Качественная вариация

Статистическая дисперсия в номинальных распределениях

Индекс качественной вариации ( IQV ) является мерой статистической дисперсии номинальных распределений . Их существует множество, но они сравнительно мало изучены в статистической литературе. Самым простым является коэффициент вариации , а к более сложным показателям относится информационная энтропия .

Характеристики

Существует несколько типов индексов, используемых для анализа номинальных данных. Некоторые из них являются стандартными статистическими данными, которые используются в других местах: диапазон , стандартное отклонение , дисперсия , среднее отклонение , коэффициент вариации , медианное абсолютное отклонение , межквартильный размах и квартильное отклонение .

В дополнение к этому были разработаны некоторые статистические данные с учетом номинальных данных. Некоторые из них были обобщены и разработаны Уилкоксом (Wilcox 1967), (Wilcox 1973), который требует соблюдения следующих свойств стандартизации:

• Вариация варьируется от 0 до 1.
• Вариация равна 0 тогда и только тогда, когда все случаи принадлежат одной категории.
• Вариация равна 1 тогда и только тогда, когда случаи равномерно распределены по всем категориям. ^[1]

В частности, значение этих стандартизированных индексов не зависит от количества категорий или количества образцов.

Для любого индекса, чем ближе к равномерному распределению, тем больше дисперсия и чем больше различия в частотах между категориями, тем меньше дисперсия.

Индексы качественных вариаций тогда аналогичны информационной энтропии , которая минимизируется, когда все случаи принадлежат одной категории, и максимизируется при равномерном распределении. Действительно, информационную энтропию можно использовать как показатель качественных изменений.

Одной из характеристик конкретного индекса качественных вариаций (IQV) является отношение наблюдаемых различий к максимальным различиям.

Индексы Уилкокса

Уилкокс дает ряд формул для различных показателей QV (Wilcox 1973), первая, которую он называет DM для «отклонения от моды», представляет собой стандартизированную форму коэффициента вариации и аналогична дисперсии как отклонению от среднего значения. .

МодВР

Формула изменения режима (ModVR) выводится следующим образом:

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{K}(f_{m}-f_{i})}$

где f _m — модальная частота, K — количество категорий и f _i — частота i - ^й группы.

Это можно упростить до

${\displaystyle M=Kf_{m}-N}$

где N — общий размер выборки.

Индекс Фримена (или коэффициент вариации) равен ^[2]

${\displaystyle v=1-{\frac {f_{m}}{N}}}$

Это связано с М следующим образом:

${\displaystyle {\frac {({\frac {f_{m}}{N}})-{\frac {1}{K}}}{{\frac {N}{K}}{\frac {(K-1)}{N}}}}={\frac {M}{N(K-1)}}}$

ModVR определяется как

${\displaystyle \operatorname {ModVR} =1-{\frac {Kf_{m}-N}{N(K-1)}}={\frac {K(N-f_{m})}{N(K-1)}}={\frac {Kv}{K-1}}}$

где v — индекс Фримена.

Низкие значения ModVR соответствуют небольшому количеству вариаций, а высокие значения — большему количеству вариаций.

Когда K велико, ModVR примерно равен индексу Фримена  v .

РанВР

Это зависит от диапазона вокруг режима. Это определено как

${\displaystyle \operatorname {RanVR} =1-{\frac {f_{m}-f_{l}}{f_{m}}}={\frac {f_{l}}{f_{m}}}}$

где f _m — модальная частота, а f _l — самая низкая частота.

AvDev

Это аналог среднего отклонения. Оно определяется как среднее арифметическое абсолютных отличий каждого значения от среднего.

${\displaystyle \operatorname {AvDev} =1-{\frac {1}{2N}}{\frac {K}{K-1}}\sum _{i=1}^{K}\left|f_{i}-{\frac {N}{K}}\right|}$

МНДиф

Это аналог средней разности — среднего значения разностей всех возможных пар значений переменных, взятых независимо от знака. Средняя разница отличается от среднего и стандартного отклонения, поскольку она зависит от разброса значений переменных между собой, а не от отклонений от некоторого центрального значения. ^[3]

${\displaystyle \operatorname {MNDif} =1-{\frac {1}{N(K-1)}}\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}|f_{i}-f_{j}|}$

где f _i и f _j — i ^-я и j- ^я частоты соответственно.

MNDif — это коэффициент Джини , применяемый к качественным данным.

ВарNC

Это аналог дисперсии.

${\displaystyle \operatorname {VarNC} =1-{\frac {1}{N^{2}}}{\frac {K}{K-1}}\sum \left(f_{i}-{\frac {N}{K}}\right)^{2}}$

Это тот же индекс, что и индекс качественной изменчивости Мюллера и Шюсслера ^[4] и индекс М2 Гиббса.

Она распределяется как переменная хи-квадрат с K  – 1 степенями свободы . ^[5]

стандартное отклонение

Уилсон предложил две версии этой статистики.

Первый основан на AvDev.

${\displaystyle \operatorname {StDev} _{1}=1-{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{K}\left(f_{i}-{\frac {N}{K}}\right)^{2}}{\left(N-{\frac {N}{K}}\right)^{2}+(K-1)\left({\frac {N}{K}}\right)^{2}}}}}$

Второй основан на MNDif

${\displaystyle \operatorname {StDev} _{2}=1-{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}(f_{i}-f_{j})^{2}}{N^{2}(K-1)}}}}$

HRel

Этот индекс был первоначально разработан Клодом Шенноном для использования при определении свойств каналов связи.

${\displaystyle \operatorname {HRel} ={\frac {-\sum p_{i}\log _{2}p_{i}}{\log _{2}K}}}$

где п _я знак равно ж _я / N .

Это эквивалентно информационной энтропии , разделенной на и полезно для сравнения относительных вариаций между таблицами частот разных размеров. ${\displaystyle \log _{2}(K)}$

Индекс Б

Уилкокс адаптировал предложение Кайзера ^[6] на основе среднего геометрического и создал индекс B' . Индекс B определяется как

${\displaystyle B=1-{\sqrt {1-\left[{\sqrt[{k}]{\prod _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}K}{N}}}}\,\right]^{2}}}}$

R-пакеты

Некоторые из этих индексов реализованы на языке R. ^[7]

Индексы Гибба и связанные с ними формулы

Гиббс и Постон-младший (1975) предложили шесть индексов. ^[8]

М 1

Нестандартизированный индекс ( M 1) (Гиббс и Постон-младший, 1975, стр. 471) равен

${\displaystyle M1=1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

где K — количество категорий и — доля наблюдений, попадающих в данную категорию i . ${\displaystyle p_{i}=f_{i}/N}$

M 1 можно интерпретировать как единицу минус вероятность того, что случайная пара образцов будет принадлежать к одной и той же категории, ^[9] поэтому эта формула для IQV представляет собой стандартизированную вероятность попадания случайной пары в одну и ту же категорию. Этот индекс также называют индексом дифференциации, индексом дифференциации средств к существованию и индексом географической дифференциации в зависимости от контекста, в котором он использовался.

М 2

Второй индекс — M2 ^[10] (Гиббс и Постон-младший, 1975, стр. 472):

${\displaystyle M2={\frac {K}{K-1}}\left(1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}\right)}$

где K — количество категорий и — доля наблюдений, попадающих в данную категорию i . Фактор предназначен для стандартизации. ${\displaystyle p_{i}=f_{i}/N}$ ${\displaystyle {\frac {K}{K-1}}}$

M 1 и M 2 можно интерпретировать как дисперсию полиномиального распределения (Swanson 1976) (так называемую «расширенную биномиальную модель»). M 1 представляет собой дисперсию полиномиального распределения, а M 2 представляет собой отношение дисперсии полиномиального распределения к дисперсии биномиального распределения .

М 4

Индекс М 4

${\displaystyle M4={\frac {\sum _{i=1}^{K}|X_{i}-m|}{2\sum _{i=1}^{K}X_{i}}}}$

где m — среднее значение.

М 6

Формула для М 6:

${\displaystyle M6=K\left[1-{\frac {\sum _{i=1}^{K}|X_{i}-m|}{2N}}\right]}$

· где K — количество категорий, X _i — количество точек данных в i- ^й категории, N — общее количество точек данных, || - абсолютное значение (модуль) и

${\displaystyle m={\frac {\sum _{i=1}^{K}X_{i}}{N}}}$

Эту формулу можно упростить

${\displaystyle M6=K\left[1-{\frac {\sum _{i=1}^{K}\left|p_{i}-{\frac {1}{N}}\right|}{2}}\right]}$

где p _i — доля выборки в i- ^й категории.

На практике M 1 и M 6 имеют тенденцию сильно коррелировать, что препятствует их совместному использованию.

Связанные индексы

Сумма

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

также нашел применение. Это известно как индекс Симпсона в экологии и как индекс Герфиндаля или индекс Герфиндаля-Хиршмана (HHI) в экономике. Вариант этого известен в микробиологии как индекс Хантера-Гастона ^[11].

В лингвистике и криптоанализе эта сумма известна как частота повторений. Частота совпадений ( IC ) является несмещенной оценкой этой статистики ^[12]

${\displaystyle \operatorname {IC} =\sum {\frac {f_{i}(f_{i}-1)}{n(n-1)}}}$

где f _i — количество i- ^й графемы в тексте, а n — общее количество графем в тексте.

М 1

Определенная выше статистика M 1 предлагалась несколько раз в различных условиях под разными названиями. К ним относятся индекс изменчивости Джини, ^[13] показатель разнообразия Симпсона, ^[14] индекс лингвистической однородности Бачи, ^[15] индекс качественного разнообразия Мюллера и Шюсслера, ^[16] индекс отраслевой диверсификации Гиббса и Мартина, ^[17] индекс Либерсона. индекс. ^[18] и индекс Блау в социологии, психологии и исследованиях менеджмента. ^[19] Формулировки всех этих индексов идентичны.

