q-экспоненциальный

В комбинаторной математике q -экспонента — это q -аналог экспоненциальной функции , а именно собственная функция q -производной. Существует много q -производных , например, классическая q -производная , оператор Аски–Уилсона и т. д. Поэтому, в отличие от классических экспонент, q -экспоненты не являются уникальными. Например, — это q -экспонента , соответствующая классической q -производной , а — собственные функции операторов Аски–Уилсона. ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{q}(z)}$

Q - экспонента также известна как квантовый дилогарифм . ^{[1] [2]}

Определение

Q -экспонента определяется как ${\displaystyle e_{q}(z)}$

${\displaystyle e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}}$

где q -факториал и ​ ${\displaystyle [n]!_{q}}$

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

является q -символом Похгаммера . То, что это q -аналог экспоненты, следует из свойства

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)}$

где производная слева - это производная по q . Вышесказанное легко проверяется, если рассмотреть производную по q монома

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

Здесь — скобка q . Другие определения экспоненциальной функции q см. в работах Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) и Cieśliński (2011). ${\displaystyle [n]_{q}}$

Характеристики

Для действительного , функция является целой функцией от . Для , является регулярной в круге . ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$

Обратите внимание на обратное . ${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$

Формула сложения

Аналог не выполняется для действительных чисел и . Однако, если это операторы, удовлетворяющие коммутационному соотношению , то выполняется. ^[3] ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy=qyx}$ ${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$

Отношения

Для , функция, которая тесно связана с , является частным случаем основного гипергеометрического ряда , ${\displaystyle -1<q<1}$ ${\displaystyle E_{q}(z).}$

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

Четко,

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^{-z}.~}$

Связь с дилогарифмом

${\displaystyle e_{q}(x)}$имеет следующее бесконечное представление произведения:

${\displaystyle e_{q}(x)=\left(\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}(1-q)x)\right)^{-1}.}$

С другой стороны, имеет место. Когда , ${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\log(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.}$

Взяв предел , ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\log e_{q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

где дилогарифм . ​ ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$

Ссылки

1. Зудилин, Вадим (14 марта 2006 г.). «Квантовый дилогарифм» (PDF) . wain.mi.ras.ru. ​Проверено 16 июля 2021 г.
2. Фаддеев, Л.д.; Кашаев, Р.м. (1994-02-20). «Квантовый дилогарифм». Modern Physics Letters A . 09 (5): 427–434. arXiv : hep-th/9310070 . Bibcode :1994MPLA....9..427F. doi :10.1142/S0217732394000447. ISSN  0217-7323. S2CID  119124642.
3. Кац, В.; Чунг, П. (2011). Квантовое исчисление . Спрингер. п. 31. ISBN 978-1461300724.

• Cieśliński, Jan L. (2011). «Улучшенные q-экспоненциальные и q-тригонометрические функции». Applied Mathematics Letters . 24 (12): 2110–2114. arXiv : 1006.5652 . doi : 10.1016/j.aml.2011.06.009 . S2CID  205496812.
• Экстон, Гарольд (1983). q-Гипергеометрические функции и их применение . Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Ellis Horwood. ISBN 0853124914.
• Гаспер, Джордж ; Рахман, Мизан Рахман (2004). Основные гипергеометрические ряды . Cambridge University Press. ISBN 0521833574.
• Исмаил, Мурад Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781107325982. ISBN 9780521782012.
• Ismail, Mourad EH ; Zhang, Ruiming (1994). «Диагонализация некоторых интегральных операторов». Advances in Mathematics . 108 (1): 1–33. doi : 10.1006/aima.1994.1077 .
• Ismail, Mourad EH ; Rahman, Mizan ; Zhang, Ruiming (1996). «Диагонализация некоторых интегральных операторов II». Журнал вычислительной и прикладной математики . 68 (1–2): 163–196. CiteSeerX  10.1.1.234.4251 . doi : 10.1016/0377-0427(95)00263-4 .
• Джексон, Ф. Х. (1909). «О q-функциях и одном операторе разности». Труды Королевского общества Эдинбурга . 46 (2): 253–281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.