Математическая операция
Пусть – гладкое отображение между гладкими многообразиями и . Тогда существует ассоциированное линейное отображение пространства 1-форм на ( линейное пространство сечений кокасательного расслоения ) в пространство 1-форм на . Эта линейная карта известна как обратный ход (по ) и часто обозначается . В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – может быть возвращено к использованию .
Когда карта является диффеоморфизмом , то обратный ход вместе с прямым продвижением можно использовать для преобразования любого тензорного поля из в или наоборот. В частности, если это диффеоморфизм между открытыми подмножествами и , рассматриваемый как изменение координат (возможно, между различными картами на многообразии ), то обратный и прямой переход описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (координатно-зависимых ) подходы к предмету.
Идея, лежащая в основе отката, по сути, заключается в идее предварительного соединения одной функции с другой. Однако, объединив эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции возврата. Эта статья начинается с простейших операций, а затем используется для построения более сложных операций. Грубо говоря, механизм обратного хода (с использованием предкомпозиции) превращает несколько конструкций дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .
Откат гладких функций и гладких отображений
Пусть – гладкое отображение между (гладкими) многообразиями и , и предположим, что – гладкая функция на . Тогда обратный откат by является гладкой функцией , определяемой . Аналогично, если - гладкая функция на открытом множестве в , то та же самая формула определяет гладкую функцию на открытом множестве в . (На языке пучков обратный образ определяет морфизм пучка гладких функций на прямой образ пучка гладких функций на .)
В более общем смысле, если является гладким отображением из в любое другое многообразие , то является гладким отображением из в .
Откат жгутов и секций
Если - векторное расслоение (или любое расслоение ) над и является гладким отображением, то расслоение обратного образа - это векторное расслоение (или расслоение ), над которым слой над in задается выражением .
В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию возврата на разделах : если это раздел over , то раздел возврата является разделом over .
Откат полилинейных форм
Пусть Φ: V → W — линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ — элемент L ( V , W ) , также обозначаемый Hom( V , W ) ), и пусть
быть полилинейной формой на W (также известной как тензор – не путать с тензорным полем – ранга (0, s ) , где s — количество множителей W в произведении). Тогда обратный образ Φ ∗ F формы F с помощью Φ является полилинейной формой на V , определенной предкомпозицией F с Φ. Точнее, заданные векторы v 1 , v 2 , ..., v s в V , Φ ∗ F определяются по формуле
которая является полилинейной формой на V . Следовательно, Φ ∗ — (линейный) оператор перехода от полилинейных форм на W к полилинейным формам на V . В качестве частного случая отметим, что если F — линейная форма (или (0,1)-тензор) на W , так что F — элемент W ∗ , двойственного к W пространства , то Φ ∗ F является элементом V ∗ , и поэтому обратный путь по Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в направлении, противоположном самому линейному отображению Φ:
С тензорной точки зрения естественно попытаться распространить понятие обратного образа на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на W , принимающие значения в тензорном произведении r копий W , т. е. W ⊗ W ⊗ ⋅ ⋅⋅ ⊗ Вт . Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным путем: вместо этого существует операция продвижения вперед от V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V к W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W , заданная формулой
Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратима, обратный ход можно определить с помощью обратной функции Φ −1 . Объединение этих двух конструкций дает операцию продвижения вперед по обратимому линейному отображению для тензоров любого ранга ( r , s ) .
Обращение котангенс векторов и 1-форм
Пусть – гладкое отображение гладких многообразий . Тогда дифференциал , записанный , или , является морфизмом векторного расслоения (над ) из касательного расслоения в расслоение обратного образа . Таким образом , транспонирование является отображением расслоения из в , кокасательное расслоение .
Теперь предположим, что это часть ( 1 -формы на ), и предварительная композиция с для получения секции обратного преобразования . Применение приведенной выше карты расслоения (поточечно) к этому разделу дает обратный откат by , который является 1-формой на определенной
Обращение (ковариантных) тензорных полей
Конструкция предыдущего параграфа немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга любого натурального числа : тензорное поле на многообразии — это сечение тензорного расслоения, на слое которого в in есть пространство полилинейных -форм.
обратный откатОткат дифференциальных форм
Частным важным случаем возврата ковариантных тензорных полей является возврат дифференциальных форм . Если - дифференциальная -форма, т. е. сечение внешнего расслоения (послойно) чередующихся -форм на , то обратный образ - это дифференциальная -форма на, определяемая той же формулой, что и в предыдущем разделе:
Обращение дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.
- Оно совместимо с клиновым произведением в том смысле, что для дифференциальных форм и на ,
- Он совместим с внешней производной : если является дифференциальной формой, то
Обратный ход с помощью диффеоморфизмов
Когда отображение между многообразиями является диффеоморфизмом , то есть имеет гладкое обратное, тогда обратный образ может быть определен как для векторных полей , так и для 1-форм и, следовательно, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразии. . Линейная карта
можно перевернуть, чтобы дать
Общее смешанное тензорное поле затем преобразуется с помощью и в соответствии с разложением тензорного произведения тензорного расслоения в копии и . Когда , то возврат и движение вперед описывают свойства преобразования тензора на многообразии . Традиционно, обратный образ описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается сдвигом вперед .
Обратный ход с помощью автоморфизмов
Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда – диффеоморфизм многообразия в себя. В этом случае производная является частью . Это вызывает обратное действие на сечениях любого расслоения, связанного с расслоением фреймов представлением полной линейной группы (где ).
Откат и производная Лия
См. производную Лия . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определенных векторным полем на , и дифференцируя по параметру, получается понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.
Обратные связи (ковариантные производные)
Если является связностью (или ковариантной производной ) на векторном расслоении над и является гладким отображением из в , то существует обратная связь на над , однозначно определяемая условием, что
Смотрите также
Рекомендации
- Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. разделы 1.5 и 1.6 .
- Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х. См. разделы 1.7 и 2.3 .