Обратный откат (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , пулбэк (также называемый волокнистым произведением , волокнистым произведением , волокнистым произведением или декартовым квадратом ) — это предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов $f : X \to Z$ и $g : Y \to Z$ с общей областью значений. Пулбэк записывается

P = X \times f, Z, gY .

Обычно морфизмы $f$ и $g$ опускаются из записи, и тогда обратный путь записывается как

Р = X \times Z Y

Обратный пулл оснащен двумя естественными морфизмами $P \to X$ и $P \to Y$ . Обратный пулл двух морфизмов $f$ и $g$ не обязательно должен существовать, но если он существует, то он по существу однозначно определяется двумя морфизмами. Во многих ситуациях $X \times Z Y$ можно интуитивно рассматривать как состоящий из пар элементов $(x, y)$ с $x$ в $X$ , $y$ в $Y$ , и $f (x) = g (y)$ . Для общего определения используется универсальное свойство , которое по существу выражает тот факт, что пуллбэк является «наиболее общим» способом дополнить два данных морфизма до коммутативного квадрата .

Двойственная концепция отката — это выталкивание .

Универсальная собственность

Явно, обратный образ морфизмов $f$ и $g$ состоит из объекта $P$ и двух морфизмов $p 1 : P \to X$ и $p 2 : P \to Y$ , для которых диаграмма

коммутирует . Более того, пулбэк $(P, p1, p2)$ должен быть универсальным относительно этой диаграммы. ^[1] То есть, для любой другой такой $тройки$ $(Q,$ $q1$ $,$ $q2$ $)$ $,$ где $q1 : Q \to X$ и $q2$ $:$ $Q$ $\to$ $Y$ $являются$ $морфизмами$ с $fq1$ $=$ $gq2$ $,$ $должен$ $существовать$ единственный $u$ $:$ $Q$ $\to$ $P$ $такой$ $,$ $что$

p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.

Эта ситуация проиллюстрирована на следующей коммутативной диаграмме.

$Как и во всех универсальных конструкциях, пулбэк, если он существует, является$ единственным с точностью до изоморфизма . Фактически, если даны два пулбэка $($ $A, a1$ $,$ $a2) и (B, b1$ , $b2) одного и того же коспана$ X → $Z \leftarrow Y, то между$ $A$ и $B$ существует единственный изоморфизм относительно структуры пулбэка.

Откат и продукт

Обратный пул похож на произведение , но не то же самое. Можно получить произведение, «забыв» о существовании морфизмов $f$ и $g$ и забыв, что существует объект $Z.$ Тогда остается дискретная категория, содержащая только два объекта $X$ и $Y$ , и без стрелок между ними. Эту дискретную категорию можно использовать в качестве набора индексов для построения обычного бинарного произведения. Таким образом, пул можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того чтобы «забывать» $Z$ , $f$ и $g$ , можно также «тривиализировать» их, специализируя $Z$ как конечный объект (предполагая, что он существует). $f$ и $g$ тогда определяются однозначно и, таким образом, не несут никакой информации, и пул этого коспана можно рассматривать как произведение $X$ и $Y$ .

Примеры

Коммутативные кольца

В категории коммутативных колец (с единицей) обратный путь называется расслоенным произведением. Пусть $A$ , $B$ , и $C$ — коммутативные кольца (с единицей) и $α : A \to C$ и $β : B \to C$ (сохраняющие единицу) — кольцевые гомоморфизмы . Тогда обратный путь этой диаграммы существует и задается подкольцом кольца произведения A $\times B,$ определяемым соотношением

A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}

вместе с морфизмами

\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B

дано и для всех . Тогда мы имеем $\beta '(a,b)=a$ $\alpha '(a,b)=b$ $(a,b)\in A\times _{C}B$

\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.

Группы и модули

В полной аналогии с примером коммутативных колец выше можно показать, что все обратные образы существуют в категории групп и в категории модулей над некоторым фиксированным кольцом.

Наборы

В категории множеств обратный образ функций $f : X \to Z$ и $g : Y \to Z$ всегда существует и задается множеством

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],

вместе с ограничениями проекционных отображений $π 1$ и $π 2$ на $X \times Z Y$ .

В качестве альтернативы можно рассматривать откат в $Set$ асимметрично:

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

где — непересекающееся объединение множеств (участвующие множества сами по себе не являются непересекающимися, если только $f$ или $g$ не является инъективным ). В первом случае проекция $π$ $1$ извлекает индекс $x , в то время как$ $π$ $2$ забывает индекс, оставляя элементы $Y$ . $\coprod$

$Этот пример мотивирует другой$ способ характеризации обратного вывода: как уравнителя морфизмов $f \circ p 1, g \circ p 2 : X \times Y \to Z$ , где $X \times Y$ — бинарное произведение X и $Y$ , а $p$ $1$ и $p$ $2$ — естественные проекции. Это показывает, что обратные выводы существуют в любой категории с бинарными произведениями и уравнителями. Фактически, по теореме о существовании для пределов все конечные пределы существуют в категории с бинарными произведениями и уравнителями; эквивалентно, все конечные пределы существуют в категории с конечным объектом и обратными выводами (по тому факту, что бинарное произведение = обратное вывод на конечный объект, и что уравнитель — это обратное вывод, включающее бинарное произведение).

