В алгебраической геометрии , разделе математики , рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости , или, другими словами, рациональное многообразие размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из примерно 10 классов поверхностей в классификации комплексных поверхностей Энрикеса–Кодайры и были первыми поверхностями, которые были исследованы.
Каждая неособая рациональная поверхность может быть получена путем многократного раздутия минимальной рациональной поверхности . Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и поверхности Хирцебруха Σ r для r = 0 или r ≥ 2.
Инварианты: все плюрироды равны 0, а фундаментальная группа тривиальна.
где n равно 0 для проективной плоскости и 1 для поверхностей Хирцебруха и больше 1 для других рациональных поверхностей.
Группа Пикара является нечетной унимодулярной решеткой I 1, n , за исключением поверхностей Хирцебруха Σ 2 m , когда она является четной унимодулярной решеткой II 1,1 .
Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, такая, что q и P 2 (нерегулярность и второй плюригенус) оба равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энриквеса–Кодайры для идентификации рациональных поверхностей. Зариски (1958) доказал, что теорема Кастельнуово также справедлива для полей положительной характеристики.
Теорема Кастельнуово также подразумевает, что любая унирациональная комплексная поверхность рациональна, потому что если комплексная поверхность унирациональна, то ее нерегулярность и плюригенеры ограничены нерегулярностью и плюригенерами рациональной поверхности и, следовательно, все равны 0, так что поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 или больше не являются рациональными. В характеристике p > 0 Зарисский (1958) нашел примеры унирациональных поверхностей ( поверхностей Зарисского ), которые не являются рациональными.
Одно время было неясно, является ли рациональной комплексная поверхность, такая, что q и P 1 оба обращаются в нуль, но Федериго Энрикес нашел контрпример ( поверхность Энриквеса ) .