Уравнение Липпмана–Швингера

Уравнение, используемое в задачах квантового рассеяния

Уравнение Липпмана –Швингера (названное в честь Бернарда Липпмана и Джулиана Швингера ^[1] ) является одним из наиболее часто используемых уравнений для описания столкновений частиц – или, точнее, рассеяния  – в квантовой механике . Оно может использоваться при рассеянии молекул, атомов, нейтронов, фотонов или любых других частиц и важно в основном в атомной, молекулярной и оптической физике , ядерной физике и физике элементарных частиц , а также для задач сейсмического рассеяния в геофизике . Оно связывает функцию рассеянной волны с взаимодействием, которое производит рассеяние (потенциал рассеяния), и, следовательно, позволяет вычислять соответствующие экспериментальные параметры ( амплитуду рассеяния и поперечные сечения ).

Наиболее фундаментальным уравнением для описания любого квантового явления, включая рассеяние, является уравнение Шредингера . В физических задачах это дифференциальное уравнение должно быть решено с вводом дополнительного набора начальных и/или граничных условий для конкретной изучаемой физической системы. Уравнение Липпмана–Швингера эквивалентно уравнению Шредингера плюс типичные граничные условия для задач рассеяния. Чтобы встроить граничные условия, уравнение Липпмана–Швингера должно быть записано в виде интегрального уравнения . ^[2] Для задач рассеяния уравнение Липпмана–Швингера часто более удобно, чем исходное уравнение Шредингера.

Общая форма уравнения Липпмана–Швингера такова (на самом деле ниже показаны два уравнения, одно для знака, а другое для знака): ^[3] ${\displaystyle +\,}$ ${\displaystyle -\,}$ $${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$$

Потенциальная энергия описывает взаимодействие между двумя сталкивающимися системами. Гамильтониан описывает ситуацию, в которой две системы находятся на бесконечном расстоянии друг от друга и не взаимодействуют. Его собственные функции — это и его собственные значения — это энергии . Наконец, — это математическая техническая особенность, необходимая для вычисления интегралов, необходимых для решения уравнения. Это следствие причинности, гарантирующее, что рассеянные волны состоят только из исходящих волн. Это становится строгим благодаря принципу предельного поглощения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle \,}$ ${\displaystyle E\,}$ ${\displaystyle i\epsilon \,}$

Использование

Уравнение Липпмана–Швингера полезно в очень большом количестве ситуаций, связанных с рассеянием двух тел. Для трех или более сталкивающихся тел оно не работает хорошо из-за математических ограничений; вместо него можно использовать уравнения Фаддеева . ^[4] Однако существуют приближения, которые могут свести задачу многих тел к набору задач двух тел в различных случаях. Например, в столкновении электронов и молекул могут быть задействованы десятки или сотни частиц. Но явление можно свести к задаче двух тел, описав все потенциалы составляющих молекул частиц вместе с псевдопотенциалом . [ ^5] В этих случаях можно использовать уравнения Липпмана–Швингера. Конечно, основными мотивами этих подходов также являются возможность выполнения вычислений с гораздо меньшими вычислительными усилиями.

Вывод

Предположим, что гамильтониан можно записать как, где H ₀ — свободный гамильтониан (или, в более общем смысле, гамильтониан с известными собственными векторами). Например, в нерелятивистской квантовой механике H ₀ может быть $${\displaystyle H=H_{0}+V}$$ $${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$$

Интуитивно V — это энергия взаимодействия системы. Пусть есть собственное состояние H ₀ : $${\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .}$$

Теперь, если мы добавим сюда взаимодействие , уравнение Шредингера будет выглядеть так: ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .}$$

Теперь рассмотрим теорему Гельмана–Фейнмана , которая требует, чтобы собственные значения энергии гамильтониана непрерывно изменялись с непрерывными изменениями гамильтониана. Поэтому мы хотим, чтобы при . Наивным решением этого уравнения было бы , где обозначение 1/ A обозначает обратную величину A . Однако E − H ₀ является сингулярным , поскольку E является собственным значением H ₀ . Как описано ниже, эта сингулярность устраняется двумя различными способами, делая знаменатель слегка сложным: ${\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V\to 0}$ $${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .}$$ $${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .}$$

Вводя полный набор состояний свободных частиц, $${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{\beta }|\phi _{\beta }\rangle ,}$$

уравнение Шредингера превращается в интегральное уравнение. Предполагается, что состояния "in" (+) и "out" (−) также образуют базисы , в далеком прошлом и далеком будущем соответственно имеющие вид состояний свободных частиц, но являющиеся собственными функциями полного гамильтониана. Таким образом, наделяя их индексом, уравнение становится $${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi _{\alpha }\rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{(\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }^{(\pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle .}$$

