как уточнение разбиения P , если Q содержит все точки P и, возможно, некоторые другие точки; разбиение Q называется «более точным», чем P. Если даны два разбиения, P и Q , всегда можно образовать их общее уточнение , обозначаемое P  ∨  Q , которое состоит из всех точек P и Q , в порядке возрастания. ^[1]

Норма разбиения

Норма (или сетка ) разбиения

х ₀ < х ₁ < х ₂ < … < х _n

длина самого длинного из этих подынтервалов ^{[2] [3]}

макс{| x _i − x _{i −1} | : i = 1, … , n }.

Приложения

Разбиения используются в теории интеграла Римана , интеграла Римана–Стилтьеса и регулируемого интеграла . В частности, по мере рассмотрения более мелких разбиений заданного интервала их сетка стремится к нулю, а сумма Римана , основанная на заданном разбиении, приближается к интегралу Римана . ^[4]

Тегированные разделы

Размеченное разбиение [ ^5] или разбиение Перрона — это разбиение заданного интервала вместе с конечной последовательностью чисел t ₀ , …, t _{n − 1} при соблюдении условий, что для каждого i ,

xi ≤ _ti ≤ xi _{+ 1} .​_​

Другими словами, помеченное разделение — это раздел вместе с выделенной точкой каждого подынтервала: его сетка определяется так же, как и для обычного раздела. Можно определить частичный порядок на множестве всех помеченных разделов, сказав, что одно помеченное разделение больше другого, если большее является уточнением меньшего. ^{[ необходима цитата ]}

Предположим, что x ₀ , …, x _n вместе с t ₀ , …, t _{n − 1} являются размеченным разбиением [ a , b ] , а y ₀ , …, y _m вместе с s ₀ , …, s _{m − 1} являются другим разбиением [ a , b ] . Мы говорим, что y ₀ , …, y _m вместе с s ₀ , …, s _{m − 1} является уточнением помеченного разбиения x ₀ , …, x _n вместе с t ₀ , …, t _{n − 1,} если для каждого целого числа i с 0 ≤ i ≤ n существует целое число r ( i ) такое, что x _i = y _{r ( i )} и такое, что t _i = s _j для некоторого j с r ( i ) ≤ j ≤ r ( i + 1) − 1. Говоря проще, уточнение помеченного разбиения берет начальное разбиение и добавляет больше тегов, но не убирает ни одного.

Смотрите также

• Регулируемый интеграл
• Интеграл Римана
• Интеграл Римана–Стилтьеса
• Интеграл Хенстока–Курцвейла

Ссылки

1. Браннан, ДА (2006). Первый курс математического анализа. Cambridge University Press. стр. 262. ISBN 9781139458955.
2. Хиджаб, Омар (2011). Введение в исчисление и классический анализ. Springer. стр. 60. ISBN 9781441994882.
3. Зорич, Владимир А. (2004). Математический анализ II. Springer. стр. 108. ISBN 9783540406334.
4. Горпаде, Судхир; Лимайе, Балмохан (2006). Курс исчисления и действительного анализа. Springer. стр. 213. ISBN 9780387364254.
5. Дадли, Ричард М.; Норвайша, Римас (2010). Конкретное функциональное исчисление. Springer. стр. 2. ISBN 9781441969507.

Дальнейшее чтение

• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Аспирантура по математике , 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3805-9.