D Симпсона определяется как

${\displaystyle D=1-\sum _{i=1}^{K}{\frac {n_{i}(n_{i}-1)}{n(n-1)}}}$

где n — общий размер выборки, а n _i — количество элементов в i- ^й категории.

Для больших n имеем

${\displaystyle u\sim 1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

Другая предложенная статистика — это коэффициент несходства, который колеблется от 0 до 1. ^[20]

${\displaystyle u={\frac {c(x,y)}{n^{2}-n}}}$

где n — размер выборки, а c ( x , y ) = 1, если x и y одинаковы, и 0 в противном случае.

Для больших n имеем

${\displaystyle u\sim 1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

где К — количество категорий.

Другая связанная статистика - это квадратичная энтропия.

${\displaystyle H^{2}=2\left(1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}\right)}$

что само по себе связано с индексом Джини .

М 2

Одноязычный невзвешенный индекс языкового разнообразия Гринберга ^[21] представляет собой статистику М 2 , определенную выше.

М 7

Другой индекс – М 7 – был создан на основе индекса М 4 Гиббса и Постона-младшего (1975) ^[22]

${\displaystyle M7={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{L}|R_{i}-R|}{2\sum R_{i}}}}$

где

${\displaystyle R_{ij}={\frac {O_{ij}}{E_{ij}}}={\frac {O_{ij}}{n_{i}p_{j}}}}$

и

${\displaystyle R={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{L}R_{ij}}{\sum _{i=1}^{K}n_{i}}}}$

где K — количество категорий, L — количество подтипов, O _ij и E _ij — количество наблюдаемых и ожидаемых соответственно подтипа j в i- ^й категории, n _i — количество в i- ^й категории, а p _j — доля подтипа j в полной выборке.

Примечание. Этот индекс был разработан для измерения участия женщин на рабочем месте: он был разработан для двух подтипов: мужчин и женщин.

Другие индексы единичной выборки

Эти индексы представляют собой сводную статистику вариаций внутри выборки.

Индекс Бергера-Паркера

Индекс Бергера-Паркера равен максимальному значению в наборе данных, т.е. пропорциональному обилию наиболее распространенного типа. ^[23] Это соответствует взвешенному обобщенному среднему значению, когда q приближается к бесконечности, и, следовательно, равно обратному истинному разнообразию порядка бесконечности (1/ ^∞ D ). ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Индекс разнообразия Бриллюэна

Этот индекс строго применим только ко всей совокупности, а не к конечным выборкам. Это определяется как

${\displaystyle I_{B}={\frac {\log(N!)-\sum _{i=1}^{K}(\log(n_{i}!))}{N}}}$

где N — общее количество особей в популяции, n _i — количество особей в i- ^й категории и N ! является факториалом N. _ _ Показатель четности Бриллюэна определяется как

${\displaystyle E_{B}=I_{B}/I_{B(\max )}}$

где I _{B (max)} — максимальное значение I _B .

Числа разнообразия Хилла

Хилл предложил семейство чисел разнообразия ^[24]

${\displaystyle N_{a}={\frac {1}{\left[\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{a}\right]^{a-1}}}}$

Для заданных значений a можно вычислить несколько других индексов.

• a = 0: N _a = видовое богатство
• a = 1: N _a = индекс Шеннона
• a = 2: N _a = 1/индекс Симпсона (без поправки на малую выборку)
• a = 3: N _a = 1/индекс Бергера–Паркера

Хилл также предложил семейство мер ровности.

${\displaystyle E_{a,b}={\frac {N_{a}}{N_{b}}}}$

где а > б .

Хиллс Е ₄ _

${\displaystyle E_{4}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}}$

Хиллс Е ₅ _

${\displaystyle E_{5}={\frac {N_{2}-1}{N_{1}-1}}}$

Индекс Маргалефа

${\displaystyle I_{\text{Marg}}={\frac {S-1}{\log _{e}N}}}$

где S — количество типов данных в выборке, а N — общий размер выборки. ^[25]

Индекс Менхиника

${\displaystyle I_{\mathrm {Men} }={\frac {S}{\sqrt {N}}}}$

где S — количество типов данных в выборке, а N — общий размер выборки. ^[26]

В лингвистике этот индекс идентичен индексу Курашкевича (индексу Гийарда), где S — количество отдельных слов (типов), а N — общее количество слов (лексем) в исследуемом тексте. ^{[27] [28]} Этот индекс может быть получен как частный случай обобщенной функции Торквиста. ^[29]

Q-статистика

Это статистика, придуманная Кемптоном и Тейлором. ^[30] и включает в себя квартили выборки. Это определяется как

${\displaystyle Q={\frac {{\frac {1}{2}}(n_{R1}+n_{R2})+\sum _{j=R_{1}+1}^{R_{2}-1}n_{j}}{\log(R_{2}/R_{1})}}}$

где R ₁ и R ₁ — квартили 25% и 75% соответственно на кумулятивной кривой видов, n _j — количество видов в j _-й категории, n _Ri — количество видов в классе, куда попадает R _i ( i = 1 или 2).

Индекс Шеннона – Винера

Это взято из теории информации

${\displaystyle H=\log _{e}N-{\frac {1}{N}}\sum n_{i}p_{i}\log(p_{i})}$

где N — общее количество в выборке, а pi _— доля в i- ^й категории.

В экологии, где обычно используется этот индекс, Н обычно лежит в пределах 1,5–3,5 и лишь изредка превышает 4,0.

Приблизительная формула для стандартного отклонения (SD) H :

${\displaystyle \operatorname {SD} (H)={\frac {1}{N}}\left[\sum p_{i}[\log _{e}(p_{i})]^{2}-H^{2}\right]}$

где p _i — доля i- ^й категории, а N — общее количество в выборке.

Более точное приближенное значение дисперсии H (var( H )) дается формулой ^[31]

${\displaystyle \operatorname {var} (H)={\frac {\sum p_{i}[\log(p_{i})]^{2}-\left[\sum p_{i}\log(p_{i})\right]^{2}}{N}}+{\frac {K-1}{2N^{2}}}+{\frac {-1+\sum p_{i}^{2}-\sum p_{i}^{-1}\log(p_{i})+\sum p_{i}^{-1}\sum p_{i}\log(p_{i})}{6N^{3}}}}$

где N — размер выборки, а K — количество категорий.

Родственным индексом является индекс Пиелоу J , определяемый как

${\displaystyle J={\frac {H}{\log _{e}(S)}}}$

Одна из трудностей с этим индексом заключается в том, что S неизвестна для конечной выборки. На практике S обычно устанавливается на максимальное значение, присутствующее в любой категории выборки.

Энтропия Реньи

Энтропия Реньи представляет собой обобщение энтропии Шеннона на другие значения q , кроме единицы. Это может быть выражено:

${\displaystyle {}^{q}H={\frac {1}{1-q}}\;\ln \left(\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{q}\right)}$

что равно

${\displaystyle {}^{q}H=\ln \left({1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{K}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}\right)=\ln({}^{q}\!D)}$

Это означает, что логарифм истинного разнообразия на основе любого значения q дает энтропию Реньи, соответствующую тому же значению q .

Значение также известно как число Хилла. ^[24] ${\displaystyle {}^{q}\!D}$

Макинтош D и E

Макинтош предложил меру разнообразия: ^[32]

${\displaystyle I={\sqrt {\sum _{i=1}^{K}n_{i}^{2}}}}$

где n _i — число в i- ^й категории, а K — количество категорий.

Он также предложил несколько нормализованных версий этого индекса. Во-первых, это Д :

${\displaystyle D={\frac {N-I}{N-{\sqrt {N}}}}}$

где N — общий размер выборки.

Преимущество этого индекса состоит в том, что он выражает наблюдаемое разнообразие как долю абсолютного максимального разнообразия при данном N.

Другая предложенная нормализация — это E — отношение наблюдаемого разнообразия к максимально возможному разнообразию заданных N и K (т.е. если все виды равны по числу особей):

${\displaystyle E={\frac {N-I}{N-{\frac {N}{K}}}}}$

Альфа Фишера

Это был первый индекс разнообразия. ^[33]

${\displaystyle K=\alpha \ln(1+{\frac {N}{\alpha }})}$

где K — количество категорий, а N — количество точек данных в выборке. α Фишера должна быть оценена численно на основе данных.

Ожидаемое число особей в r- ^й категории, где категории расположены в возрастающем размере, равно

${\displaystyle \operatorname {E} (n_{r})=\alpha {\frac {X^{r}}{r}}}$

где X — эмпирический параметр, лежащий между 0 и 1. Хотя X лучше всего оценить численно, приближенное значение можно получить, решив следующие два уравнения:

${\displaystyle N={\frac {\alpha X}{1-X}}}$

${\displaystyle K=-\alpha \ln(1-X)}$

где K — количество категорий, а N — общий размер выборки.

Дисперсия α примерно равна ^[34]

${\displaystyle \operatorname {var} (\alpha )={\frac {\alpha }{\ln(X)(1-X)}}}$

Индекс Стронга

Этот индекс ( D _w ) представляет собой расстояние между кривой Лоренца распределения видов и линией 45 градусов. Он тесно связан с коэффициентом Джини. ^[35]

В символах это

${\displaystyle D_{w}=max[{\frac {c_{i}}{K}}-{\frac {i}{N}}]}$

где max() — максимальное значение, полученное по N точкам данных, K — количество категорий (или видов) в наборе данных, а c _i — совокупная сумма, включая i- _ю категорию.

