Разветвление (математика)

В геометрии ветвление — это «разветвление», то есть функция квадратного корня для комплексных чисел имеет две ветви , различающиеся знаком. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви собираются вместе), например, когда покрывающее отображение вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием слоев отображения.

В комплексном анализе

В комплексном анализе базовую модель можно принять как отображение z → z ⁿ в комплексной плоскости, вблизи z = 0. Это стандартная локальная картина в теории римановой поверхности ветвления порядка n . Это происходит, например, в формуле Римана-Гурвица для влияния отображений на род .

В алгебраической топологии

В покрывающем отображении характеристика Эйлера – Пуанкаре должна быть умножена на количество листов; поэтому разветвление может быть обнаружено путем некоторого исключения из него. Отображение z → z ⁿ показывает это как локальный шаблон: если мы исключим 0, глядя на 0 < | г | < 1, скажем, мы имеем (с точки зрения гомотопии ) круг , отображенный в себя n -й степенью отображения (характеристика Эйлера–Пуанкаре 0), но для всего круга характеристика Эйлера–Пуанкаре равна 1, n – 1. это «потерянные» точки, когда n листов собираются вместе в точке z = 0.

В геометрических терминах ветвление — это то, что происходит в коразмерности два (как в теории узлов и монодромии ); поскольку вещественная коразмерность два является комплексной коразмерностью один, локальный комплексный пример устанавливает образец для многомерных комплексных многообразий . В комплексном анализе листы не могут просто перегибаться по линии (одна переменная) или в общем случае иметь коразмерность в одно подпространство. Множество ветвления (локус ветвления в основании, набор двойной точки выше) будет на два действительных измерения ниже, чем окружающее многообразие , и поэтому не будет разделять его на две «стороны» локально — будут пути, проходящие вокруг локуса ветвления. , как в примере. В алгебраической геометрии над любым полем по аналогии это происходит и в алгебраической коразмерности один.

В алгебраической теории чисел

В алгебраических расширениях рациональных чисел

Ветвление в теории алгебраических чисел означает факторизацию простых идеалов в расширении, чтобы получить несколько повторяющихся простых идеальных факторов. А именно, пусть кольцо целых чисел поля алгебраических чисел и простой идеал поля . Для расширения поля мы можем рассмотреть кольцо целых чисел (которое является целочисленным замыканием в ) и идеал . Этот идеал может быть или не быть простым, но для конечного он имеет факторизацию на простые идеалы: ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $L/K$ ${\mathcal {O}}_{L}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $L$ ${\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$ ${\mathcal {O}}_{L}$ $[L:K]$

{\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p} }_{к}^{е_{к}}

где - различные простые идеалы . Тогда говорят, что он разветвляется в if for some ; в противном случае это ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathcal {O}}_{L}$ ${\mathfrak {p}}$ $L$ $e_{i}>1$ $я$ неразветвленный . Другими словами,разветвляется,еслииндекс ветвлениябольше единицы для некоторого. Эквивалентным условием являетсяналичие ненулевогонильпотентногоэлемента: он не является произведениемконечных полей. На аналогию со случаем римановой поверхности уже указывалиРихард ДедекиндиГенрих М. Веберв девятнадцатом веке. ${\mathfrak {p}}$ $L$ $e_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$

Разветвление кодируется относительным дискриминантом и относительным различием . Первый является идеалом и делится тогда и только тогда , когда некоторый идеал деления разветвлен. Последний является идеалом и делится с первичным идеалом именно тогда, когда разветвлен. $K$ $L$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathcal {O}}_{L}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathcal {O}}_{L}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathcal {O}}_{L}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

Ветвление является ручным , когда все индексы ветвления относительно просты с остатком, характерным для , в противном случае дикий . Это условие важно в теории модулей Галуа . Конечное этальное расширение дедекиндовой области в общем случае является ручным тогда и только тогда, когда след сюръективен. $e_{i}$ ${\mathfrak {p}}$ $Б/А$ $\operatorname {Tr}:B\to A$

На местных полях

Более детальный анализ ветвления в числовых полях можно провести с помощью расширений p-адических чисел , поскольку это локальный вопрос. В этом случае количественная мера ветвления определяется для расширений Галуа , в основном путем опроса, насколько далеко группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. Определена последовательность групп ветвления , материализующая (помимо прочего) дикое (неручное) ветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

По алгебре

В теории оценки теория ветвления оценок изучает множество расширений оценки поля K до поля расширения K. Это обобщает понятия теории алгебраических чисел, локальных полей и дедекиндовых областей.

В алгебраической геометрии

Соответствующее понятие неразветвленного морфизма существует и в алгебраической геометрии. Он служит для определения этальных морфизмов .

Пусть – морфизм схем. Носитель квазикогерентного пучка называется локусом ветвления , а образ локуса ветвления , называется локусом ветвления . Если мы говорим, что оно формально неразветвлено , а также имеет локально конечное представление, мы говорим, что оно неразветвлено (см. Вакиль 2017). $f:X\to Y$ $\Омега _{X/Y}$ $е$ $f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)$ $е$ $\Omega _{X/Y}=0$ $е$ $е$ $е$