Настоящее дерево

В математике , действительные деревья (также называемые -деревьями ) представляют собой класс метрических пространств , обобщающих симплициальные деревья . Они естественным образом возникают во многих математических контекстах , в частности в геометрической теории групп и теории вероятностей . Они также являются простейшими примерами гиперболических пространств Громова . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение и примеры

Формальное определение

Треугольник на настоящем дереве

Метрическое пространство является действительным деревом, если оно является геодезическим пространством , в котором каждый треугольник является триподом. То есть для каждых трех точек существует точка такая, что геодезические отрезки пересекаются в отрезке и также . Это определение эквивалентно тому, чтобы быть «нуль-гиперболическим пространством» в смысле Громова (все треугольники являются «нуль-тонкими»). Действительные деревья также могут быть охарактеризованы топологическим свойством. Метрическое пространство является действительным деревом, если для любой пары точек все топологические вложения отрезка в такие, что имеют один и тот же образ (который тогда является геодезическим отрезком из в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,\rho \in X}$ ${\displaystyle c=x\wedge y}$ ${\displaystyle [\rho ,x],[\rho ,y]}$ ${\displaystyle [\rho ,c]}$ ${\displaystyle c\in [x,y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Простые примеры

• Если — связный граф с комбинаторной метрикой, то он является действительным деревом тогда и только тогда, когда он является деревом (т.е. не имеет циклов ). Такое дерево часто называют симплициальным деревом. Они характеризуются следующим топологическим свойством: действительное дерево является симплициальным тогда и только тогда, когда множество особых точек (точек, дополнение которых в имеет три или более связных компонент) замкнуто и дискретно в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Полученное следующим образом -дерево несимплициально. Начнем с интервала [ 0, 2] и для каждого положительного целого числа n приклеим интервал длины 1/ n к точке 1 − 1/ n в исходном интервале. Множество особых точек дискретно, но не замкнуто, поскольку 1 является обычной точкой в ​​этом -дереве. Приклеивание интервала к 1 приведет к замкнутому множеству особых точек за счет дискретности. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Парижская метрика превращает плоскость в настоящее дерево. Она определяется следующим образом: фиксируется начало координат , и если две точки находятся на одном луче из , их расстояние определяется как евклидово расстояние. В противном случае их расстояние определяется как сумма евклидовых расстояний этих двух точек до начала координат . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$
• Плоскость под метрикой Парижа является примером пространства-ежа , набора отрезков прямых, соединенных в общей конечной точке. Любое такое пространство является настоящим деревом.

Характеристика

Визуализация четырехточечного состояния и 0-гиперболичности. Зеленым:  ; синим: . ${\displaystyle (x,y)_{t}=(y,z)_{t}}$ ${\displaystyle (x,z)_{t}}$

Вот эквивалентные характеристики реальных деревьев, которые можно использовать в качестве определений:

1) (аналогично деревьям как графам) Действительное дерево — это геодезическое метрическое пространство , которое не содержит подмножества, гомеоморфного окружности. ^[1]

2) Действительное дерево — это связное метрическое пространство , которое имеет условие четырех точек ^[2] (см. рисунок): ${\displaystyle (X,d)}$

Для всех . ${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)+d(z,t)\leq \max[d(x,z)+d(y,t)\,;\,d(x,t)+d(y,z)]}$

3) Действительное дерево — это связное 0-гиперболическое метрическое пространство ^[3] (см. рисунок). Формально,

Для всех ${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle (x,y)_{t}\geq \min[(x,z)_{t}\,;\,(y,z)_{t}],}$

где обозначает произведение Громова и относительно , ​​то есть ${\displaystyle (x,y)_{t}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(d(x,t)+d(y,t)-d(x,y)\right).}$

4) (аналогично характеристике плоских деревьев по их контурному процессу). Рассмотрим положительное отклонение функции. Другими словами, пусть будет непрерывной действительной функцией и интервалом таким, что и для . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle e(a)=e(b)=0}$ ${\displaystyle e(t)>0}$ ${\displaystyle t\in ]a,b[}$

Для , , определим псевдометрику и отношение эквивалентности с помощью: ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle d_{e}(x,y):=e(x)+e(y)-2\min(e(z)\,;z\in [x,y]),}$

${\displaystyle x\sim _{e}y\Leftrightarrow d_{e}(x,y)=0.}$

Тогда факторпространство является реальным деревом. ^[3] Интуитивно, локальные минимумы экскурсии e являются родителями локальных максимумов . Другой визуальный способ построить реальное дерево из экскурсии — «нанести клей» под кривую e и «изогнуть» эту кривую, определив склеенные точки (см. анимацию). ${\displaystyle ([a,b]/\sim _{e}\,,\,d_{e})}$

Часть экскурсии и (в черном цвете), деформация (в вертикальном положении), представляющая «пляж» де ла курб, «коллаж» des Points d'une même classe d'équivalence, l'état Final est l'arbre reel associé à e .