Симпсон E

Это связано с D Симпсона и определяется как

${\displaystyle E={\frac {1/D}{K}}}$

где D — D Симпсона, а K — количество категорий в выборке.

Индексы Смита и Вильсона

Смит и Уилсон предложили ряд индексов, основанных на D Симпсона .

${\displaystyle E_{1}={\frac {1-D}{1-{\frac {1}{K}}}}}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {\log _{e}(D)}{\log _{e}(K)}}}$

где D — D по Симпсону, а K — количество категорий.

Индекс Хейпа

${\displaystyle E={\frac {e^{H}-1}{K-1}}}$

где H — энтропия Шеннона, а K — количество категорий.

Этот индекс тесно связан с индексом Шелдона, который

${\displaystyle E={\frac {e^{H}}{K}}}$

где H — энтропия Шеннона, а K — количество категорий.

Индекс Камарго

Этот индекс был создан Камарго в 1993 году. ^[36]

${\displaystyle E=1-\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=i+1}^{K}{\frac {p_{i}-p_{j}}{K}}}$

где K — количество категорий, а pi _— доля в i- ^й категории.

Смит и Уилсон Б

Этот индекс был предложен Смитом и Уилсоном в 1996 году. ^[37]

${\displaystyle B=1-{\frac {2}{\pi }}\arctan(\theta )}$

где θ — наклон кривой логарифмического ранга (обилия).

Индекс Ни, Харви и Котгрива

Это наклон логарифмической кривой (изобилия)-ранга.

Булла'с Е

Существует две версии этого индекса — одна для непрерывных распределений ( E _c ) и другая для дискретных ( E _d ). ^[38]

${\displaystyle E_{c}={\frac {O-{\frac {1}{K}}}{1-{\frac {1}{K}}}}}$

${\displaystyle E_{d}={\frac {O-{\frac {1}{K}}-{\frac {K-1}{N}}}{1-{\frac {1}{K}}-{\frac {K-1}{N}}}}}$

где

${\displaystyle O=1-{\frac {1}{2}}\left|p_{i}-{\frac {1}{K}}\right|}$

– индекс Шёнера – Чеканоски, K – количество категорий, а N – размер выборки.

Индекс теории информации Хорна

Этот индекс ( R _ik ) основан на энтропии Шеннона. ^[39] Это определяется как

${\displaystyle R_{ik}={\frac {H_{\max }-H_{\mathrm {obs} }}{H_{\max }-H_{\min }}}}$

где

${\displaystyle X=\sum x_{ij}}$

${\displaystyle X=\sum x_{kj}}$

${\displaystyle H(X)=\sum {\frac {x_{ij}}{X}}\log {\frac {X}{x_{ij}}}}$

${\displaystyle H(Y)=\sum {\frac {x_{kj}}{Y}}\log {\frac {Y}{x_{kj}}}}$

${\displaystyle H_{\min }={\frac {X}{X+Y}}H(X)+{\frac {Y}{X+Y}}H(Y)}$

${\displaystyle H_{\max }=\sum \left({\frac {x_{ij}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{ij}}}+{\frac {x_{kj}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{kj}}}\right)}$

${\displaystyle H_{\mathrm {obs} }=\sum {\frac {x_{ij}+x_{kj}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{ij}+x_{kj}}}}$

В этих уравнениях x _ij и x _kj — это количество раз, когда j ^-й тип данных появляется в i ^-й или k ^-й выборке соответственно.

Индекс разрежения

В разреженной выборке из общего числа N элементов выбирается случайная подвыборка n . В этой выборке некоторые группы могут обязательно отсутствовать в этой подвыборке. Пусть – количество групп, все еще присутствующих в подвыборке из n элементов. меньше K — количество категорий, если в этой подвыборке отсутствует хотя бы одна группа. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Кривая разрежения определяется как: ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}=\operatorname {E} [X_{n}]=K-{\binom {N}{n}}^{-1}\sum _{i=1}^{K}{\binom {N-N_{i}}{n}}}$

Обратите внимание, что 0 ≤ f ( n ) ≤ K .

Более того,

${\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(N)=K.}$

Несмотря на то, что эти кривые определяются при дискретных значениях n , чаще всего они отображаются как непрерывные функции. ^[40]

Этот индекс обсуждается далее в разделе «Разрежение (экология)» .

Касвеллс V

Это статистика типа z , основанная на энтропии Шеннона. ^[41]

${\displaystyle V={\frac {H-\operatorname {E} (H)}{\operatorname {SD} (H)}}}$

где H — энтропия Шеннона, E ( H ) — ожидаемая энтропия Шеннона для нейтральной модели распределения, а SD ( H ) — стандартное отклонение энтропии. Стандартное отклонение оценивается по формуле, полученной Пьелу.

${\displaystyle SD(H)={\frac {1}{N}}\left[\sum p_{i}[\log _{e}(p_{i})]^{2}-H^{2}\right]}$

где p _i — доля i- ^й категории, а N — общее количество в выборке.

Индекс Ллойда и Геларди

Это

${\displaystyle I_{LG}={\frac {K}{K'}}}$

где K — количество категорий, а K’ — количество категорий в соответствии с моделью сломанной палки Макартура, дающей наблюдаемое разнообразие.

Средний индекс таксономической отличимости

Этот индекс используется для сравнения взаимоотношений между хозяевами и их паразитами. ^[42] Он включает информацию о филогенетических отношениях между видами-хозяевами.

${\displaystyle S_{TD}=2{\frac {\sum \sum _{i<j}\omega _{ij}}{s(s-1)}}}$

где s — количество видов хозяев, используемых паразитом, а ω _ij — таксономическое различие между видами хозяев i и j .

Индекс качественной вариации

Было предложено несколько индексов с таким названием.

Один из них

${\displaystyle IQV={\frac {K(100^{2}-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2})}{100^{2}(K-1)}}={\frac {K}{K-1}}(1-\sum _{i=1}^{K}(p_{i}/100)^{2})}$

где K — количество категорий, а pi _— доля выборки, принадлежащая i- ^й категории.

Тейлс Х

Этот индекс также известен как индекс мультигрупповой энтропии или индекс теории информации. Он был предложен Тейлом в 1972 году. ^[43] Индекс представляет собой средневзвешенное значение энтропии выборки.

Позволять

${\displaystyle E_{a}=\sum _{i=1}^{a}p_{i}log(p_{i})}$

и

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}(E-E_{i})}{NE}}}$

где p _i — доля типа i в a- ^й выборке, r — общее количество выборок, n _i — размер i- ^й выборки, N — размер популяции, из которой были получены выборки, а E — Энтропия населения.

Индексы для сравнения двух или более типов данных в одной выборке.

Некоторые из этих индексов были разработаны для документирования степени, в которой различные типы данных, представляющие интерес, могут сосуществовать в пределах географической области.

Индекс несходства

Пусть A и B — два типа элементов данных. Тогда индекс несходства равен

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {B_{i}}{B}}\right|}$

где

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle B=\sum _{i=1}^{K}B_{i}}$

A _i — количество типов данных A на сайте выборки i , B _i — количество типов данных B на сайте выборки i , K — количество сайтов, выбранных для выборки, и || является абсолютной величиной.

Этот индекс, вероятно, более известен как индекс несходства ( D ). ^[44] Он тесно связан с индексом Джини.

Этот индекс является смещенным, поскольку его математическое ожидание при равномерном распределении > 0.

Модификация этого индекса была предложена Горардом и Тейлором. ^[45] Их индекс (GT) составляет

${\displaystyle GT=D\left(1-{\frac {A}{A+B}}\right)}$

Индекс сегрегации

Индекс сегрегации ( IS ) ^[46] составляет

${\displaystyle SI={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {t_{i}-A_{i}}{T-A}}\right|}$

где

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{K}t_{i}}$

и K — количество единиц, A _i и t _i — количество типов данных A в единице i и общее количество всех типов данных в единице i .

Индекс квадратного корня Хатчена

Этот индекс ( H ) определяется как ^[47]

${\displaystyle H=1-\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{i}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}}$

где p _i — доля выборки, состоящая из i- ^й вариации.

Индекс изоляции Либерсона

Этот индекс ( L _xy ) был изобретен Либерсоном в 1981 году. ^[48]

${\displaystyle L_{xy}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}{\frac {X_{i}Y_{i}}{X_{\mathrm {tot} }}}}$

где X _i и Y _i — представляющие интерес переменные на i- ^м сайте, K — количество исследованных сайтов, а X _tot — общее количество вариантов типа X в исследовании.

индекс Белла

Этот индекс определяется как ^[49]

${\displaystyle I_{R}={\frac {p_{xx}-p_{x}}{1-p_{x}}}}$

где p _x — доля выборки, состоящая из вариантов типа X и

${\displaystyle p_{xx}={\frac {\sum _{i=1}^{K}x_{i}p_{i}}{N_{x}}}}$

где N _x — общее количество вариаций типа X в исследовании, K — количество выборок в исследовании, а xi и pi _— количество _{вариаций} и доля вариаций типа X соответственно в i- ^й выборке . .

Индекс изоляции

Индекс изоляции

${\displaystyle II=\sum _{i=1}^{K}{\frac {A_{i}}{A}}{\frac {A_{i}}{t_{i}}}}$

где K — количество единиц в исследовании, A _i и t _i — количество единиц типа A и количество всех единиц в i- _й выборке.

Также был предложен модифицированный индекс изоляции.

${\displaystyle MII={\frac {II-{\frac {A}{T}}}{1-{\frac {A}{T}}}}}$

MII находится между 0 и 1 .

