прецессия Лармора

Движение оси магнитного момента объекта вокруг магнитного поля

Направление прецессии для частицы с положительным гиромагнитным отношением.

  Внешнее магнитное поле

  Магнитный дипольный момент

  Прецессия оси диполя

В физике прецессия Лармора (названная в честь Джозефа Лармора ) — это прецессия магнитного момента объекта относительно внешнего магнитного поля . Явление концептуально похоже на прецессию наклонного классического гироскопа во внешнем гравитационном поле , создающем крутящий момент. Объекты с магнитным моментом также имеют угловой момент и эффективный внутренний электрический ток , пропорциональный их угловому моменту; к ним относятся электроны , протоны , другие фермионы , многие атомные и ядерные системы, а также классические макроскопические системы. Внешнее магнитное поле оказывает крутящий момент на магнитный момент,

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}},}$

где - крутящий момент, - магнитный дипольный момент, - вектор углового момента , - внешнее магнитное поле, символизирует векторное произведение , и - гиромагнитное отношение , которое дает константу пропорциональности между магнитным моментом и угловым моментом. Вектор углового момента прецессирует вокруг оси внешнего поля с угловой частотой, известной как частота Лармора , ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \omega =\vert \gamma B\vert }$,

где - угловая частота , ^[1] и - величина приложенного магнитного поля. - гиромагнитное отношение для частицы с зарядом , ^[2] равное , где - масса прецессирующей системы, а - g -фактор системы. G -фактор - это безразмерный коэффициент пропорциональности, связывающий угловой момент системы с собственным магнитным моментом; в классической физике он равен 1 для любого жесткого объекта, в котором заряд и плотность массы распределены одинаково. Ларморовская частота не зависит от угла между и . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle -{\frac {eg}{2m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

В ядерной физике g - фактор данной системы включает в себя влияние спинов нуклонов , их орбитальных угловых моментов и их связей . Как правило, g -факторы очень трудно вычислить для таких многочастичных систем, но они были измерены с высокой точностью для большинства ядер. Частота Лармора важна в ЯМР-спектроскопии . Гиромагнитные отношения, которые дают частоты Лармора при заданной напряженности магнитного поля, были измерены и сведены в таблицу. ^[3]

Важно отметить, что частота Лармора не зависит от полярного угла между приложенным магнитным полем и направлением магнитного момента. Это делает ее ключевым понятием в таких областях, как ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), поскольку скорость прецессии не зависит от пространственной ориентации спинов.

Включая прецессию Томаса

Приведенное выше уравнение используется в большинстве приложений. Однако полная обработка должна включать эффекты прецессии Томаса , что приводит к уравнению (в единицах СГС ) (единицы СГС используются таким образом, что E имеет те же единицы, что и B):

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}={\frac {eB}{2mc}}\left(g-2+{\frac {2}{\gamma }}\right)}$

где - релятивистский фактор Лоренца (не путать с гиромагнитным отношением выше). Примечательно, что для электрона g очень близок к 2 ( ${\displaystyle \gamma }$2.002... ), поэтому если положить g  = 2, то получим

${\displaystyle \omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}}$

Уравнение Баргмана–Мишеля–Телегди.

Прецессия спина электрона во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Баргмана–Мишеля–Телегди (БМТ) (названным в честь Валентина Баргмана , Луи Мишеля и Валентина Телегди ) ^[4]

${\displaystyle {\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

где , , , и — четырехвектор поляризации, заряд, масса и магнитный момент, — четырехскорость электрона (в системе единиц, в которой ), , , а — тензор напряженности электромагнитного поля. Используя уравнения движения, ${\displaystyle a^{\tau }}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle u^{\tau }}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

${\displaystyle m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },}$

можно переписать первый член в правой части уравнения BMT как , где - 4-ускорение. Этот член описывает транспорт Ферми-Уокера и приводит к прецессии Томаса . Второй член связан с прецессией Лармора. ${\displaystyle (-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }}$ ${\displaystyle w^{\tau }=du^{\tau }/ds}$

Когда электромагнитные поля однородны в пространстве или когда градиентными силами можно пренебречь, поступательное движение частицы описывается уравнением ${\displaystyle \nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle {\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.}$

Уравнение BMT тогда записывается как ^[5]

${\displaystyle {\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }u_{\mu }\right){\bigg ]}\;,}$

Оптическая версия Thomas-BMT из квантовой теории оптики пучков заряженных частиц , применимая в оптике ускорителей. ^{[6] [7]}

Приложения

В статье 1935 года, опубликованной Львом Ландау и Евгением Лифшицем, было предсказано существование ферромагнитного резонанса прецессии Лармора, что было независимо подтверждено в экспериментах Дж. Х. Э. Гриффитса (Великобритания) ^[8] и Е. К. Завойского (СССР) в 1946 году. ^{[9] [10]}

Прецессия Лармора важна в ядерном магнитном резонансе , магнитно-резонансной томографии , электронном парамагнитном резонансе , мюонном спиновом резонансе и нейтронном спиновом эхе . Она также важна для выравнивания частиц космической пыли , что является причиной поляризации звездного света .

Чтобы рассчитать спин частицы в магнитном поле, в общем случае необходимо также учитывать прецессию Томаса, если частица движется.

Направление прецессии

Спиновый момент импульса электрона прецессирует против часовой стрелки вокруг направления магнитного поля. Электрон имеет отрицательный заряд, поэтому направление его магнитного момента противоположно направлению его спина.

Смотрите также

• нейтронный микроскоп LARMOR

Примечания

1. Spin Dynamics, Малкольм Х. Левитт, Wiley, 2001
2. Луис Н. Хэнд и Джанет Д. Финч. (1998). Аналитическая механика. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . стр. 192. ISBN 978-0-521-57572-0.
3. Список изотопов ЯМР
4. В. Баргманн , Л. Мишель и В. Л. Телегди , Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле , Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).
5. Джексон, Дж. Д., Классическая электродинамика , 3-е издание, Wiley, 1999, стр. 563.
6. М. Конте, Р. Джаганнатхан, С.А. Хан и М. Пустерла, Оптика пучка дираковской частицы с аномальным магнитным моментом, Ускорители частиц, 56, 99–126 (1996); (Препринт: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08).
7. Хан, С. А. (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц, докторская диссертация , Мадрасский университет , Ченнаи , Индия . (полный текст диссертации доступен в Dspace библиотеки IMSc, Института математических наук , где проводилось докторское исследование).
8. JHE Griffiths (1946). "Аномальное высокочастотное сопротивление ферромагнитных металлов". Nature . 158 (4019): 670–671. Bibcode :1946Natur.158..670G. doi :10.1038/158670a0. S2CID  4143499.
9. Завойский, Э. (1946). «Спиновый магнитный резонанс в дециметровой области волн». Физический журнал . 10 .
10. Завойский, Э. (1946). «Парамагнитное поглощение в некоторых солях в перпендикулярных магнитных полях». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 16 (7): 603–606.

Внешние ссылки

• Страница HyperPhysics Университета штата Джорджия о частоте Лармора
• Калькулятор частоты Лармора