Примеры

Реальные деревья часто в различных ситуациях оказываются пределами более классических метрических пространств.

броуновские деревья

Броуновское дерево ^[4] — это стохастический процесс, значение которого почти наверняка является (несимплициальным) вещественным деревом. Броуновские деревья возникают как пределы различных случайных процессов на конечных деревьях. ^[5]

Ультрапределы метрических пространств

Любой ультрапредел последовательности - гиперболических пространств с является действительным деревом. В частности, асимптотический конус любого гиперболического пространства является действительным деревом. ${\displaystyle (X_{i})}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}\to 0}$

Лимит групповых действий

Пусть будет группой . Для последовательности базовых -пространств существует понятие сходимости к базовому -пространству , предложенное М. Бествиной и Ф. Паулином. Когда пространства гиперболические, а действия неограничены, предел (если он существует) является вещественным деревом. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X_{i},*_{i},\rho _{i})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })}$

Простой пример получается, если взять , где — компактная поверхность, и универсальное накрытие с метрикой (где — фиксированная гиперболическая метрика на ). ${\displaystyle G=\pi _{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$

Это полезно для создания действий гиперболических групп на реальных деревьях. Такие действия анализируются с использованием так называемой машины Рипса . Особый интерес представляет изучение вырождения групп, действующих разрывно на реальном гиперболическом пространстве (это предшествовало работам Рипса, Бествины и Паулина и принадлежит Дж. Моргану и П. Шалену ^[7] ).

Алгебраические группы

Если — поле с ультраметрической оценкой , то построение Брюа–Титса — это действительное дерево. Оно симплициально тогда и только тогда, когда оценки дискретны. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(F)}$

Обобщения

Λ {\displaystyle \Лямбда} -деревья

Если — вполне упорядоченная абелева группа, то существует естественное понятие расстояния со значениями в (классические метрические пространства соответствуют ). Существует понятие -дерева ^[8] , которое восстанавливает симплициальные деревья, когда и вещественные деревья, когда . Была описана структура конечно представленных групп, действующих свободно на -деревьях. ^[9] В частности, такая группа действует свободно на некотором -дереве. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Реальные здания

Аксиомы для здания могут быть обобщены, чтобы дать определение реального здания. Они возникают, например, как асимптотические конусы симметричных пространств более высокого ранга или как здания Брюа-Титса групп более высокого ранга над полями значений.

Смотрите также

• Дендроид (топология)
• Пространство, разделенное на деревья

Ссылки

1. Чизвелл, Ян (2001). Введение в [лямбда]-деревья. Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-281-053-3. OCLC  268962256.
2. Питер Бунеман, Заметка о метрических свойствах деревьев , Журнал комбинаторной теории, B (17), стр. 48-50, 1974.
3. Эванс, Стеван Н. (2005). Вероятность и реальные деревья . Школа вероятностей Сен-Флера XXXV.
4. Олдос, Д. (1991), «Континуум случайного дерева I», Annals of Probability , 19 : 1–28, doi : 10.1214/aop/1176990534
5. Олдос, Д. (1991), «Континуальное случайное дерево III», Annals of Probability , 21 : 248–289
6. Бествина, Младен (2002), " -деревья в топологии, геометрии и теории групп", Справочник по геометрической топологии, Elsevier, стр. 55–91, ISBN ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 9780080532851
7. Шален, Питер Б. (1987), «Дендрология групп: введение», в Gersten, SM (ред.), Essays in Group Theory , Math. Sci. Res. Inst. Publ., т. 8, Springer-Verlag , стр. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, МР  0919830
8. Чизвелл, Ян (2001), Введение в Λ-деревья , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 981-02-4386-3, г-н  1851337
9. О. Харлампович, А. Мясников, Д. Сербин, Действия, функции длины и неархимедовы слова IJAC 23, № 2, 2013.{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)