Индекс сегрегации Горара

Этот индекс (GS) определяется как

${\displaystyle GS={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {t_{i}}{T}}\right|}$

где

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{K}t_{i}}$

и A _i и t _i — количество элементов данных типа A и общее количество элементов в i- ^й выборке.

Индекс воздействия

Этот индекс определяется как

${\displaystyle IE=\sum _{i=1}^{K}{\frac {A_{i}}{A}}{\frac {B_{i}}{t_{i}}}}$

где

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

и A _i и B _i — количество типов A и B в i- ^й категории, а t _i — общее количество точек данных в i- ^й категории.

Индекс Очиай

Это двоичная форма индекса косинуса. ^[50] Он используется для сравнения данных о присутствии/отсутствии двух типов данных (здесь A и B ). Это определяется как

${\displaystyle O={\frac {a}{\sqrt {(a+b)(a+c)}}}}$

где a — количество единиц выборки, в которых обнаружены как A, так и B , b — количество единиц выборки, в которых встречается A , но не B , и c — количество единиц выборки, в которых присутствует тип B , но не тип A.

Коэффициент Кульчинского

Этот коэффициент был изобретен Станиславом Кульчинским в 1927 году ^[51] и является показателем ассоциации между двумя типами (здесь A и B ). Его значение варьируется от 0 до 1. Оно определяется как

${\displaystyle K={\frac {a}{2}}\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)}$

где a — количество единиц выборки, в которых присутствуют тип A и тип B , b — количество единиц выборки, в которых присутствует тип A , но не тип B , и c — количество единиц выборки, в которых присутствует тип B , но не тип A. .

Вопрос Йоля

Этот индекс был изобретен Юлом в 1900 году. ^[52] Он касается ассоциации двух разных типов (здесь A и B ). Это определяется как

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. Значение Q варьируется от -1 до +1. В порядковом случае Q известен как γ Гудмана-Краскала .

Поскольку знаменатель потенциально может быть равен нулю, Лейнхерт и Спорер рекомендовали добавлять +1 к a , b , c и d . ^[53]

Йоль Y

Этот индекс определяется как

${\displaystyle Y={\frac {{\sqrt {ad}}-{\sqrt {bc}}}{{\sqrt {ad}}+{\sqrt {bc}}}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют.

Коэффициент Барони – Урбани – Бузера

Этот индекс был изобретен Барони-Урбани и Бузером в 1976 году. ^[54] Его значение варьируется от 0 до 1. Это определяется как

${\displaystyle BUB={\frac {{\sqrt {ad}}+a}{{\sqrt {ad}}+a+b+c}}={\frac {{\sqrt {ad}}+a}{N+{\sqrt {ad}}-d}}=1-{\frac {N-(a-d)}{N+{\sqrt {ad}}-d}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

При d = 0 этот индекс идентичен индексу Жаккара.

Коэффициент Хаммана

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle H={\frac {(a+d)-(b+c)}{a+b+c+d}}={\frac {(a+d)-(b+c)}{N}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Роджерса – Танимото

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle RT={\frac {a+d}{a+2(b+c)+d}}={\frac {a+d}{N+b+c}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки

Коэффициент Сокала – Снита

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle SS={\frac {2(a+d)}{2(a+d)+b+c}}={\frac {2(a+d)}{N+a+d}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Бинарное расстояние Сокаля

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle SBD={\sqrt {\frac {b+c}{a+b+c+d}}}={\sqrt {\frac {b+c}{N}}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Рассела – Рао

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle RR={\frac {a}{a+b+c+d}}={\frac {a}{N}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Фи

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle \varphi ={\frac {ad-bc}{\sqrt {(a+b)(a+c)(b+c)(c+d)}}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют.

Коэффициент Зергеля

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle S={\frac {b+c}{b+c+d}}={\frac {b+c}{N-a}}}$

где b — количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, в которых не присутствуют ни тип A , ни тип B. N — размер выборки.

Коэффициент Симпсона

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle S={\frac {a}{a+\min(b,c)}}}$

где b — количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A.

Коэффициент Денниса

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle D={\frac {ad-bc}{\sqrt {(a+b+c+d)(a+b)(a+c)}}}={\frac {ad-bc}{\sqrt {N(a+b)(a+c)}}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Форбса

Этот коэффициент был предложен Стивеном Альфредом Форбсом в 1907 году. ^[55] Он определяется как

${\displaystyle F={\frac {aN}{(a+b)(a+c)}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки ( N = a + b + c + d ).

Модификация этого коэффициента, не требующая знания d, была предложена Элроем ^[56]

${\displaystyle F_{A}={\frac {a(n+{\sqrt {n}})}{a(n+{\sqrt {n}})+{\frac {3}{2}}bc}}=1-{\frac {3bc}{2a(n+{\sqrt {n}})+3bc}}}$

Где n = а + б + с .

Простой коэффициент соответствия

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle SM={\frac {a+d}{a+b+c+d}}={\frac {a+d}{N}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Фоссума

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle F={\frac {(a+b+c+d)(a-0.5)^{2}}{(a+b)(a+c)}}={\frac {N(a-0.5)^{2}}{(a+b)(a+c)}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Стайла

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle S=\log \left[{\frac {n(|ad-bc|-{\frac {n}{2}})^{2}}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}\right]}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , d — количество образцов, где ни тип A , ни тип B отсутствуют, n равно a + b + c + d и || – модуль (абсолютное значение) разности.

коэффициент Майкла

Этот коэффициент определяется как

${\displaystyle M={\frac {4(ad-bc)}{(a+d)^{2}+(b+c)^{2}}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют.

Коэффициент Пирса

В 1884 г. Чарльз Пирс предложил ^[57] следующий коэффициент

${\displaystyle P={\frac {ab+bc}{ab+2bc+cd}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют.

Коэффициент Хокина – Дотсона

В 1975 году Хокин и Дотсон предложили следующий коэффициент:

${\displaystyle HD={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{a+b+c}}+{\frac {d}{b+c+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{N-d}}+{\frac {d}{N-a}}\right)}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Коэффициент Бенини

В 1901 году Бенини предложил следующий коэффициент

${\displaystyle B={\frac {a-(a+b)(a+c)}{a+\min(b,c)-(a+b)(a+c)}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов , в которых присутствует тип A , но не тип B , и c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A. Min( b , c ) — это минимум b и c .

Коэффициент Гилберта

Гилберт предложил следующий коэффициент

${\displaystyle G={\frac {a-(a+b)(a+c)}{a+b+c-(a+b)(a+c)}}={\frac {a-(a+b)(a+c)}{N-(a+b)(a+c)-d}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A , и d — количество образцов, где ни тип А , ни тип Б отсутствуют. N — размер выборки.

Индекс Джини

Индекс Джини – это

${\displaystyle G={\frac {a-(a+b)(a+c)}{\sqrt {(1-(a+b)^{2})(1-(a+c)^{2})}}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов , в которых присутствует тип A , но не тип B , и c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A.

Модифицированный индекс Джини

Модифицированный индекс Джини

${\displaystyle G_{M}={\frac {a-(a+b)(a+c)}{1-{\frac {|b-c|}{2}}-(a+b)(a+c)}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов , в которых присутствует тип A , но не тип B , и c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A.

индекс Куна

Кун предложил следующий коэффициент в 1965 году

${\displaystyle I={\frac {2(ad-bc)}{K(2a+b+c)}}={\frac {2(ad-bc)}{K(N+a-d)}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов , в которых присутствует тип A , но не тип B , и c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A. К – нормирующий параметр. N — размер выборки.

Этот показатель также известен как коэффициент средних арифметических.

Индекс Эйро

Эйро предложил следующий коэффициент в 1936 году.

${\displaystyle I={\frac {a-(a+b)(a+c)}{(a+c)(a+d)(b+d)(c+d)}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не присутствует тип A , и d — количество образцов где нет ни A , ни B.

Расстояние Зергеля

Это определяется как

${\displaystyle \operatorname {SD} ={\frac {b+c}{b+c+d}}={\frac {b+c}{N-a}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не присутствует тип A , и d — количество образцов где нет ни A , ни B. N — размер выборки.

Индекс Танимото

Это определяется как

${\displaystyle TI=1-{\frac {a}{b+c+d}}=1-{\frac {a}{N-a}}={\frac {N-2a}{N-a}}}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не присутствует тип A , и d — количество образцов где нет ни A , ни B. N — размер выборки.

Индекс Пятецкого-Шапиро.

Это определяется как

${\displaystyle PSI=a-bc}$

где a — количество образцов, в которых присутствуют оба типа A и B , b — это количество образцов, в которых присутствует тип A , но не тип B , c — количество образцов, в которых присутствует тип B , но не тип A.

Индексы для сравнения двух или более образцов

Количественный показатель Чекановского

Это также известно как индекс Брея-Кертиса , индекс Шёнера, индекс наименьшего процента, индекс родства или пропорционального сходства. Это связано с индексом сходства Сёренсена .

${\displaystyle CZI={\frac {\sum \min(x_{i},x_{j})}{\sum (x_{i}+x_{j})}}}$

где x _i и x _j — количество видов на участках i и j соответственно, а минимум берется из числа общих видов между двумя участками.

Канберрская метрика

Расстояние Канберры — это взвешенная версия метрики L ₁ . Он был введен в 1966 году ^[58] и усовершенствован в 1967 году ^[59] Г. Н. Лансом и У. Т. Уильямсом . Он используется для определения расстояния между двумя векторами — здесь два сайта с K категориями внутри каждого сайта.

Расстояние Канберры d между векторами p и q в K -мерном действительном векторном пространстве равно

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|p_{i}-q_{i}|}{|p_{i}|+|q_{i}|}}}$

где p _i и q _i — значения i - ^й категории двух векторов.

