Фотонная сфера

Сферическая область пространства-времени с высокой гравитацией, вокруг которой свет и, следовательно, фотоны движутся по орбитам.

Анимация того, как лучи света могут быть гравитационно изогнуты, образуя фотонную сферу.

Фотонная сфера ^[1] или фотонный круг ^[2] возникает в окрестности горизонта событий черной дыры, где гравитация настолько сильна, что испускаемые фотоны не просто огибают черную дыру, но и возвращаются в точку, из которой они были испущены, и, следовательно, проявляют свойства бумеранга. ^[2] По мере того, как источник, испускающий фотоны, падает в гравитационное поле по направлению к горизонту событий, форма траектории каждого фотона-бумеранга изменяется, стремясь к более круговой форме. При критическом значении радиального расстояния от сингулярности траектория фотона-бумеранга примет форму неустойчивой круговой орбиты, образуя таким образом фотонный круг и, следовательно, в совокупности фотонную сферу. Круговая орбита фотона называется последней фотонной орбитой . ^[3] Радиус фотонной сферы, который также является нижней границей для любой устойчивой орбиты , для черной дыры Шварцшильда равен

${\displaystyle r={\frac {3GM}{c^{2}}}={\frac {3r_{\text{s}}}{2}},}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса черной дыры , c — скорость света в вакууме, а r _s — радиус Шварцшильда (радиус горизонта событий ); вывод этого результата см. ниже.

Из этого уравнения следует, что фотонные сферы могут существовать только в пространстве, окружающем чрезвычайно компактный объект ( черную дыру или, возможно, «ультракомпактную» нейтронную звезду ^[4] ).

Фотонная сфера расположена дальше от центра черной дыры, чем горизонт событий. Внутри фотонной сферы можно представить себе фотон , который испускается (или отражается) из затылка и, следуя по орбите черной дыры, затем перехватывается глазом человека, позволяя ему увидеть затылок, см. например ^[2]

Для невращающихся черных дыр фотонная сфера представляет собой сферу радиусом 3/2  r _s . Не существует устойчивых орбит свободного падения, которые существуют внутри или пересекают фотонную сферу. Любая орбита свободного падения, которая пересекает ее снаружи, закручивается в черную дыру. Любая орбита, которая пересекает ее изнутри, уходит в бесконечность или падает обратно и закручивается в черную дыру. Невозможна неускоренная орбита с большой полуосью меньше этого расстояния, но внутри фотонной сферы постоянное ускорение позволит космическому кораблю или зонду зависнуть над горизонтом событий.

Другим свойством фотонной сферы является обратная центробежная сила (примечание: не центростремительная ). ^[5] За пределами фотонной сферы, чем быстрее человек движется по орбите, тем большую внешнюю силу он чувствует. Центробежная сила падает до нуля в фотонной сфере, включая орбиты несвободного падения на любой скорости, т. е. объект весит одинаково, независимо от того, как быстро он движется по орбите, и становится отрицательной внутри нее. Внутри фотонной сферы более быстрое движение по орбите приводит к большему весу или внутренней силе. Это имеет серьезные последствия для динамики жидкости внутреннего потока жидкости.

Вращающаяся черная дыра имеет две фотонные сферы. Когда черная дыра вращается, она увлекает за собой пространство. Фотонная сфера, которая находится ближе к черной дыре, движется в том же направлении, что и вращение, тогда как фотонная сфера, которая находится дальше, движется против него. Чем больше угловая скорость вращения черной дыры, тем больше расстояние между двумя фотонными сферами. Поскольку черная дыра имеет ось вращения, это справедливо только при приближении к черной дыре в направлении экватора. На полярной орбите есть только одна фотонная сфера. Это происходит потому, что при приближении под этим углом возможность движения по вращению или против него не существует. Вместо этого вращение приведет к прецессии орбиты . ^[6]

Вывод для черной дыры Шварцшильда

Поскольку черная дыра Шварцшильда обладает сферической симметрией, все возможные оси для круговой орбиты фотона эквивалентны, и все круговые орбиты имеют одинаковый радиус.

