Факторпространство (линейная алгебра)

Векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств

В линейной алгебре фактор векторного пространства по подпространству — это векторное пространство , полученное «схлопыванием» до нуля. Полученное пространство называется факторпространством и обозначается (читай « mod » или « by »). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Определение

Формально конструкция выглядит следующим образом. [ ^1] Позвольте быть векторным пространством над полем и пусть быть подпространством . Мы определяем отношение эквивалентности на, утверждая, что если . То есть это связано с тем, можно ли получить одно из другого путем добавления элемента . Из этого определения можно сделать вывод, что любой элемент связан с нулевым вектором; точнее, все векторы из преобразуются в класс эквивалентности нулевого вектора. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Класс эквивалентности – или, в данном случае, смежный класс – часто обозначается ${\displaystyle x}$

${\displaystyle [x]=x+N}$

поскольку оно дано

${\displaystyle [x]=\{x+n:n\in N\}}$

Тогда фактор-пространство определяется как множество всех классов эквивалентности, индуцированных on . Скалярное умножение и сложение определены на классах эквивалентности в ^{[2] [3]} ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V/_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$для всех и ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}$.

Несложно проверить, что эти операции корректны (т.е. не зависят от выбора представителей ). Эти операции превращают фактор-пространство в векторное пространство с нулевым классом . ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0]}$

Отображение, которое соответствует классу эквивалентности, известно как фактор-отображение . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle [v]}$

Другими словами, факторпространство — это совокупность всех аффинных подмножеств , параллельных . ^[4] ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Примеры

Линии в декартовой плоскости

Пусть X = R2 — стандартная декартова плоскость , и пусть Y — прямая ^, проходящая через начало координат в X. Тогда фактор-пространство X / Y можно отождествить с пространством всех прямых из X , параллельных Y. То есть элементы множества X / Y являются линиями в X , параллельными Y. Обратите внимание, что точки вдоль любой такой линии будут удовлетворять отношению эквивалентности, поскольку их разностные векторы принадлежат Y . Это дает возможность геометрически визуализировать факторпространства. (Благодаря повторной параметризации этих линий фактор-пространство можно более условно представить как пространство всех точек вдоль линии, проходящей через начало координат, которая не параллельна Y . Аналогично, фактор-пространство для R ³ по линии, проходящей через начало координат, может снова быть представлено как набор всех сопараллельных прямых или, альтернативно, быть представлено как векторное пространство, состоящее из плоскости , которая пересекает линию только в начале координат.)

Подпространства декартова пространства

Другой пример — фактор R ⁿ по подпространству, натянутому на первые m стандартных базисных векторов . Пространство Rn состоит из всех n -наборов действительных чисел ( x1 _{, ...} , xn ⁾ . Подпространство, идентифицируемое как R ^m , состоит из всех n -кортежей таких, что последние n − m записей равны нулю: ( x ₁ , ..., x _m , 0, 0, ..., 0) . Два вектора из R ⁿ принадлежат одному и тому же классу эквивалентности по модулю подпространства тогда и только тогда, когда они идентичны в последних n - m координатах. Факторпространство Rn / Rm очевидным ^{образом} изоморфно Rn ⁻ m ^.​​​

Полиномиальное векторное пространство

Пусть — векторное пространство всех кубических многочленов над действительными числами. Тогда это фактор-пространство, где каждый элемент представляет собой набор, соответствующий многочленам, которые отличаются только квадратичным членом. Например, один элемент фактор-пространства равен , а другой элемент фактор-пространства равен . ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}}$

Общие подпространства

В более общем смысле, если V является (внутренней) прямой суммой подпространств U и W,

${\displaystyle V=U\oplus W}$

тогда фактор- пространство V / U естественно изоморфно W. ^[5]

Интегралы Лебега

Важным примером функционального фактор-пространства является Lp ^- пространство .

Характеристики

Существует естественный эпиморфизм V в фактор-пространство V / U , заданный отправкой x в его класс эквивалентности [ x ]. Ядром (или нулевым пространством) этого эпиморфизма является подпространство U . Эти отношения аккуратно резюмируются короткой точной последовательностью

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

Если U — подпространство V , размерность V / U называется коразмерностью U в V.​​ Поскольку базис V может быть построен из базиса A из U и базиса B из V / U путем добавления представителя каждого элемента B к A , размерность V представляет собой сумму размерностей U и V / U . . Если V конечномерно , отсюда следует , что коразмерность U в V равна разнице между размерностями V и U : ^{[6] [7]}

${\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

Пусть T  : V → W — линейный оператор . Ядро T , обозначаемое ker( T ), представляет собой множество всех x в V таких, что Tx = 0. Ядро является подпространством V. Первая теорема об изоморфизме векторных пространств гласит , что фактор-пространство V /ker( T ) изоморфно образу V в W. Непосредственным следствием для конечномерных пространств является теорема о ранге-пустоте : размерность V равна размерности ядра ( пустоту T ) плюс размерность изображения ( ранг T ) .

Коядро линейного оператора T  : V → W определяется как фактор-пространство W / im( T ).

Фактор банахова пространства по подпространству

Если X — банахово пространство , а M — замкнутое подпространство X , то фактор X / M снова является банаховым пространством. Факторпространство уже наделено структурой векторного пространства по конструкции предыдущего раздела. Определим норму на X / M формулой

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.}$

Примеры

Обозначим через C [0,1] банахово пространство непрерывных вещественнозначных функций на отрезке [0,1] с нормой sup . Обозначим подпространство всех функций f ∈ C [0,1] с f (0) = 0 через M . Тогда класс эквивалентности некоторой функции g определяется ее значением в точке 0, а фактор-пространство C [0,1]/ M изоморфно R .

Если X — гильбертово пространство , то фактор-пространство X / M изоморфно ортогональному дополнению к M.

Обобщение на локально выпуклые пространства

Фактор локально выпуклого пространства по замкнутому подпространству снова является локально выпуклым. ^[8] Действительно, предположим, что X локально выпукло, так что топология на X порождается семейством полунорм { p _α  | α ∈  A }, где A — набор индексов. Пусть M — замкнутое подпространство и определим полунормы q _α на X / M формулой

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).}$

Тогда X / M — локально выпуклое пространство, а топология на нем — фактортопология .

Если, кроме того, X метризуемо , то и X / M метризуемо . Если X — пространство Фреше , то и X / M тоже . ^[9]

Смотрите также

• Факторная группа
• Модуль коэффициентов
• Набор коэффициентов
• Факторпространство (топология)

Рекомендации

1. Халмос (1974), стр. 33-34, §§ 21-22.
2. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 9 § 1.2.4
3. Роман (2005) с. 75-76, гл. 3
4. Экслер (2015) с. 95, § 3.83
5. Халмос (1974) с. 34, § 22, Теорема 1
6. Экслер (2015) с. 97, § 3.89
7. Халмос (1974) с. 34, § 22, Теорема 2
8. Дьедонне (1976) с. 65, § 12.14.8
9. Дьедонне (1976) с. 54, § 12.11.3

Источники

• Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Дьедонне, Жан (1976), Трактат об анализе , том. 2, Академическое издательство , ISBN 978-0122155024
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Тексты для студентов по математике (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-90093-4.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-24766-1.