Коэффициент сообщества Соренсена

Это используется для измерения сходства между сообществами.

${\displaystyle CC={\frac {2c}{s_{1}+s_{2}}}}$

где s ₁ и s ₂ — количество видов в сообществе 1 и 2 соответственно, а c — количество видов, общих для обеих территорий.

индекс Жаккара

Это мера сходства между двумя выборками:

${\displaystyle J={\frac {A}{A+B+C}}}$

где A — количество точек данных, общих для двух выборок, а B и C — точки данных, обнаруженные только в первой и второй выборках соответственно.

Этот индекс был изобретен в 1902 году швейцарским ботаником Полем Жаккаром . ^[60]

При случайном распределении ожидаемое значение J равно ^[61]

${\displaystyle J={\frac {1}{A}}\left({\frac {1}{A+B+C}}\right)}$

Стандартная ошибка этого индекса в предположении случайного распределения равна

${\displaystyle SE(J)={\sqrt {\frac {A(B+C)}{N(A+B+C)^{3}}}}}$

где N — общий размер выборки.

Индекс Дайса

Это мера сходства между двумя выборками:

${\displaystyle D={\frac {2A}{2A+B+C}}}$

где A — количество точек данных, общих для двух выборок, а B и C — точки данных, обнаруженные только в первой и второй выборках соответственно.

Коэффициент матча

Это мера сходства между двумя выборками:

${\displaystyle M={\frac {N-B-C}{N}}=1-{\frac {B+C}{N}}}$

где N — количество точек данных в двух выборках, а B и C — точки данных, обнаруженные только в первой и второй выборках соответственно.

Индекс Мориситы

Индекс дисперсии Мориситы ( I _m ) представляет собой масштабированную вероятность того, что две точки, выбранные случайным образом из всей совокупности, попадают в одну и ту же выборку. ^[62] Более высокие значения указывают на более сгущенное распределение.

${\displaystyle I_{m}={\frac {\sum x(x-1)}{nm(m-1)}}}$

Альтернативная формулировка

${\displaystyle I_{m}=n{\frac {\sum x^{2}-\sum x}{\left(\sum x\right)^{2}-\sum x}}}$

где n — общий размер выборки, m — среднее значение выборки, а x — отдельные значения с суммой, взятой по всей выборке. Оно также равно

${\displaystyle I_{m}={\frac {n\ IMC}{nm-1}}}$

где IMC — индекс скученности Ллойда. ^[63]

Этот индекс относительно не зависит от плотности населения, но зависит от размера выборки.

Морисита показал, что статистика ^[62]

${\displaystyle I_{m}\left(\sum x-1\right)+n-\sum x}$

распределяется как переменная хи-квадрат с n  - 1 степенями свободы.

Альтернативный тест значимости этого индекса был разработан для больших выборок. ^[64]

${\displaystyle z={\frac {I_{m}-1}{2/nm^{2}}}}$

где m — общее среднее значение выборки, n — количество единиц выборки, а z — абсцисса нормального распределения . Значимость проверяется путем сравнения значения z со значениями нормального распределения .

Индекс перекрытия Мориситы

Индекс перекрытия Мориситы используется для сравнения перекрытия между выборками. ^[65] Индекс основан на предположении, что увеличение размера выборки увеличит разнообразие, поскольку оно будет включать различные среды обитания.

${\displaystyle C_{D}={\frac {2\sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{(D_{x}+D_{y})XY}}}$

x _i — количество раз, когда вид i представлен в общем количестве X из одного образца.

y _i — количество раз, когда вид i представлен в общем количестве Y из другой выборки.

D _x и D _y представляют собой значения индекса Симпсона для выборок x и y соответственно.

S — количество уникальных видов

C _D = 0, если две выборки не перекрываются по видам, и C _D = 1, если виды встречаются в одинаковых пропорциях в обеих выборках.

Хорн ввел модификацию индекса ^[66]

${\displaystyle C_{H}={\frac {2\sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{\left({\sum _{i=1}^{S}x_{i}^{2} \over X^{2}}+{\sum _{i=1}^{S}y_{i}^{2} \over Y^{2}}\right)XY}}}$

Стандартизированный индекс Мориситы

Смит-Гилл разработал статистику, основанную на индексе Мориситы, который не зависит ни от размера выборки, ни от плотности населения и ограничен значениями -1 и +1. Эта статистика рассчитывается следующим образом ^[67]

Сначала определите индекс Мориситы ( I _d ) обычным способом. Тогда пусть k — количество единиц, из которых была отобрана совокупность. Рассчитайте два критических значения

${\displaystyle M_{u}={\frac {\chi _{0.975}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

${\displaystyle M_{c}={\frac {\chi _{0.025}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

где χ ² — значение хи-квадрат для n  — 1 степеней свободы при уровнях достоверности 97,5% и 2,5%.

Стандартизированный индекс ( I _p ) затем рассчитывается по одной из формул ниже.

Когда I _d ≥ M _c > 1

${\displaystyle I_{p}=0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}}\right)}$

Когда M _c > I _d ≥ 1

${\displaystyle I_{p}=0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

Когда 1 > I _d ≥ M _u

${\displaystyle I_{p}=-0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

Когда 1 > M _u > I _d

${\displaystyle I_{p}=-0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}}\right)}$

I _p находится в диапазоне от +1 до –1 с 95% доверительным интервалом ±0,5. I _p имеет значение 0, если шаблон случайный; если шаблон однородный, I _p < 0, а если шаблон показывает агрегацию, I _p > 0.

Индексы ровности Пита

Эти индексы являются мерой равномерности между выборками. ^[68]

${\displaystyle E_{1}={\frac {I-I_{\min }}{I_{\max }-I_{\min }}}}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {I}{I_{\max }}}}$

где I — индекс разнообразия, I _max и I _min — максимальное и минимальное значения I между сравниваемыми образцами.

Коэффициент Левинджера

Левингер предложил коэффициент H , определяемый следующим образом:

${\displaystyle H={\sqrt {\frac {p_{\max }(1-p_{\min })}{p_{\min }(1-p_{\max })}}}}$

где p _max и p _min — максимальная и минимальная доли в выборке.

Индекс Тверского

Индекс Тверски ^[69] представляет собой асимметричную меру, лежащую между 0 и 1.

Для образцов А и Б индекс Тверски ( S ) равен

${\displaystyle S={\frac {|A\cap B|}{|A\cap B|+\alpha |A-B|+\beta |B-A|}}}$

Значения α и β произвольны. Установка значений α и β равными 0,5 дает коэффициент Дайса . Установка обоих значений в 1 дает коэффициент Танимото .

Также предложен симметричный вариант этого индекса. ^[70]

${\displaystyle S_{1}={\frac {|A\cap B|}{|A\cap B|+\beta \left(\alpha a+(1-\alpha )b\right)}}}$

где

${\displaystyle a=\min \left(|X-Y|,|Y-X|\right)}$

${\displaystyle b=\max \left(|X-Y|,|Y-X|\right)}$

Было предложено несколько подобных индексов.

Моностори и др. предложил индекс SymmetricSimilarity ^[71]

${\displaystyle SS(A,B)={\frac {|d(A)\cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$

где d ( X ) — некоторая мера , производная от  X.

Бернштейн и Зобель предложили индексы S2 и S3 ^[72]

${\displaystyle S2={\frac {|d(A)\cap d(B)|}{\min(|d(A)|,|d(B))|}}}$

${\displaystyle S3={\frac {2|d(A)\cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$

S3 — это просто двойной индекс SymmetricSimilarity. Оба связаны с коэффициентом Дайса.

Используемые метрики

Был предложен ряд метрик (расстояний между выборками).

Евклидово расстояние

Хотя это обычно используется в количественной работе, его также можно использовать и в качественной работе. Это определяется как

${\displaystyle d_{jk}={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(x_{ij}-x_{ik})^{2}}}}$

где d _jk — расстояние между x _ij и x _ik .

Расстояние Гауэра

Это определяется как

${\displaystyle GD={\frac {\Sigma _{i=1}^{n}w_{i}d_{i}}{\Sigma _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

где d _i — расстояние между i- ^ми образцами, а w _i — результат взвешивания на i- ^м расстоянии.

Расстояние Манхэттен

Хотя это чаще используется в количественной работе, его также можно использовать и в качественной работе. Это определяется как

${\displaystyle d_{jk}=\sum _{i=1}^{N}|x_{ij}-x_{ik}|}$

где d _jk — расстояние между x _ij и x _ik и || — абсолютное значение разницы между x _ij и x _ik .

Модифицированную версию манхэттенского расстояния можно использовать для нахождения нуля ( корня ) многочлена любой степени с помощью метода Лилля .

Расстояние Превости

Это связано с Манхэттенским расстоянием. Это было описано Превости и др. и использовался для сравнения различий между хромосомами . ^[73] Пусть P и Q — два набора r конечных вероятностных распределений. Пусть эти распределения имеют значения, которые разделены на k категорий. Тогда расстояние D _PQ равно

${\displaystyle D_{PQ}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{k}|p_{ji}-q_{ji}|}$

где r — количество дискретных распределений вероятностей в каждой популяции, k _j — количество категорий в распределениях P _j и Q _j , а p _ji (соответственно q _ji ) — теоретическая вероятность категории i в распределении P _j ( Q _j ) в популяции P ( Q ).

Его статистические свойства были исследованы Sanchez et al. ^[74] , которые рекомендовали процедуру начальной загрузки для оценки доверительных интервалов при тестировании различий между выборками.

Другие показатели

Позволять

${\displaystyle A=\sum x_{ij}}$

${\displaystyle B=\sum x_{ik}}$

${\displaystyle J=\sum \min(x_{ij},x_{jk})}$

где min( x , y ) — меньшее значение пары x и y .

