q-производная

Q-аналог обыкновенной производной

В математике , в области комбинаторики и квантового исчисления , q -производная , или производная Джексона , является q -аналогом обычной производной , введенной Фрэнком Хилтоном Джексоном . Это обращение Джексона к q -интегрированию . О других формах q-производной см. Chung et al. (1994).

Определение

q -производная функции f ( x ) определяется как ^{[1] ​​[2] [3} ]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

Его также часто пишут как . q - производная также известна как производная Джексона . ${\displaystyle D_{q}f(x)}$

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равнозначно оператору

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

который переходит к простой производной, как . ${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle q\to 1}$

Он явно линейный,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Оно имеет правило произведения, аналогичное обычному правилу производного произведения, с двумя эквивалентными формами.

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

Аналогично, он удовлетворяет правилу фактора:

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

Существует также правило, аналогичное цепному правилу для обычных деривативов. Позволять . Затем ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

Собственная функция q - производной — это q -экспонента e _q ( x ).

Связь с обычными деривативами

Q -дифференцировка напоминает обычную дифференцировку, но имеет любопытные различия. Например, q -производная монома : [ ^2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

где q -скобка n .​​ Обратите внимание, что в этом пределе восстанавливается обычная производная. ${\displaystyle [n]_{q}}$ ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

n -я q -производная функции может быть задана как: ^[3]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

при условии, что обычная n -я производная от f существует при x = 0. Здесь – символ q -Похгаммера , а – q -факториал . Если аналитически , мы можем применить формулу Тейлора к определению, чтобы получить ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ ${\displaystyle [n]!_{q}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

q -аналог разложения Тейлора функции около нуля следующий: ^[2]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

q -производные высшего порядка

Известно следующее представление для -производных высших порядков : ^{[4] [5]} ${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$– биномиальный коэффициент. Изменив порядок суммирования при , получим следующую формулу: ^{[4] [6]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

Производные более высокого порядка используются в формуле Тейлора и формуле Родригеса ( формула, используемая для построения ортогональных полиномов ^[4] ). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Обобщения

Постквантовое исчисление

Пост-квантовое исчисление является обобщением теории квантового исчисления и использует следующий оператор: ^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

Разница Хана

Вольфганг Хан ввел следующий оператор (разность Хана): ^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

Когда этот оператор сводится к -производной и когда он сводится к прямой разности. Это успешный инструмент для построения семейств ортогональных полиномов и исследования некоторых задач аппроксимации. ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \omega \to 0}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\to 1}$

β -производное

${\displaystyle \beta }$-производная — это оператор, определенный следующим образом: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

В определении - заданный интервал и любая непрерывная функция, которая строго монотонно возрастает (т.е. ). Когда тогда этот оператор является -производной, а когда этот оператор является разностью Хана. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$ ${\displaystyle \beta (t)=qt}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

Приложения

Q-исчисление использовалось в машинном обучении для проектирования стохастических функций активации. ^[16]

Смотрите также

• Производная (обобщения)
• Интеграл Джексона
• Q-экспонента
• Полиномы Q-разности
• Квантовое исчисление
• Энтропия Цаллиса

Цитаты

1. Джексон 1908, стр. 253–281.
2. Кац и Покман Чунг 2002.
3. Эрнст 2012.
4. Koepf 2014.
5. Кепф, Райкович и Маринкович 2007, стр. 621–638.
6. Аннаби и Мансур 2008, стр. 472–483.
7. Гупта В., Рассиас Т.М., Агравал П.Н., Аку А.М. (2018) Основы постквантового исчисления. В: Последние достижения в теории конструктивного приближения. SpringerOptimization и ее приложения, том 138. Springer.
8. Дюран 2016.
9. Хан, В. (1949). Математика. Нахр. 2:4-34.
10. Хан, В. (1983) Monatshefte Math. 95: 19-24.
11. Фупуаньиньи 1998.
12. Квон, К.; Ли, Д.; Парк, С.; Ю, Б.: Кёнпук Математика. Дж. 38, 259–281 (1998).
13. Альварес-Нодарсе, Р.: J. Comput. Прил. Математика. 196, 320–337 (2006).
14. Ош, Т. (2013): Разработка и применение разностного и дробного исчисления в дискретных масштабах времени . Докторская диссертация, Университет Небраски-Линкольн.
15. Хамза и др. 2015, с. 182.
16. Nielsen & Sun 2021, стр. 2782–2789.

Библиография

• Аннаби, Миннесота; Мансур, З.С. (2008). «q-Тейлора и интерполяционно-разностные операторы». Журнал математического анализа и приложений . 344 (1): 472–483. дои : 10.1016/j.jmaa.2008.02.033 .
• Чанг, Канзас; Чанг, WS; Нам, СТ; Канг, HJ (1994). «Новая q-производная и q-логарифм». Международный журнал теоретической физики . 33 (10): 2019–2029. Бибкод : 1994IJTP...33.2019C. дои : 10.1007/BF00675167. S2CID  117685233.
• Дюран, У. (2016). Постквантовое исчисление (магистерская диссертация). Кафедра математики, Высшая школа естественных и прикладных наук Университета Газиантепа . Проверено 9 марта 2022 г. - через ResearchGate .
• Эрнст, Т. (2012). Комплексное рассмотрение q-исчисления . Springer Science & Business Media. ISBN 978-303480430-1.
• Эрнст, Томас (2001). «История q-исчисления и новый метод» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 28 ноября 2009 года . Проверено 9 марта 2022 г.
• Экстон, Х. (1983). q-гипергеометрические функции и приложения . Нью-Йорк: Холстед Пресс. ISBN 978-047027453-8.
• Фупуаньиньи, М. (1998). Ортогональные полиномы Лагерра-Хана относительно оператора Хана: разностное уравнение четвертого порядка для r-го ассоциированного и уравнения Лагерра-Фрейда для рекуррентных коэффициентов (кандидатская диссертация). Национальный университет Бенина.
• Хамза, А.; Сархан, А.; Шехата, Э.; Алдвоа, К. (2015). «Общее квантово-разностное исчисление». Достижения в разностных уравнениях . 1 : 182. дои : 10.1186/s13662-015-0518-3 . S2CID  54790288.
• Джексон, Ф.Х. (1908). «О q-функциях и одном разностном операторе». Пер. Р. Сок. Эдинб . 46 (2): 253–281. дои : 10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.
• Кац, Виктор; Покман Чунг (2002). Квантовое исчисление . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-95341-8.
• Кукук, Дж.; Кукук, Р. (1999). «Заметка об операторе q-производной». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 176 (2): 627–634. arXiv : математика/9908140 . дои : 10.1006/jmaa.1993.1237. S2CID  329394.
• Кепф, В.; Райкович, премьер-министр; Маринкович, С.Д. (июль 2007 г.). «Свойства q-голономных функций». Журнал разностных уравнений и приложений . 13 (7): 621–638. CiteSeerX  10.1.1.298.4595 . дои : 10.1080/10236190701264925. S2CID  123079843.
• Кепф, Вольфрам (2014). Гипергеометрическое суммирование. Алгоритмический подход к суммированию и тождества специальных функций . Спрингер. ISBN 978-1-4471-6464-7.
• Нильсен, Франк; Сунь, Ке (2021). «Д-нейроны: активации нейронов на основе стохастических производных операторов Джексона». IEEE Транс. Нейронная сеть. Учиться. Сист . 32 (6): 2782–2789. arXiv : 1806.00149 . дои : 10.1109/TNNLS.2020.3005167. PMID  32886614. S2CID  44143912.