В теории аддитивных чисел теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что каждое положительное целое число является суммой не более n n -угольных чисел . То есть каждое положительное целое число можно записать как сумму трех или менее треугольных чисел , и как сумму четырех или менее квадратных чисел , и как сумму пяти или менее пятиугольных чисел , и так далее. То есть n -угольные числа образуют аддитивный базис порядка n .
Например, ниже показаны три таких представления числа 17:
Теорема названа в честь Пьера де Ферма , который сформулировал ее в 1638 году без доказательства, пообещав записать ее в отдельной работе, которая так и не увидела свет. [1] Жозеф Луи Лагранж доказал квадратный случай в 1770 году, который гласит, что каждое положительное число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов, например, 7 = 4 + 1 + 1 + 1. [ 1] Гаусс доказал треугольный случай в 1796 году, ознаменовав это событие записью в своем дневнике строки « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ », [2] и опубликовал доказательство в своей книге Disquisitiones Arithmeticae . По этой причине результат Гаусса иногда называют теоремой Эврики . [3] Полная теорема о многоугольных числах не была решена до тех пор, пока ее окончательно не доказал Коши в 1813 году. [1] Доказательство Натансона (1987) основано на следующей лемме Коши:
Для нечетных положительных целых чисел a и b, таких что b 2 < 4 a и 3 a < b 2 + 2 b + 4, мы можем найти неотрицательные целые числа s , t , u и v такие, что a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2 и b = s + t + u + v .