Затем

${\displaystyle d_{jk}=A+B-2J}$

это Манхэттенское расстояние,

${\displaystyle d_{jk}={\frac {A+B-2J}{A+B}}}$

— расстояние Брея-Кёртиса,

${\displaystyle d_{jk}={\frac {A+B-2J}{A+B-J}}}$

- расстояние Жаккара (или Ружички) и

${\displaystyle d_{jk}=1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {J}{A}}+{\frac {J}{B}}\right)}$

расстояние Кульчинского.

Сходства между текстами

ХаКоэн-Кернер и др. предложили множество показателей для сравнения двух или более текстов. ^[75]

Порядковые данные

Если категории хотя бы порядковые , то можно вычислить ряд других индексов.

Лейк Д

Мера дисперсии Лейка ( D ) является одним из таких показателей. ^[76] Пусть существует K категорий, и пусть p _i равно f _i / N , где fi _— номер в i- ^й категории, и пусть категории расположены в порядке возрастания. Позволять

${\displaystyle c_{a}=\sum _{i=1}^{a}p_{i}}$

где а ≤ К. _ Пусть d _a = c _a, если c _a ⩽ 0,5, и 1 −  c _a ⩽ 0,5 в противном случае. Затем

${\displaystyle D=2\sum _{a=1}^{K}{\frac {d_{a}}{K-1}}}$

Нормализованная мера Герфиндаля

Это квадрат коэффициента вариации, разделенный на N  − 1, где N — размер выборки.

${\displaystyle H={\frac {1}{N-1}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}}$

где m — среднее значение, а s — стандартное отклонение.

Индекс конфликтогенности

Индекс потенциального конфликта (PCI) описывает соотношение баллов по обе стороны от центральной точки рейтинговой шкалы. ^[77] Для этого индекса требуются как минимум порядковые данные. Это соотношение часто отображается в виде пузырьковой диаграммы.

PCI использует порядковую шкалу с нечетным количеством рейтинговых баллов (от - n до + n ) с центром в 0. Он рассчитывается следующим образом.

${\displaystyle PCI={\frac {X_{t}}{Z}}\left[1-\left|{\frac {\sum _{i=1}^{r_{+}}X_{+}}{X_{t}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{r_{-}}X_{-}}{X_{t}}}\right|\right]}$

где Z знак равно 2 п , |·| – абсолютная величина (модуль), r ₊ – количество ответов на положительной стороне шкалы, r _– количество ответов на отрицательной стороне шкалы, X ₊ – ответы на положительной стороне шкалы , X _{− –} ответы на отрицательной стороне шкалы и

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{r_{+}}|X_{+}|+\sum _{i=1}^{r_{-}}|X_{-}|}$

Известно, что с PCI существуют теоретические трудности. PCI можно рассчитать только для шкал с нейтральной центральной точкой и равным количеством вариантов ответа по обе стороны от нее. Кроме того, равномерное распределение ответов не всегда дает среднюю точку статистики PCI, а скорее зависит от количества возможных ответов или значений шкалы. Например, пяти-, семи- и девятибалльная шкалы с равномерным распределением ответов дают ИКП 0,60, 0,57 и 0,50 соответственно.

Первая из этих проблем относительно незначительна, поскольку большинство порядковых шкал с четным числом ответов можно расширить (или уменьшить) на одно значение, чтобы получить нечетное количество возможных ответов. Если это необходимо, масштаб обычно можно отцентрировать. Вторую проблему решить труднее, и она может ограничить применимость PCI.

PCI был расширен ^[78]

${\displaystyle PCI_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{i}k_{i}k_{j}d_{ij}}{\delta }}}$

где K — количество категорий, k _i — число в i- ^й категории, d _ij — расстояние между i- ^й и i ^-й категориями, а δ — максимальное расстояние по шкале, умноженное на количество раз, которое оно может встречаются в выборке. Для выборки с четным количеством точек данных

${\displaystyle \delta ={\frac {N^{2}}{2}}d_{\max }}$

и для выборки с нечетным количеством точек данных

${\displaystyle \delta ={\frac {N^{2}-1}{2}}d_{\max }}$

где N — количество точек данных в выборке, а d _max — максимальное расстояние между точками на шкале.

Васке и др. предложить ряд возможных мер расстояния для использования с этим индексом. ^[78]

${\displaystyle D_{1}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|-1}$

если знаки (+ или -) r _i и r _j различаются. Если знаки одинаковые d _ij = 0.

${\displaystyle D_{2}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|}$

${\displaystyle D_{3}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|^{p}}$

где p — произвольное действительное число > 0.

${\displaystyle Dp_{ij}:d_{ij}=[|r_{i}-r_{j}|-(m-1)]^{p}}$

если знак ( r _i ) ≠ знак ( r _i ) и p — действительное число > 0. Если знаки одинаковы, то d _ij = 0. m — это D ₁ , D ₂ или D ₃ .

Разница между D ₁ и D ₂ состоит в том, что первый не учитывает нейтралы на расстоянии, а второй включает. Например, респонденты, набравшие −2 и +1, будут иметь дистанцию ​​2 при D ₁ и 3 при D ₂ .

Использование степени ( p ) для расстояний позволяет масштабировать экстремальные реакции. Эти различия можно подчеркнуть при p > 1 или уменьшить при p < 1.

В симуляциях с вариациями, полученными из равномерного распределения, PCI ₂ имеет симметричное унимодальное распределение. ^[78] Хвосты его распределения больше, чем у нормального распределения.

Васке и др. предложите использовать t-критерий для сравнения значений PCI между выборками, если PCI примерно нормально распределены.

Ван дер Эйк А

Эта мера представляет собой средневзвешенное значение степени согласия распределения частот. ^[79] A варьируется от −1 (совершенная бимодальность ) до +1 (совершенная унимодальность ). Это определяется как

${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$

где U — унимодальность распределения, S — количество категорий с ненулевой частотой, а K — общее количество категорий.

Значение U равно 1, если распределение имеет любую из трех следующих характеристик:

• все ответы относятся к одной категории
• ответы равномерно распределены по всем категориям
• ответы равномерно распределены между двумя или более смежными категориями, при этом остальные категории имеют нулевые ответы

При других распределениях данные необходимо разделить на «слои». Внутри слоя ответы либо равны, либо равны нулю. Категории не обязательно должны быть смежными. Вычисляется значение A для каждого слоя ( A _i ) и определяется средневзвешенное значение для распределения. Веса ( w _i ) для каждого слоя — это количество ответов в этом слое. В символах

${\displaystyle A_{\mathrm {overall} }=\sum w_{i}A_{i}}$

Равномерное распределение имеет A = 0: когда все ответы попадают в одну категорию A = +1.

Одна теоретическая проблема с этим индексом заключается в том, что он предполагает, что интервалы расположены одинаково. Это может ограничить его применимость.

Связанная статистика

Проблема с днем ​​рождения

Если в выборке n единиц и они случайным образом распределены по k категориям ( n ≤ k ), это можно считать вариантом задачи о дне рождения . ^[80] Вероятность ( p ) всех категорий, имеющих только одну единицу, равна

${\displaystyle p=\prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {i}{k}}\right)}$

Если c велико, а n мало по сравнению с k ^2/3 , то в хорошем приближении

${\displaystyle p=\exp \left({\frac {-n^{2}}{2k}}\right)}$

Это приближение следует из точной формулы следующим образом:

${\displaystyle \log _{e}\left(1-{\frac {i}{k}}\right)\approx -{\frac {i}{k}}}$

Оценка размера выборки

Для p = 0,5 и p = 0,05 соответственно могут быть полезны следующие оценки n :

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {k}}}$

${\displaystyle n=2.448{\sqrt {k}}\approx 2.5{\sqrt {k}}}$

Этот анализ можно распространить на несколько категорий. Для p = 0,5 и p 0,05 имеем соответственно

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{c_{i}}}}}}}$

${\displaystyle n\approx 2.5{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{c_{i}}}}}}}$

где c _i — размер i- ^й категории. Этот анализ предполагает, что категории независимы.

Если данные каким-либо образом упорядочены, то по крайней мере для одного события, происходящего в двух категориях, лежащих в пределах j категорий друг от друга, чем вероятность 0,5 или 0,05, требуется размер выборки ( n ) соответственно ^[81]

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {\frac {k}{2j+1}}}}$

${\displaystyle n\approx 2.5{\sqrt {\frac {k}{2j+1}}}}$

где k — количество категорий.

Проблема дня рождения-смерти

Существует ли связь между днями рождения и днями смерти, исследовали с помощью статистики ^[82]

${\displaystyle -\log _{10}\left({\frac {1+2d}{365}}\right),}$

где d — количество дней в году между днем ​​рождения и днем ​​смерти.

