Пост-ньютоновское расширение

Метод приближения в общей теории относительности

Диаграмма пространства параметров компактных двойных систем с различными схемами аппроксимации и областями их применимости.

Пост-минковские и пост-ньютоновские расширения

В общей теории относительности постньютоновские разложения ( PN- разложения ) используются для нахождения приближенного решения уравнений поля Эйнштейна для метрического тензора . Приближения расширяются по малым параметрам, которые выражают порядки отклонений от закона всемирного тяготения Ньютона . Это позволяет делать приближения к уравнениям Эйнштейна в случае слабых полей. Члены более высокого порядка могут быть добавлены для повышения точности, но для сильных полей иногда предпочтительнее решать полные уравнения численно. Этот метод является общим признаком эффективных теорий поля . В пределе, когда малые параметры равны 0, постньютоновское разложение сводится к закону всемирного тяготения Ньютона.

Расширение в 1/с2

Постньютоновские приближения являются разложениями по малому параметру, который является отношением скорости материи, создающей гравитационное поле, к скорости света , которая в данном случае точнее называется скоростью гравитации . ^[1] В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону тяготения Ньютона . Систематическое исследование постньютоновских разложений в рамках гидродинамических приближений было разработано Субрахманьяном Чандрасекаром и его коллегами в 1960-х годах. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Расширение вчас

Другой подход заключается в разложении уравнений общей теории относительности в степенной ряд по отклонению метрики от ее значения в отсутствие гравитации .

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

Для этого необходимо выбрать такую ​​систему координат, в которой собственные значения всех имеют абсолютные значения меньше 1. ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$

Например, если сделать один шаг за пределы линеаризованной гравитации , чтобы получить расширение до второго порядка по h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

Расширения, основанные только на метрике, независимо от скорости, называются постминковскими расширениями ( расширениями PM ).

Использует

Первое использование PN-расширения (до первого порядка) было сделано Альбертом Эйнштейном при вычислении прецессии перигелия орбиты Меркурия . Сегодня вычисление Эйнштейна признано общим примером применения PN-расширений, решающим общую релятивистскую задачу двух тел , которая включает излучение гравитационных волн .

Ньютоновский калибр

В общем случае возмущенную метрику можно записать как ^[8]

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

где , и являются функциями пространства и времени. можно разложить как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}}$

где — оператор Даламбера , — скаляр, — вектор, — бесследовый тензор. Тогда потенциалы Бардина определяются как ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(B-E'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -C-H(B-E')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

где — постоянная Хаббла , а штрих представляет собой дифференциацию по конформному времени . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau \,}$

Принимая (т.е. устанавливая и ), ньютоновская калибровка имеет вид ${\displaystyle B=E=0}$ ${\displaystyle \Phi \equiv -C}$ ${\displaystyle \Psi \equiv A}$

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

Обратите внимание, что при отсутствии анизотропного напряжения . ${\displaystyle \Phi =\Psi }$

Полезное нелинейное расширение этого обеспечивается нерелятивистскими гравитационными полями .

Смотрите также

• Физический портал

• Координатные условия
• Уравнения Эйнштейна–Инфельда–Гофмана
• Линеаризованная гравитация
• Параметризованный постньютоновский формализм

Ссылки

1. Копейкин, С. (2004). «Скорость гравитации в общей теории относительности и теоретическая интерпретация эксперимента по отклонению Юпитера». Классическая и квантовая гравитация . 21 (13): 3251–3286. arXiv : gr-qc/0310059 . Bibcode :2004CQGra..21.3251K. doi :10.1088/0264-9381/21/13/010. S2CID  13998000.
2. Чандрасекар, С. (1965). «Постньютоновские уравнения гидродинамики в общей теории относительности». The Astrophysical Journal . 142 : 1488. Bibcode : 1965ApJ...142.1488C. doi : 10.1086/148432.
3. Чандрасекар, С. (1967). «Постньютоновские эффекты общей теории относительности в равновесии равномерно вращающихся тел. II. Деформированные фигуры сфероидов Маклорена». The Astrophysical Journal . 147 : 334. Bibcode : 1967ApJ...147..334C. doi : 10.1086/149003.
4. Чандрасекар, С. (1969). «Законы сохранения в общей теории относительности и в постньютоновских приближениях». The Astrophysical Journal . 158 : 45. Bibcode : 1969ApJ...158...45C. doi : 10.1086/150170 .
5. Чандрасекар, С.; Нутку, И. (1969). «Вторые постньютоновские уравнения гидродинамики в общей теории относительности». Релятивистская астрофизика . 86 : 55. Bibcode : 1969ApJ...158...55C. doi : 10.1086/150171 .
6. Чандрасекар, С.; Эспозито, Ф.П. (1970). "2½-постньютоновские уравнения гидродинамики и реакция излучения в общей теории относительности". The Astrophysical Journal . 160 : 153. Bibcode : 1970ApJ...160..153C. doi : 10.1086/150414 .
7. Берн, Цви; Чунг, Клиффорд; Ройбан, Раду; Шен, Чиа-Сиен; Солон, Михаил П.; Цзэн, Мао (2019-08-05). "Динамика двойных черных дыр из теории двойной копии и эффективной теории". Журнал физики высоких энергий . 2019 (10): 206. arXiv : 1908.01493 . Bibcode : 2019JHEP...10..206B. doi : 10.1007/JHEP10(2019)206. ISSN  1029-8479. S2CID  199442337.
8. "Cosmological Perturbation Theory" (PDF) . стр. 83,86. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-08-26 . Получено 2016-08-10 .

Внешние ссылки

• «О движении частиц в общей теории относительности» А.Эйнштейна и Л.Инфельда. Архивировано 08.03.2012 на Wayback Machine
• Бланше, Люк (2014). «Гравитационное излучение от постньютоновских источников и инспирирующих компактных двойных звезд». Living Reviews in Relativity . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Bibcode :2014LRR....17....2B. doi : 10.12942/lrr-2014-2 . PMC  5256563 . PMID  28179846.
• Клиффорд, М. Уилл (2011). «О необоснованной эффективности постньютоновского приближения в гравитационной физике». PNAS . 108 (15): 5938–5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 . PMC  3076827 . PMID  21447714.