Первичный первичный

Простое число, которое является произведением первых n простых чисел ± 1

В математике простое число — это простое число вида p _n # ± 1, где p _n # — это простое число p n ₍ т. е. произведение первых n простых чисел). ^[1]

Тесты на простоту показывают, что:

p _n # − 1 является простым числом для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (последовательность A057704 в OEIS ).

p _n # + 1 является простым числом для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, ... (последовательность A014545 в OEIS ).

Первый член второй последовательности равен 0, поскольку p ₀ # = 1 — пустое произведение , и, таким образом, p ₀ # + 1 = 2, что является простым числом. Аналогично, первый член первой последовательности не равен 1, поскольку p ₁ # = 2, а 2 − 1 = 1 не является простым числом.

Первые несколько изначальных простых чисел — это 2 , 3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (последовательность A228486 в OEIS ).

По состоянию на сентябрь 2024 года ^{[ссылка]}наибольшее известное изначальное простое число (в форме p _n # − 1) составляет 4778027# − 1 ( n = 334 023) с 2 073 926 цифрами, найденное проектом PrimeGrid . ^{[2] [3]}

По состоянию на сентябрь 2024 года ^{[обновлять]}наибольшее известное простое число вида p _n # + 1 составляет 5256037# + 1 ( n = 365 071) с 2 281 955 цифрами, найденное в 2024 году PrimeGrid.

Доказательство Евклида бесконечности простых чисел обычно неверно истолковывается как определение изначальных простых чисел следующим образом: ^[4]

Предположим, что существуют только первые n последовательных простых чисел, включая 2. Если p _n # + 1 или p _n # − 1 является изначальным простым числом, это означает, что существуют простые числа, большие, чем n- е простое число (если ни одно из них не является простым числом, это также доказывает бесконечность простых чисел, но менее прямо; каждое из этих двух чисел дает остаток p  − 1 или 1 при делении на любое из первых n простых чисел, и, следовательно, все его простые множители больше, чем p _n ).

Смотрите также

• Композиционный
• число Евклида
• Факториальный простой

Ссылки

1. Weisstein, Eric. "Primorial Prime". MathWorld . Wolfram . Получено 18 марта 2015 г. .
2. Primegrid.com; объявление на форуме, 7 декабря 2021 г.
3. Колдуэлл, Крис К., Двадцатка лучших: Primorial ( Prime Pages )
4. Майкл Харди и Кэтрин Вудголд, «Prime Simplicity», Mathematical Intelligencer , том 31, номер 4, осень 2009 г., страницы 44–52.

Смотрите также

• А. Борнинг, «Некоторые результаты для и » Math. Comput. 26 (1972): 567–570. ${\displaystyle k!+1}$ ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$
• Крис Колдуэлл, «Топ-20: Primorial» на Prime Pages .
• Харви Дабнер, «Факториальные и изначальные простые числа». J. Rec. Math. 19 (1987): 197–203.
• Пауло Рибенбойм, Новая книга рекордов простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag (1989): 4.