q-символ Поххаммера

Понятие в комбинаторике (раздел математики)

В математической области комбинаторики q- символ Похгаммера , также называемый q -сдвинутым факториалом , представляет собой произведение Он является q -аналогом символа Похгаммера в том смысле, что q - символ Похгаммера является основным строительным блоком в построении q -аналогов; например, в теории основных гипергеометрических рядов он играет ту же роль, которую обычный символ Похгаммера играет в теории обобщенных гипергеометрических рядов . $${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$$ ${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$ ${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)}$ $${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.}$$

В отличие от обычного символа Похгаммера, символ q -Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения: Это аналитическая функция q внутри единичного круга , и ее также можно рассматривать как формальный степенной ряд по q . Этот частный случай известен как функция Эйлера и важен в комбинаторике , теории чисел и теории модулярных форм . $${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$$ $${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$$

Идентичности

Конечное произведение может быть выражено через бесконечное произведение: что расширяет определение до отрицательных целых чисел n . Таким образом, для неотрицательных n имеем и Альтернативно, что полезно для некоторых производящих функций функций статистической суммы. $${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$$ $${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$$ $${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$$ $${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$$

Символ q -Похгаммера является предметом ряда тождеств q -рядов, в частности, разложений в бесконечные ряды , которые являются частными случаями теоремы о q -биноме : Фридрих Карпелевич нашел следующее тождество (доказательство см. в работе Ольшанецкого и Рогова (1995)): $${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$$ $${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{-n})}},\ |z|<1.}$$

Комбинаторная интерпретация

Символ q -Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при in — это число разбиений m на не более чем n частей. Поскольку, по сопряжению разбиений, это то же самое, что и число разбиений m на части размером не более n , то, отождествляя порождающие ряды, мы получаем тождество, как в предыдущем разделе. ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ $${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$$ $${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$$

Мы также имеем, что коэффициент in представляет собой число разбиений m на n или n -1 различных частей. ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ $${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$$

Удалив треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с произвольным разбиением с не более чем n частями. Это дает сохраняющую вес биекцию между набором разбиений на n или n − 1 различных частей и набором пар, состоящих из треугольного разбиения, имеющего n − 1 частей, и разбиения с не более чем n частями. Определив порождающий ряд, это приводит к тождеству, также описанному в предыдущем разделе. Обратная функция аналогично возникает как порождающая функция для функции разбиения , , которая также расширяется вторыми двумя q-рядами, представленными ниже: ^[1] $${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$$ ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$ ${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$$

Сама q -биномиальная теорема может быть также рассмотрена с помощью немного более сложного комбинаторного аргумента схожего рода (см. также расширения, приведенные в следующем подразделе).

Сходным образом, $${\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$$

Соглашение о множественных аргументах

Поскольку тождества, включающие символы q -Похгаммера, часто включают произведения многих символов, стандартным соглашением является запись произведения в виде одного символа нескольких аргументов: $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$$

д-ряд

Ряд q — это ряд , в котором коэффициенты являются функциями q , обычно выражениями . ^[2] Ранние результаты принадлежат Эйлеру , Гауссу и Коши . Систематическое изучение начинается с Эдуарда Гейне (1843). ^[3] ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

Отношение к другимд-функции

Q - аналог числа n , также известный как q -скобка или q -число числа n , определяется следующим образом: Отсюда можно определить q - аналог факториала , q - факториал , как $${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}$$

Эти числа являются аналогами в том смысле, что и поэтому также $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}$$ $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$$

Предельное значение n ! подсчитывает перестановки n -элементного множества S . Эквивалентно, оно подсчитывает количество последовательностей вложенных множеств, таких, что содержит ровно i элементов. ^[4] Для сравнения, когда q является степенью простого числа, а V является n -мерным векторным пространством над полем с q элементами, q -аналогом является количество полных флагов в V , то есть это количество последовательностей подпространств, таких, что имеет размерность i . ^[4] Предшествующие соображения предполагают, что можно рассматривать последовательность вложенных множеств как флаг над предположительным полем с одним элементом . ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle [n]!_{q}}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Произведение отрицательных целых q -скобок можно выразить через q -факториал как $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$$

От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов, также известных как гауссовские биномиальные коэффициенты , как $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$$

откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$

для всех . Можно проверить, что ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$$

Из предыдущих рекуррентных соотношений также видно, что следующие варианты -биномиальной теоремы раскрываются по этим коэффициентам следующим образом: ^[5] ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$$

Можно далее определить q -мультиномиальные коэффициенты , где аргументы являются неотрицательными целыми числами, которые удовлетворяют . Коэффициент выше подсчитывает количество флагов подпространств в n -мерном векторном пространстве над полем с q элементами, такими что . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$$ ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$ ${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$ ${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$

Предел дает обычный полиномиальный коэффициент , который подсчитывает слова из n различных символов, так что каждый из них встречается раз. ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$ ${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Также можно получить q -аналог гамма-функции , называемый q-гамма-функцией , и определяемый как Она сходится к обычной гамма-функции, когда q приближается к 1 изнутри единичного круга. Обратите внимание, что для любого x и для неотрицательных целых значений n . В качестве альтернативы это можно рассматривать как расширение q -факториальной функции до действительной системы чисел. $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}$$

Смотрите также

• Список q-аналогов
• Базовый гипергеометрический ряд
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• серия Ламберта
• Теорема о пятиугольных числах
• q- производная
• q -тета-функция
• q - тождество Вандермонда
• Тождества Роджерса–Рамануджана
• Непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана

Ссылки

1. Берндт, BC «Что такое q-серия?» (PDF) .
2. Брюс К. Берндт, Что такое q-ряд?, в Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 июня 2009 г., ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber и MJ Schlosser, ред., Ramanujan Mathematical Society, Майсур, 2010 г., стр. 31–51.
3. Хейне, Э. «Untersuchungen über die Reihe».J. Reine Angew. Математика. 34 (1847), 285–328.
4. Стэнли, Ричард П. (2011), Перечислительная комбинаторика , т. 1 (2-е изд.), Cambridge University Press, Раздел 1.10.2.
5. Olver; et al. (2010). "Раздел 17.2". NIST Handbook of Mathematical Functions. стр. 421.

• Джордж Гаспер и Мизан Рахман , Основные гипергеометрические ряды, 2-е издание , (2004), Энциклопедия математики и ее приложений, 96 , Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Рулоф Кукук и Рене Ф. Сварттау, Схема Эски ортогональных многочленов и ее q-аналоги , раздел 0.2.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и их применение , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• М. А. Ольшанецкий и В. Б. К. Рогов (1995), Модифицированные функции q-Бесселя и функции q-Бесселя-Макдональда, arXiv:q-alg/9509013.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "q-Analog". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "q-скобка". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "q-Факториал". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "q-Series". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "q-биномиальный коэффициент". MathWorld .