Идеальное кольцо

В области абстрактной алгебры, известной как теория колец , левое совершенное кольцо — это тип кольца , над которым все левые модули имеют проективные покрытия . Правый случай определяется по аналогии, и условие не является лево-право симметричным; то есть существуют кольца, которые совершенны с одной стороны, но не с другой. Совершенные кольца были введены в книге Басса. [ ^1]

Полусовершенное кольцо — это кольцо, над которым каждый конечно порождённый левый модуль имеет проективное покрытие. Это свойство симметрично слева-справа.

Идеальное кольцо

Определения

Следующие эквивалентные определения левого совершенного кольца R встречаются у Адерсона и Фуллера: ^[2]

• Каждый левый R -модуль имеет проективное покрытие.
• R /J( R ) является полупростым , а J( R ) является левым T-нильпотентным (то есть для любой бесконечной последовательности элементов J( R ) существует n такое, что произведение первых n членов равно нулю), где J( R ) — радикал Джекобсона R .
• ( Теорема Басса P ) R удовлетворяет условию нисходящей цепи на главных правых идеалах . (Здесь нет ошибки; это условие на правых главных идеалах эквивалентно тому, что кольцо является совершенным слева .)
• Каждый плоский левый R -модуль проективен .
• R /J( R ) является полупростым и каждый ненулевой левый R -модуль содержит максимальный подмодуль .
• R не содержит бесконечного ортогонального множества идемпотентов , и каждый ненулевой правый R -модуль содержит минимальный подмодуль .

Примеры

• Известно, что правые или левые артиновы кольца , а также полупервичные кольца являются правыми и левыми совершенными.
• Ниже приведен пример (от Басса) локального кольца , которое является правым, но не левым совершенным. Пусть F — поле , и рассмотрим некоторое кольцо бесконечных матриц над F.

Возьмем набор бесконечных матриц с элементами, индексированными , и которые имеют только конечное число ненулевых элементов, все они выше диагонали, и обозначим этот набор как . Также возьмем матрицу со всеми единицами на диагонали и сформируем набор ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}$

Можно показать, что R — это кольцо с единицей, радикал Джекобсона которого равен J. Кроме того, R / J — это поле, так что R локально, а R — правое, но не левое совершенное кольцо. ^[3]

Характеристики

Для левого совершенного кольца R :

• Из приведенных выше эквивалентностей следует, что каждый левый R -модуль имеет максимальный подмодуль и проективное покрытие, а плоские левые R -модули совпадают с проективными левыми модулями.
• Аналог критерия Бэра справедлив для проективных модулей. ^{[ необходима ссылка ]}

Полуидеальное кольцо

Определение

Пусть R — кольцо. Тогда R полусовершенно, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• R /J( R ) является полупростым и идемпотентным поднятием по модулю J( R ) , где J( R ) — радикал Джекобсона R .
• R имеет полный ортогональный набор e ₁ , ..., e _n идемпотентов, причем каждый e _i Re i _{является} локальным кольцом .
• Каждый простой левый (правый) R -модуль имеет проективное покрытие .
• Каждый конечно порождённый левый (правый) R -модуль имеет проективное покрытие.
• Категория конечно порождённых проективных -модулей — это категория Крулля-Шмидта . ${\displaystyle R}$

Примеры

Примеры полуидеальных колец включают в себя:

• Слева (справа) идеальные кольца.
• Местные кольца.
• Теорема Капланского о проективных модулях
• Левые (правые) артиновские кольца .
• Конечномерные k - алгебры .

Характеристики

Так как кольцо R является полусовершенным тогда и только тогда, когда каждый простой левый R -модуль имеет проективное покрытие, то каждое кольцо, эквивалентное по Морите полусовершенному кольцу, также является полусовершенным.

Цитаты

1. Басс 1960.
2. Андерсон и Фуллер 1992, стр. 315.
3. Лэм 2001, стр. 345–346.

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
• Басс, Хайман (1960), «Конечная размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец», Труды Американского математического общества , 95 (3): 466–488, doi : 10.2307/1993568 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993568, MR  0157984
• Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, г-н  1838439