Индекс Рэнда

Индекс Рэнда используется для проверки того, согласуются ли две или более системы классификации с набором данных. ^[83]

Учитывая набор элементов и два раздела для сравнения, разбиение S на r подмножеств и разбиение S на подмножества , определите следующее : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=\{o_{1},\ldots ,o_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{r}\}}$ ${\displaystyle Y=\{Y_{1},\ldots ,Y_{s}\}}$

• ${\displaystyle a}$, количество пар элементов в том же подмножестве в и в том же подмножестве в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle b}$, количество пар элементов в, находящихся в разных подмножествах в и в разных подмножествах в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle c}$, количество пар элементов в одном и том же подмножестве в и в разных подмножествах в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle d}$, количество пар элементов, находящихся в разных подмножествах в и в одном и том же подмножестве в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Индекс Рэнда - - определяется как ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\frac {a+b}{a+b+c+d}}={\frac {a+b}{n \choose 2}}}$

Интуитивно можно рассматривать как количество соглашений между и и как количество разногласий между и . ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c+d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Скорректированный индекс Рэнда

Скорректированный индекс Рэнда представляет собой скорректированную версию индекса Рэнда. ^{[83] [84] [85]} Хотя индекс Рэнда может давать значение только от 0 до +1, скорректированный индекс Рэнда может давать отрицательные значения, если индекс меньше ожидаемого индекса. ^[86]

Таблица непредвиденных обстоятельств

Учитывая набор элементов и две группы или разделы ( например , кластеризации) этих точек, а именно и , перекрытие между и может быть суммировано в таблице сопряженности , где каждая запись обозначает количество общих объектов между и  : . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}\}}$ ${\displaystyle Y=\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{s}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left[n_{ij}\right]}$ ${\displaystyle n_{ij}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle n_{ij}=|X_{i}\cap Y_{j}|}$

Определение

Скорректированная форма индекса Рэнда, скорректированный индекс Рэнда, представляет собой

${\displaystyle {\text{AdjustedIndex}}={\frac {{\text{Index}}-{\text{ExpectedIndex}}}{{\text{MaxIndex}}-{\text{ExpectedIndex}}}},}$

более конкретно

${\displaystyle {\text{ARI}}={\frac {\sum _{ij}{\binom {n_{ij}}{2}}-\left.\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]\right/{\binom {n}{2}}}{{\frac {1}{2}}\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}+\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]-\left.\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]\right/{\binom {n}{2}}}}}$

где значения из таблицы сопряженности. ${\displaystyle n_{ij},a_{i},b_{j}}$

Поскольку знаменателем является общее количество пар, индекс Рэнда представляет собой частоту возникновения соглашений по общему количеству пар или вероятность того, что и согласятся на случайно выбранной паре. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Оценка индексов

Различные индексы дают разные значения вариации и могут использоваться для разных целей: некоторые из них используются и критикуются, особенно в социологической литературе.

Если кто-то хочет просто провести порядковые сравнения между выборками (является ли одна выборка более или менее разнообразной, чем другая), выбор IQV относительно менее важен, поскольку они часто дают один и тот же порядок.

Если данные порядковые, для сравнения образцов можно использовать метод ORDANOVA.

В некоторых случаях полезно не стандартизировать индекс, чтобы он работал от 0 до 1, независимо от количества категорий или выборок (Wilcox 1973, стр. 338), но обычно его стандартизируют таким образом.

Смотрите также

• АНОСИМ
• Гамма-индекс Бейкера
• Категориальные данные
• Индекс разнообразия
• Индекс Фаулкса-Мэллоуза
• Гамма Гудмана и Краскала
• Информационная энтропия
• Логарифмическое распределение
• ПЕРМАНОВА
• Метрика Робинсона – Фулдса
• Диаграмма Шепарда
• ПРОСТОЙ
• Статистическая дисперсия
• Коэффициент вариации
• Индекс Уиппла