Методы решения

С математической точки зрения уравнение Липпмана–Швингера в координатном представлении является интегральным уравнением типа Фредгольма . Его можно решить с помощью дискретизации . Поскольку оно эквивалентно дифференциальному стационарному уравнению Шредингера с соответствующими граничными условиями, его также можно решить численными методами для дифференциальных уравнений. В случае сферически симметричного потенциала его обычно решают с помощью парциального волнового анализа . Для высоких энергий и/или слабого потенциала его также можно решить пертурбативно с помощью рядов Борна . Метод, удобный также в случае физики многих тел, например, при описании атомных, ядерных или молекулярных столкновений, — это метод R-матрицы Вигнера и Айзенбуда. Другой класс методов основан на разделимом разложении потенциала или операторе Грина, подобно методу непрерывных дробей Горачека и Сасакавы. Очень важный класс методов основан на вариационных принципах, например, метод Швингера-Ланцоша, объединяющий вариационный принцип Швингера с алгоритмом Ланцоша . ${\displaystyle V}$

Интерпретация как состояния «вне» и «вне»

TheС-матричная парадигма

В формулировке S-матрицы физики элементарных частиц , которая была впервые предложена Джоном Арчибальдом Уилером и другими, ^[6] все физические процессы моделируются в соответствии со следующей парадигмой. ^[7]

Начинается с невзаимодействующего многочастичного состояния в далеком прошлом. Невзаимодействующее не означает, что все силы были выключены, в этом случае, например, протоны распались бы, а скорее, что существует гамильтониан без взаимодействия H ₀ , для которого связанные состояния имеют тот же спектр уровней энергии, что и фактический гамильтониан H . Это начальное состояние называется состоянием in . Интуитивно, оно состоит из элементарных частиц или связанных состояний, которые достаточно хорошо разделены, чтобы их взаимодействия друг с другом игнорирулись.

Идея заключается в том, что любой физический процесс, который мы пытаемся изучить, может быть смоделирован как процесс рассеяния этих хорошо разделенных связанных состояний. Этот процесс описывается полным гамильтонианом H , но как только он заканчивается, все новые элементарные частицы и новые связанные состояния снова разделяются, и мы находим новое невзаимодействующее состояние, называемое out state . S-матрица более симметрична относительности, чем гамильтониан, потому что она не требует выбора временных срезов для определения.

Эта парадигма позволяет вычислять вероятности всех процессов, которые мы наблюдали за 70 лет экспериментов на коллайдерах частиц с поразительной точностью. Но многие интересные физические явления явно не вписываются в эту парадигму. Например, если кто-то хочет рассмотреть динамику внутри нейтронной звезды, иногда он хочет знать больше, чем то, во что она в конечном итоге распадется. Другими словами, он может быть заинтересован в измерениях, которые не находятся в асимптотическом будущем. Иногда асимптотическое прошлое или будущее даже недоступны. Например, вполне возможно, что до Большого взрыва не было прошлого .

В 1960-х годах парадигма S-матрицы была возведена многими физиками в ранг фундаментального закона природы. В теории S-матрицы утверждалось, что любая величина, которую можно измерить, должна быть найдена в S-матрице для некоторого процесса. Эта идея была вдохновлена ​​физической интерпретацией, которую методы S-матрицы могли дать диаграммам Фейнмана, ограниченным массовой оболочкой , и привела к построению моделей двойного резонанса . Но она была очень спорной, поскольку отрицала справедливость квантовой теории поля, основанной на локальных полях и гамильтонианах.

Связь с Липпманом–Швингером

Интуитивно, слегка деформированные собственные функции полного гамильтониана H — это состояния in и out. Это невзаимодействующие состояния, которые напоминают состояния in и out в бесконечном прошлом и бесконечном будущем. ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \phi }$

Создание волновых пакетов

Эта интуитивная картина не совсем верна, поскольку является собственной функцией гамильтониана и поэтому в разное время отличается только фазой. Таким образом, в частности, физическое состояние не эволюционирует и поэтому не может стать невзаимодействующим. Эту проблему легко обойти, собрав и в волновые пакеты с некоторым распределением энергий по характерному масштабу . Принцип неопределенности теперь позволяет взаимодействиям асимптотических состояний происходить по временной шкале , и, в частности, больше не является немыслимым, что взаимодействия могут выключиться за пределами этого интервала. Следующий аргумент предполагает, что это действительно так. ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \hbar /\Delta E}$