Этот вывод включает использование метрики Шварцшильда , заданной формулой

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+d\theta ^{2}).}$

Для фотона, движущегося с постоянным радиусом r (т.е. в направлении φ -координаты), . Поскольку это фотон, («светоподобный интервал»). Мы всегда можем повернуть систему координат так, чтобы было постоянным, (например, ). ${\displaystyle dr=0}$ ${\displaystyle ds=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Установив ds , dr и dθ равными нулю, имеем

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}=r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Перестановка дает

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r\sin \theta }}{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}.}$

Для продолжения нам понадобится отношение . Чтобы найти его, мы используем уравнение радиальной геодезической ${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.}$

Неисчезающие коэффициенты связи ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {c^{2}BB'}{2}},\quad \Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {B^{-1}B'}{2}},\quad \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-rB,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta ,}$

где . ${\displaystyle B'={\frac {dB}{dr}},\ B=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

Мы рассматриваем радиальные геодезические фотона с постоянными r и , поэтому ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}={\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}={\frac {d\theta }{d\tau }}=0.}$

Подставляя все это в радиальное геодезическое уравнение (геодезическое уравнение с радиальной координатой в качестве зависимой переменной), получаем

${\displaystyle \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}.}$

Сравнивая это с тем, что было получено ранее, имеем

${\displaystyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}},}$

где мы вставили радианы (представьте, что центральная масса, вокруг которой вращается фотон, расположена в центре осей координат. Тогда, поскольку фотон движется вдоль -координатной линии, для того, чтобы масса располагалась прямо в центре орбиты фотона, у нас должны быть радианы). ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Следовательно, перестановка этого окончательного выражения дает

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}r_{\text{s}},}$

что и является результатом, который мы намеревались доказать.

Фотон вращается вокруг черной дыры Керра

Вид сбоку (l) и сверху полюса (r). Вращающаяся черная дыра имеет 9 радиусов, между которыми свет может вращаться по постоянной координате r . В этой анимации показаны все фотонные орбиты для a = M.

В отличие от черной дыры Шварцшильда, черная дыра Керра (вращающаяся) не имеет сферической симметрии, а только ось симметрии, что имеет глубокие последствия для фотонных орбит, см., например, Крамер ^[2] для деталей и моделирования фотонных орбит и фотонных окружностей. Существуют две круговые фотонные орбиты в экваториальной плоскости (прямая и ретроградная) с различными радиусами Бойера–Линдквиста :

${\displaystyle r_{\pm }^{\circ }=r_{\text{s}}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {\pm |a|}{M}}\right)\right],}$

где — момент импульса на единицу массы черной дыры. ^[7] ${\displaystyle a=J/M}$

Существуют и другие орбиты с постоянным радиусом, но они имеют более сложные траектории, которые колеблются по широте вокруг экватора. ^[7]

Ссылки

1. Беннетт, Джей (10 апреля 2019 г.). «Астрономы получили первое в истории изображение сверхмассивной черной дыры». Smithsonian.com . Смитсоновский институт. Архивировано из оригинала 13 апреля 2021 г. . Получено 15 апреля 2019 г. .
2. Крамер, Клас Р. (1997). «Использование незаряженной черной дыры Керра в качестве гравитационного зеркала». Общая теория относительности и гравитация . 29 (4): 445–454. arXiv : gr-qc/9510053 . Bibcode : 1997GReGr..29..445C. doi : 10.1023/A:1018878515046. S2CID  9517046.
3. Левин, Джанна (10.04.2019). «Что означает вид черной дыры для физика, изучающего черные дыры». Журнал Quanta . Получено 29.08.2024 . область, определяемая ближайшим к черной дыре местоположением, где луч света может двигаться по кругу, известная как «последняя фотонная орбита».
4. Nemiroff, Robert J.; Becker, Peter A.; Wood, Kent S. (апрель 1993 г.). «Свойства ультракомпактных нейтронных звезд». The Astrophysical Journal . 406 : 590. doi : 10.1086/172471. ISSN  0004-637X.
5. Абрамович, Марек (1990). «Обращение центробежной силы вблизи черной дыры Шварцшильда». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 245 : 720. Bibcode : 1990MNRAS.245..720A.
6. Хирата, Кристофер М. (декабрь 2011 г.). "Лекция XXVII: Черные дыры Керра: II. Прецессия, круговые орбиты и стабильность" (PDF) . Caltech . Получено 5 марта 2018 г. .
7. Teo, Edward (2003). "Сферические фотонные орбиты вокруг черной дыры Керра" (PDF) . Общая теория относительности и гравитация . 35 (11): 1909–1926. Bibcode :2003GReGr..35.1909T. doi :10.1023/A:1026286607562. ISSN  0001-7701. S2CID  117097507. Архивировано (PDF) из оригинала 2020-06-03 . Получено 2010-08-24 .

Внешние ссылки

• Шаг за шагом в черную дыру
• Виртуальные путешествия к черным дырам и нейтронным звездам
• Руководство по черным дырам
• Сферические фотонные орбиты вокруг черной дыры Керра