Полярный набор (теория потенциала)

В математике , в области классической теории потенциала , полярные множества являются «пренебрежимо малыми множествами», аналогично тому, как множества меры нуль являются пренебрежимо малыми множествами в теории меры .

Определение

Множество в (где ) является полярным множеством, если существует непостоянная субгармоническая функция ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle u}$на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

такой что

${\displaystyle Z\subseteq \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)=-\infty \}.}$

Обратите внимание, что существуют и другие (эквивалентные) способы определения полярных множеств, например, путем замены «субгармонического» на «супергармонического» и на в определении выше. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Характеристики

Наиболее важными свойствами полярных множеств являются:

• Синглтонный набор является полярным. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Счётное множество в является полярным. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Объединение счетного набора полярных множеств является полярным.
• Полярное множество имеет нулевую меру Лебега ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Почти везде

Свойство выполняется почти всюду в множестве S , если оно выполняется на S − E , где E — борелевское полярное множество. Если P выполняется почти всюду, то оно выполняется почти всюду . ^[1]

Смотрите также

• Плюриполярный набор

Ссылки

1. Рэнсфорд (1995) стр.56

• Дуб, Джозеф Л. (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 262. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9. Збл  0549.31001.
• Хелмс, Л. Л. (1975). Введение в теорию потенциала . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
• Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 28. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46654-7. Збл  0828.31001.

Внешние ссылки

• «Полярный набор». PlanetMath .