В теории вероятностей связывание — это метод доказательства , позволяющий сравнивать две несвязанные случайные величины (распределения) X и Y путем создания случайного вектора W , предельные распределения которого соответствуют X и Y соответственно. Выбор W , как правило, не является уникальным, и вся идея «связывания» заключается в том, чтобы сделать такой выбор, чтобы X и Y могли быть связаны особенно желаемым образом.
Используя стандартный формализм теории вероятностей , пусть и будут двумя случайными величинами, определенными на вероятностных пространствах и . Тогда сопряжение и будет новым вероятностным пространством, над которым существуют две случайные величины и такие, что имеет то же распределение, что и , в то время как имеет то же распределение, что и .
Интересен случай, когда и не являются независимыми.
Предположим, что две частицы A и B совершают простое случайное блуждание в двух измерениях, но они начинают из разных точек. Самый простой способ соединить их — просто заставить их идти вместе. На каждом шагу, если A идет вверх, то же самое делает и B , если A движется влево, то же самое делает и B и т. д. Таким образом, разница между положениями двух частиц остается фиксированной. Что касается A , то она совершает идеальное случайное блуждание, в то время как B является подражателем. B придерживается противоположной точки зрения, то есть, что она, по сути, является оригиналом, а A — копией. И в некотором смысле они оба правы. Другими словами, любая математическая теорема или результат, который справедлив для обычного случайного блуждания, будет справедлив и для A, и для B.
Рассмотрим теперь более сложный пример. Предположим, что A начинается с точки (0,0), а B — с точки (10,10). Сначала соединим их так, чтобы они шли вместе в вертикальном направлении, т. е. если A идет вверх, то и B тоже, и т. д., но были зеркальными отражениями в горизонтальном направлении, т. е. если A идет влево, B идет вправо и наоборот. Мы продолжаем это соединение до тех пор, пока A и B не будут иметь одинаковую горизонтальную координату, или, другими словами, не окажутся на вертикальной линии (5, y ). Если они никогда не встретятся, мы продолжаем этот процесс вечно (вероятность этого равна нулю, однако). После этого события мы меняем правило соединения. Мы позволяем им идти вместе в горизонтальном направлении, но по правилу зеркального отображения в вертикальном направлении. Мы продолжаем это правило, пока они не встретятся и в вертикальном направлении (если они это сделают), и с этой точки мы просто позволяем им идти вместе.
Это сцепление в том смысле, что ни одна частица, взятая сама по себе, не может «чувствовать» ничего из того, что мы сделали. Ни тот факт, что другая частица следует за ней тем или иным образом, ни тот факт, что мы изменили правило сцепления или когда мы это сделали. Каждая частица совершает простое случайное блуждание. И все же наше правило сцепления заставляет их почти наверняка встретиться и продолжать с этой точки вместе навсегда. Это позволяет доказать много интересных результатов, которые говорят, что «в долгосрочной перспективе» неважно, где вы начали, чтобы получить этот конкретный результат.
Предположим, что у нас есть две несимметричные монеты, первая с вероятностью p выпадения орла, а вторая с вероятностью q > p выпадения орла. Интуитивно понятно, что если обе монеты подбрасываются одинаковое количество раз, то следует ожидать, что первая монета выпадет меньше орлов, чем вторая. Более конкретно, для любого фиксированного k вероятность того, что первая монета выпадет не менее k орлов, должна быть меньше вероятности того, что вторая монета выпадет не менее k орлов. Однако доказать такой факт с помощью стандартного аргумента подсчета может быть сложно. [1] Сцепление легко обходит эту проблему.
Пусть X 1 , X 2 , ..., X n будут переменными-индикаторами для орлов в последовательности подбрасываний первой монеты. Для второй монеты определим новую последовательность Y 1 , Y 2 , ..., Y n такую, что
Тогда последовательность Y i имеет точное распределение вероятностей бросков, сделанных со второй монетой. Однако, поскольку Y i зависит от X i , теперь возможно сравнение бросков двух монет. То есть для любого k ≤ n
Инициализируйте один процесс вне стационарного распределения и инициализируйте другой процесс внутри стационарного распределения. Соедините эти два независимых процесса вместе . По мере того, как вы позволяете времени идти, эти два процесса будут развиваться независимо. При определенных условиях эти два процесса в конечном итоге встретятся и могут считаться одним и тем же процессом в этой точке. Это означает, что процесс вне стационарного распределения сходится к стационарному распределению.
