Каноническое кольцо

В математике плюриканоническое кольцо алгебраического многообразия V (которое невырожденно ) или комплексного многообразия называется градуированным кольцом

${\displaystyle R(V,K)=R(V,K_{V})\,}$

сечений степеней канонического расслоения K. Его n- я градуированная компонента (для ) равна: ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle R_{n}:=H^{0}(V,K^{n}),\ }$

то есть пространство сечений n -го тензорного произведения K ⁿ канонического расслоения K .

0-й градуированный компонент является сечением тривиального расслоения и является одномерным, поскольку V проективен. Проективное многообразие, определяемое этим градуированным кольцом, называется канонической моделью V , а размерность канонической модели называется размерностью Кодаиры V . ${\displaystyle R_{0}}$

Можно определить аналогичное кольцо для любого линейного расслоения L над V ; аналогичная размерность называется размерностью Иитаки . Линейное расслоение называется большим, если размерность Иитаки равна размерности многообразия. ^[1]

Характеристики

Бирациональная инвариантность

Каноническое кольцо и, следовательно, также размерность Кодаиры являются бирациональными инвариантами : любое бирациональное отображение между гладкими компактными комплексными многообразиями индуцирует изоморфизм между соответствующими каноническими кольцами. Как следствие, можно определить размерность Кодаиры сингулярного пространства как размерность Кодаиры десингуляризации . Благодаря бирациональной инвариантности это хорошо определено, т.е. не зависит от выбора десингуляризации.

Основная гипотеза бирациональной геометрии

Основная гипотеза заключается в том, что плюриканоническое кольцо конечно порождено . Это считается важным шагом в программе Мори . Кошер Биркар, Паоло Кашини и Кристофер Д. Хакон и др. (2010) доказали эту гипотезу.

Множественные

Измерение

${\displaystyle P_{n}=h^{0}(V,K^{n})=\operatorname {dim} \ H^{0}(V,K^{n})}$

является классически определенным n -м плюригенусом V. Плюриканонический дивизор через соответствующую линейную систему дивизоров дает отображение в проективное пространство , называемое n -каноническим отображением. ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(V,K^{n}))=\mathbf {P} ^{P_{n}-1}}$

Размер R является базовым инвариантом V и называется размерностью Кодаиры.

Примечания

1. Хартшорн, Робин (1975). Алгебраическая геометрия, Arcata 1974. стр. 7.

Ссылки

• Биркар, Кошер ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д .; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для многообразий логарифмически общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS...23..405B, doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3, MR  2601039
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джо (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических произведений Wiley, Wiley Interscience, стр. 573, ISBN 0-471-05059-8