В математике квазипериодическая функция — это функция , которая имеет определенное сходство с периодической функцией . [1] Функция является квазипериодической с квазипериодом, если , где — « более простая » функция, чем . Что значит « более простая » — неясно.
Простой случай (иногда называемый арифметическим квазипериодическим) имеет место, если функция подчиняется уравнению:
Другой случай (иногда называемый геометрическим квазипериодическим) — это случай, когда функция подчиняется уравнению:
Примером этого является тета-функция Якоби , где
показывает, что для фиксированного она имеет квазипериод ; она также периодична с периодом один. Другой пример дает сигма-функция Вейерштрасса , которая является квазипериодической в двух независимых квазипериодах, периодах соответствующей функции Вейерштрасса ℘ . Теорема Блоха утверждает, что собственные функции периодического уравнения Шредингера (или других периодических линейных уравнений) могут быть найдены в квазипериодической форме, а связанная форма квазипериодического решения для периодических линейных дифференциальных уравнений выражается теорией Флоке .
Функции с аддитивным функциональным уравнением
также называются квазипериодическими. Примером этого является дзета-функция Вейерштрасса , где
для z -независимого η, когда ω является периодом соответствующей функции Вейерштрасса ℘.
В частном случае, когда мы говорим, что f является периодической с периодом ω в решетке периодов .
Квазипериодические сигналы в смысле обработки звука не являются квазипериодическими функциями в определенном здесь смысле; вместо этого они имеют природу почти периодических функций, и с этой статьей следует ознакомиться. Более расплывчатое и общее понятие квазипериодичности имеет еще меньше общего с квазипериодическими функциями в математическом смысле.
Полезным примером является функция:
Если отношение A / B рационально , то оно будет иметь истинный период, но если A / B иррационально , то истинного периода не будет, а будет последовательность все более точных «почти» периодов.