Графики функций

Конкретный пример пулбэка дан графиком функции. Предположим, что — функция. График функции $f$ — это множество График можно переформулировать как пулбэк функции $f$ и тождественной функции на $Y$ . По определению этот пулбэк равен , и это равно . $f\colon X\to Y$ $\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.$ $X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,$ $\Gamma _{f}$

Волоконные пучки

Другой пример обратного проецирования происходит из теории расслоений : если задано отображение расслоения $π : E \to B$ и непрерывное отображение $f : X \to B$ , обратное проецирование (образованное в категории топологических пространств с непрерывными отображениями ) $X \times B E$ является расслоением над $X,$ называемым расслоением обратного проецирования . Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений. Это также имеет место в категории дифференцируемых многообразий. Особым случаем является обратное проецирование двух расслоений $E 1, E 2 \to B$ . В этом случае $E 1 \times E 2$ является расслоением над $B \times B$ , а обратное проецирование вдоль диагонального отображения $B \to B \times B$ дает пространство, гомеоморфное (диффеоморфное) $E 1 \times B E 2$ , которое является расслоением над $B$ . Обратный образ двух гладких трансверсальных отображений в одно и то же дифференцируемое многообразие также является дифференцируемым многообразием, а касательное пространство обратного образа является обратным образом касательных пространств вдоль дифференциальных отображений.

Прообразы и пересечения

Прообразы множеств под функциями можно описать как обратные образы следующим образом:

Предположим, что $f : A \to B$ , $B 0 \subseteq B$ . Пусть $g$ — отображение включения $B 0 ↪ B$ . Тогда обратный образ $f$ и $g$ (в $Set$ ) задается прообразом $f -1 [B 0]$ вместе с включением прообраза в $A$

f -1 [B 0] ↪ A

и ограничение $f$ до $f -1 [B 0]$

f -1 [B 0] \to B 0

Из-за этого примера, в общей категории пулбэк морфизма $f$ и мономорфизма $g$ можно рассматривать как «прообраз» под $f$ подобъекта, заданного $g$ . Аналогично, пулбэк двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов .

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим мультипликативный моноид положительных целых чисел $Z +$ как категорию с одним объектом. В этой категории пулбэк двух положительных целых чисел $m$ и $n$ $—$ это просто пара , где числители — наименьшее общее кратное m и $n$ . Эта же пара также является выталкиванием. $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$

Характеристики

В любой категории с конечным объектом $T$ обратный вывод $X \times T Y$ представляет собой просто обычное произведение $X \times Y$ . ^[2]
Мономорфизмы устойчивы при обратном движении: если стрелка $f$ на диаграмме моническая, то таковой является и стрелка $p 2$ . Аналогично, если $g$ монический, то таковой является и $p 1$ . ^[3]
Изоморфизмы также устойчивы, и, следовательно, например, $X \times X Y ≅ Y$ для любого отображения $Y \to X$ (где подразумеваемое отображение $X \to X$ является тождеством).
В абелевой категории все обратные образы существуют ^[4], и они сохраняют ядра в следующем смысле: если

является диаграммой обратного вычитания, то индуцированный морфизм

ker(p 2) \to ker(f)

является изоморфизмом, ^[5] и также индуцированный морфизм

ker(p 1) \to ker(g)

. Таким образом, каждая диаграмма обратного вычитания порождает коммутативную диаграмму следующего вида, где все строки и столбцы являются точными :

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

Более того, в абелевой категории, если

X \to Z

является эпиморфизмом, то его обратный образ

P \to Y

также является эпиморфизмом , и симметрично: если

Y \to Z

является эпиморфизмом, то его обратный образ

P \to X

также является эпиморфизмом . ^[6] В этих ситуациях квадрат обратного образа также является квадратом выталкивания. ^[7]

Существует естественный изоморфизм ( A × _C B )× _B D ≅ A × _C D . Явно это означает:
- если даны отображения f : A → C , g : B → C и h : D → B и
- обратный ход f и g определяется как r : P → A и s : P → B , и
- обратный ход s и h определяется как t : Q → P и u : Q → D ,
- тогда обратный ход f и gh определяется как rt : Q → A и u : Q → D .

Графически это означает, что два квадрата обратного хода, размещенные рядом и имеющие один общий морфизм, образуют больший квадрат обратного хода, если игнорировать внутренний общий морфизм.

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

У любой категории с откатами и продуктами есть эквалайзеры.

Слабые откаты

Слабое обратное отображение коспана $X$ $\to$ $Z$ $\leftarrow$ $Y$ представляет собой конус над коспаном, который является лишь слабо универсальным, то есть опосредующий морфизм $u$ $:$ $Q$ $\to$ $P$ выше не обязан быть единственным.

Смотрите также

Примечания

^ Митчелл, стр. 9
↑ Адамек, стр. 197.
^ Митчелл, стр. 9
^ Митчелл, стр. 32
^ Митчелл, стр. 15
^ Митчелл, стр. 34
^ Митчелл, стр. 39

Ссылки

Адамек, Иржи, Херлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание).
Кон, Пол М.; Универсальная алгебра (1981), D. Reidel Publishing, Голландия, ISBN 90-277-1213-1 (Первоначально опубликовано в 1965 году издательством Harper & Row) .
Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Academic Press.

Внешние ссылки

Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры обратных откатов в категории конечных множеств. Автор: Джоселин Пейн.
откат в n Lab