Примечания

1. Это может произойти только в том случае, если количество дел кратно количеству категорий.
2. Freemen LC (1965) Элементарная прикладная статистика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, стр. 40–43.
3. Кендал MC, Стюарт А. (1958) Передовая теория статистики. Издательская компания Хафнер с. 46
4. Мюллер Дж. Э., Шюсслер К. П. (1961) Статистические рассуждения в социологии. Бостон: Компания Houghton Mifflin. стр. 177–179.
5. Уилкокс (1967), с.  ^{[ нужна страница ]} .
6. Кайзер HF (1968) «Показатель качества населения законодательного распределения». Обзор американской политической науки 62 (1) 208
7. Джоэл Гомбин (18 августа 2015 г.). «qualvar: первоначальный выпуск (версия v0.1)». Зенодо . дои : 10.5281/zenodo.28341.
8. Гиббс и Постон-младший (1975).
9. Либерсон (1969), с. 851.
10. IQV в xycoon
11. Хантер, PR; Гастон, Массачусетс (1988). «Числовой индекс дискриминационной способности систем типизации: применение индекса разнообразия Симпсона». J Clin Микробиол . 26 (11): 2465–2466. doi : 10.1128/jcm.26.11.2465-2466.1988. ПМК 266921 . ПМИД  3069867. 
12. Фридман В.Ф. (1925) Частота совпадений и их применение в криптоанализе. Технический документ. Кабинет начальника связи. Типография правительства США.
13. Джини CW (1912) Изменчивость и изменчивость, вклад в изучение статистических распределений и отношений. Studi Economico-Giuricici della R. Universita de Cagliari
14. Симпсон, Э.Х. (1949). «Измерение разнообразия». Природа . 163 (4148): 688. Бибкод : 1949Natur.163..688S. дои : 10.1038/163688a0 .
15. Бачи Р. (1956) Статистический анализ возрождения иврита в Израиле. В: Бачи Р. (редактор) Scripta Hierosolymitana, Том III, Иерусалим: Magnus press, стр. 179–247.
16. Мюллер Дж. Х., Шюсслер К. Ф. (1961) Статистические рассуждения в социологии. Бостон: Хоутон Миффлин
17. Гиббс, JP; Мартин, WT (1962). «Урбанизация, технологии и разделение труда: международные закономерности». Американский социологический обзор . 27 (5): 667–677. дои : 10.2307/2089624. JSTOR  2089624.
18. Либерсон (1969), с.  ^{[ нужна страница ]} .
19. Блау П. (1977) Неравенство и неоднородность. Свободная пресса, Нью-Йорк
20. Перри М., Кадер Г. (2005) Вариация как непохожесть. Статистика преподавания 27 (2) 58–60
21. Гринберг, Дж. Х. (1956). «Измерение языкового разнообразия». Язык . 32 (1): 109–115. дои : 10.2307/410659. JSTOR  410659.
22. Лотар Э.Х. (1978) Кандидатская диссертация. ^{[ нужна полная цитата ]}
23. Бергер, WH; Паркер, Флорида (1970). «Разнообразие планктонных фораминифер в глубоководных отложениях». Наука . 168 (3937): 1345–1347. Бибкод : 1970Sci...168.1345B. дои : 10.1126/science.168.3937.1345. PMID  17731043. S2CID  29553922.
24. Хилл, Миссури (1973). «Разнообразие и равномерность: объединяющие обозначения и их последствия». Экология . 54 (2): 427–431. дои : 10.2307/1934352. JSTOR  1934352.
25. Маргалеф Р. (1958) Временная последовательность и пространственная неоднородность фитопланктона. В: Перспективы морской биологии. Буззати-Траверсо (редактор) Univ Calif Press, Беркли, стр. 323–347.
26. Менхиник, EF (1964). «Сравнение показателей разнообразия некоторых видов и особей применительно к образцам полевых насекомых». Экология . 45 (4): 859–861. дои : 10.2307/1934933. JSTOR  1934933.
27. Курашкевич W (1951) Nakladen Wroclawskiego Towarzystwa Naukowego
28. Гиро П (1954) Статистические характеристики словарного запаса. Прессы Университетов Франции, Париж
29. Панас Э (2001) Обобщенный Torquist: Спецификация и оценка новой функции размера словарного текста. Дж. Квант Линг 8 (3) 233–252
30. Кемптон, РА; Тейлор, Л.Р. (1976). «Модели и статистика видового разнообразия». Природа . 262 (5571): 818–820. Бибкод : 1976Natur.262..818K. дои : 10.1038/262818a0. PMID  958461. S2CID  4168222.
31. Хатчесон К. (1970) Тест для сравнения разнообразия, основанный на формуле Шеннона. Дж. Тео Биол 29: 151–154.
32. Макинтош Р.П. (1967). Индекс разнообразия и связь некоторых концепций с разнообразием. Экология, 48(3), 392–404.
33. Фишер Р.А., Корбет А., Уильямс CB (1943) Связь между количеством видов и количеством особей в случайной выборке популяции животных. Школа животных 12: 42–58.
34. Анскомб (1950) Теория выборки распределений отрицательных биномиальных и логарифмических рядов. Биометрика 37: 358–382.
35. Стронг, WL (2002). «Оценка неравномерности численности видов внутри растительных сообществ и между ними». Общественная экология . 3 (2): 237–246. дои : 10.1556/comec.3.2002.2.9.
36. Камарго Дж. А. (1993) Должно ли доминирование увеличиваться с увеличением числа подчиненных видов в конкурентных взаимодействиях? Дж. Теор Биол 161 537–542
37. Смит, Уилсон (1996) ^{[ нужна полная цитата ]}
38. Булла, Л (1994). «Индекс равномерности и связанная с ним мера разнообразия». Ойкос . 70 (1): 167–171. дои : 10.2307/3545713. JSTOR  3545713.
39. Хорн, HS (1966). «Измерение« перекрытия »в сравнительных экологических исследованиях». Я Нат . 100 (914): 419–423. дои : 10.1086/282436. S2CID  84469180.
40. Сигел, Эндрю Ф (2006) «Кривые разрежения». Энциклопедия статистических наук 10.1002/0471667196.ess2195.pub2.
41. Касвелл Х (1976) Структура сообщества: анализ нейтральной модели. Эколь Моногр 46: 327–354.
42. Пулен, Р; Муйо, Д. (2003). «Специализация паразита с филогенетической точки зрения: новый индекс специфичности хозяина». Паразитология . 126 (5): 473–480. CiteSeerX 10.1.1.574.7432 . дои : 10.1017/s0031182003002993. PMID  12793652. S2CID  9440341. 
43. Тейл Х (1972) Статистический анализ декомпозиции. Амстердам: Издательская компания Северной Голландии>
44. Дункан О.Д., Дункан Б. (1955) Методологический анализ индексов сегрегации. Am Social Review, 20: 210–217.
45. Горард С., Тейлор С. (2002b) Что такое сегрегация? Сравнение мер с точки зрения «сильной» и «слабой» композиционной инвариантности. Социология, 36(4), 875–895.
46. Мэсси, DS; Дентон, Северная Каролина (1988). «Размеры жилищной сегрегации». Социальные силы . 67 (2): 281–315. дои : 10.1093/sf/67.2.281 .
47. Хатченс RM (2004) Одна мера сегрегации. Международное экономическое обозрение 45: 555–578.
48. Либерсон С (1981). «Асимметричный подход к сегрегации». В Пич С., Робинсон В., Смит С. (ред.). Этническая сегрегация в городах . Лондон: Крум Хелм. стр. 61–82.
49. Белл, W (1954). «Вероятностная модель для измерения экологической сегрегации». Социальные силы . 32 (4): 357–364. дои : 10.2307/2574118. JSTOR  2574118.
50. Ochiai A (1957) Зоогеографические исследования камолеоидных рыб, обитающих в Японии и соседних регионах. Bull Jpn Soc Sci Fish 22: 526–530
51. Кульчинский С (1927) Die Pflanzenassoziationen der Pieninen. Международный бюллетень Полонезской академии наук и литературы, Класс наук
52. Юл ГУ (1900) Об ассоциации атрибутов в статистике. Филос Транс Рой Сок
53. Линерт Г.А. и Спорер С.Л. (1982) Interkorrelationen seltner Symptome mittels Nullfeldkorrigierter YuleKoeffizienten. Psychologische Beitrage 24: 411–418.
54. Барони-Урбани, К; Бузер, М.В. (1976). «сходство двоичных данных». Систематическая биология . 25 (3): 251–259. дои : 10.2307/2412493. JSTOR  2412493.
55. Forbes SA (1907) О местном распространении некоторых рыб Иллинойса: очерк статистической экологии. Бюллетень Лаборатории естественной истории штата Иллинойс 7: 272–303.
56. Элрой Дж. (2015) Новый поворот в очень старом двоичном коэффициенте подобия. Экология 96 (2) 575-586
57. Карл Р. Хаусман и Дуглас Р. Андерсон (2012). Беседы о Пирсе: реальность и идеалы . Издательство Фордхэмского университета. п. 221. ИСБН 9780823234677.
58. Лэнс, Дж.Н.; Уильямс, WT (1966). «Компьютерные программы иерархической политетической классификации («анализа подобия»)». Компьютерный журнал . 9 (1): 60–64. дои : 10.1093/comjnl/9.1.60 .
59. Лэнс, Дж.Н.; Уильямс, WT (1967). «Классификационные программы смешанных данных I.) Агломеративные системы». Австралийский компьютерный журнал : 15–20.
60. Жаккар П (1902) Лоис цветочного распространения. Bulletin de la Societé Vaudoise des Sciences Naturelles 38:67-130
61. Арчер А.В. и Мэйплс К.Г. (1989) Реакция выбранных биномиальных коэффициентов на различную степень разреженности матрицы и на матрицы с известными взаимосвязями данных. Математическая геология 21: 741–753.
62. Морисита М (1959) Измерение дисперсии и анализ моделей распределения. Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю. Серия E. Biol 2: 215–235.
63. Ллойд М (1967) Средняя скученность. Дж Аним Экол 36: 1–30
64. Pedigo LP и Buntin GD (1994) Справочник по методам отбора проб членистоногих в сельском хозяйстве. CRC Бока-Ратон, Флорида
65. Морисита М (1959) Измерение дисперсии и анализ моделей распределения. Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю, Серия E Биология. 2: 215–235
66. Хорн, HS (1966). «Измерение «перекрытия» в сравнительных экологических исследованиях». Американский натуралист . 100 (914): 419–424. дои : 10.1086/282436. S2CID  84469180.
67. Смит-Гилл SJ (1975). «Цитофизиологические основы разрушительных пигментных паттернов у леопардовой лягушки Rana pipiens . II. Характерные для дикого типа и мутантных клеток паттерны». Дж Морфол . 146 (1): 35–54. дои : 10.1002/jmor.1051460103. PMID  1080207. S2CID  23780609.
68. Пит (1974) Измерения видового разнообразия. Анну Преподобный Ecol Syst 5: 285–307
69. Тверски, Амос (1977). «Признаки сходства» (PDF) . Психологический обзор . 84 (4): 327–352. дои : 10.1037/0033-295x.84.4.327.
70. Хименес С., Бесерра С., Гельбух Ядро SOFTCARDINALITY: улучшение перекрытия текста с помощью мер распределения для семантического текстового сходства. Вторая совместная конференция по лексической и вычислительной семантике (*SEM), Том 1: Материалы основной конференции и общая задача: семантическое текстовое сходство, стр. 194-201. 7–8 июня 2013 г., Атланта, Джорджия, США.
71. Моностори К., Финкель Р., Заславский А., Ходас Г. и Патке М. (2002) Сравнение методов обнаружения перекрытия. В: Материалы Международной конференции по вычислительной науке 2002 года. Конспекты лекций по информатике 2329: 51-60
72. Бернштейн Ю. и Зобель Дж. (2004) Масштабируемая система для идентификации производных документов. В: Материалы 11-й Международной конференции по обработке строк и поиску информации (SPIRE) 3246: 55-67.
73. Превости, А; Рибо, Г; Серра, Л; Агуаде, М; Баланья, Дж; Монклюс, М; Местрес, Ф (1988). «Колонизация Америки Drosophila subobscura: эксперимент в природных популяциях, подтверждающий адаптивную роль хромосомного инверсионного полиморфизма». Proc Natl Acad Sci США . 85 (15): 5597–5600. Бибкод : 1988PNAS...85.5597P. дои : 10.1073/pnas.85.15.5597 . ПМК 281806 . ПМИД  16593967. 
74. Санчес, А; Окана, Дж; Уцетб, Ф; Серрак, Л. (2003). «Сравнение генетических расстояний Превости». Журнал статистического планирования и выводов . 109 (1–2): 43–65. дои : 10.1016/s0378-3758(02)00297-5.
75. ХаКоэн-Кернер Ю, Тайеб А и Бен-Дрор Н (2010) Обнаружение простого плагиата в статьях по информатике. В: Материалы 23-й Международной конференции по компьютерной лингвистике, стр. 421-429.
76. Лейк Р. (1966) Мера порядкового консенсуса. Тихоокеанский социологический обзор 9 (2): 85–90
77. Манфредо М., Васке, Дж. Дж., Тил Т. Л. (2003) Индекс потенциала конфликта: графический подход к практическому значению исследования человеческого измерения. Человеческие измерения дикой природы 8: 219–228.
78. Васке Дж. Дж., Биман Дж., Баррето Х., Шелби Л. Б. (2010) Расширение и дальнейшая проверка индекса потенциального конфликта. Науки о досуге 32: 240–254.
79. Ван дер Эйк C (2001) Согласование измерений в упорядоченных рейтинговых шкалах. Качество и количество 35(3): 325–341
80. Фон Мизес Р. (1939) Uber Aufteilungs-und Besetzungs-Wahrcheinlichkeiten. Revue de la Facultd des Sciences de I'Universite d'stanbul NS 4: 145−163
81. Севастьянов Б.А. (1972) Предельный закон Пуассона для схемы сумм зависимых случайных величин. (пер. С. М. Рудольфера) Теория вероятностей и ее приложения, 17: 695−699
82. Хоаглин, округ Колумбия, Мостеллер, Ф. и Тьюки, Дж.В. (1985) Исследование таблиц данных, тенденций и форм, Нью-Йорк: Джон Уайли
83. WM Rand (1971). «Объективные критерии оценки методов кластеризации». Журнал Американской статистической ассоциации . 66 (336): 846–850. arXiv : 1704.01036 . дои : 10.2307/2284239. JSTOR  2284239.
84. Лоуренс Хьюберт и Фиппс Араби (1985). «Сравнение разделов». Журнал классификации . 2 (1): 193–218. дои : 10.1007/BF01908075. S2CID  189915041.
85. Нгуен Суан Винь, Жюльен Эппс и Джеймс Бейли (2009). «Информационные меры для кластерного сравнения: необходима ли поправка на случайность?» (PDF) . ICML '09: Материалы 26-й ежегодной международной конференции по машинному обучению . АКМ. стр. 1073–1080. Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2012 года.PDF.
86. Вагнер, Силке; Вагнер, Доротея (12 января 2007 г.). «Сравнение кластеров — обзор» (PDF) . Проверено 14 февраля 2018 г.

Рекомендации

• Гиббс, Джек П.; Постон-младший, Дадли Л. (март 1975 г.), «Разделение труда: концептуализация и соответствующие меры», Social Forces , 53 (3): 468–476, CiteSeerX  10.1.1.1028.4969 , doi : 10.2307/2576589, JSTOR  2576589

• Либерсон, Стэнли (декабрь 1969 г.), «Измерение разнообразия населения», American Sociological Review , 34 (6): 850–862, doi : 10.2307/2095977, JSTOR  2095977

• Суонсон, Дэвид А. (сентябрь 1976 г.), «Выборочное распределение и тест значимости различий в качественных вариациях», Social Forces , 55 (1): 182–184, doi : 10.2307/2577102, JSTOR  2577102

• Уилкокс, Аллен Р. (октябрь 1967 г.). Индексы качественной изменчивости (PDF) (Отчет). Архивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2007 г.

• Уилкокс, Аллен Р. (июнь 1973 г.). «Индексы качественного разнообразия и политических измерений». Западный политический ежеквартальный журнал . 26 (2): 325–343. дои : 10.2307/446831. JSTOR  446831.