Подставляя уравнения Липпмана–Швингера в определения и волновых пакетов , мы видим, что в данный момент времени разница между и волновыми пакетами задается интегралом по энергии E. $${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$$ $${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$$ ${\displaystyle \psi _{g}(t)}$ ${\displaystyle \phi _{g}(t)}$

Контурный интеграл

Этот интеграл можно оценить, определив волновую функцию над комплексной плоскостью E и замкнув контур E с помощью полуокружности, на которой волновые функции обращаются в нуль. Интеграл по замкнутому контуру можно затем оценить, используя интегральную теорему Коши , как сумму остатков на различных полюсах. Теперь мы покажем, что остатки приближаются к остаткам во времени , и поэтому соответствующие волновые пакеты равны на временной бесконечности. ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t\to \mp \infty }$

Фактически, для очень положительных времен t фактор в состоянии картины Шредингера заставляет замкнуть контур на нижней полуплоскости. Полюс в из уравнения Липпмана–Швингера отражает временную неопределенность взаимодействия, в то время как в весовой функции волновых пакетов отражает длительность взаимодействия. Оба эти вида полюсов возникают при конечных мнимых энергиях и, таким образом, подавляются при очень больших временах. Полюс в разности энергий в знаменателе находится на верхней полуплоскости в случае , и, таким образом, не лежит внутри интегрального контура и не вносит вклад в интеграл. Остаток равен волновому пакету. Таким образом, в очень поздние времена , идентифицируясь как асимптотическое невзаимодействующее состояние out . ${\displaystyle e^{-iEt}}$ ${\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$

Аналогично можно интегрировать волновой пакет, соответствующий в очень отрицательные моменты времени. В этом случае контур должен быть замкнут по верхней полуплоскости, что, следовательно, пропускает энергетический полюс , который находится в нижней полуплоскости. Затем обнаруживается, что волновые пакеты и равны в асимптотическом прошлом, идентифицируясь как асимптотическое невзаимодействующее в состоянии. ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$

Комплексный знаменатель Липпмана – Швингера.

Эта идентификация как асимптотических состояний является обоснованием для в знаменателе уравнений Липпмана–Швингера. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \pm \epsilon }$

Формула дляС-матрица

S -матрица определяется как внутреннее произведение асимптотических состояний a - го и b- го изображений Гейзенберга . Можно получить формулу, связывающую S -матрицу с потенциалом V , используя вышеприведенную стратегию контурного интеграла, но на этот раз меняя роли и . В результате контур теперь действительно выбирает энергетический полюс. Это можно связать с , если использовать S-матрицу, чтобы поменять местами два . Определив коэффициенты 's с обеих сторон уравнения, можно найти искомую формулу, связывающую S с потенциалом $${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}$$

В приближении Борна , соответствующем теории возмущений первого порядка , эту последнюю заменяют соответствующей собственной функцией свободного гамильтониана H ₀ , что дает выражение , которое полностью выражает S-матрицу через V и собственные функции свободного гамильтониана. ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$$

Эти формулы в свою очередь могут быть использованы для расчета скорости реакции процесса , которая равна ${\displaystyle b\to a}$ ${\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.}$

Гомогенизация

При использовании функции Грина уравнение Липпмана–Швингера имеет аналоги в теории гомогенизации (например, механике, проводимости, диэлектрической проницаемости).

Смотрите также

• Уравнение Бете–Солпитера

Ссылки

1. Липпманн и Швингер 1950, с. 469
2. Иоахайн 1983, стр. 112
3. Вайнберг 2002, стр. 111
4. Иоахайн 1983, стр. 517
5. Иоахайн 1983, стр. 576
6. Уиллер 1937, стр. 1107.
7. Вайнберг 2002, Раздел 3.1.

Библиография

• Joachain, CJ (1983). Квантовая теория столкновений. Северная Голландия . ISBN 978-0-7204-0294-0.
• Сакурай, Дж. Дж. (1994). Современная квантовая механика . Эддисон Уэсли . ISBN 978-0-201-53929-5.
• Вайнберг, С. (2002) [1995]. Основы . Квантовая теория полей. Том 1. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55001-7.

Оригинальные публикации

• Липпман, BA ; Швингер, Дж. (1950). "Вариационные принципы для процессов рассеяния. I". Phys. Rev. Lett . 79 (3): 469–480. Bibcode :1950PhRv...79..469L. doi :10.1103/PhysRev.79.469.
• Уилер, JA (1937). «О математическом описании легких ядер методом структуры резонирующих групп». Phys. Rev. 52 ( 11): 1107–1122. Bibcode :1937PhRv...52.1107W. doi :10.1103/PhysRev.52.1107.