Закон взаимности

Математический закон, обобщение квадратичной взаимности.

В математике закон взаимности представляет собой обобщение закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичная взаимность, определяет, когда неприводимый полином распадается на линейные члены при уменьшении mod . То есть он определяет, для каких простых чисел выполняется соотношение ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p}){\text{ }}({\text{mod }}p)}$

держит. Для общего закона взаимности ^{[1] pg 3} он определяется как правило, определяющее, какие простые числа полинома разбиваются на линейные множители, обозначаемые . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}}$ ${\displaystyle {\text{Spl}}\{f(x)\}}$

Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, обнаруженные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом n-й степени по модулю другого простого числа, и давали соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности так, что произведение символов вычета нормы Гильберта ( a , b / p ) по p , принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина из идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиально на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Закон взаимности названий был придуман Лежандром в его публикации 1785 года Recherches d'analyse indéterminée ^[2] , потому что нечетные простые числа совершают возвратно-поступательные движения или нет в смысле квадратичной взаимности, указанной ниже, в соответствии с их классами вычетов . Такое возвратно-поступательное поведение не является хорошим обобщением, в отличие от эквивалентного поведения расщепления. Закон взаимности имен до сих пор используется в более общем контексте расщеплений. ${\displaystyle {\bmod {4}}}$

Квадратичная взаимность

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности гласит:

для положительных нечетных простых чисел имеем ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Используя определение символа Лежандра, это эквивалентно более элементарному утверждению об уравнениях.

Для положительных нечетных простых чисел разрешимость for определяет разрешимость for и наоборот по сравнительно простому критерию, является ли это или . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle n^{2}-p\equiv 0{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}-q\equiv 0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

Согласно факторной теореме и поведению степеней при факторизации разрешимость таких квадратных уравнений эквивалентна расщеплению ассоциированных квадратных многочленов по кольцу вычетов на линейные множители. В этой терминологии закон квадратичной взаимности формулируется следующим образом.

Для положительных нечетных простых чисел расщепление многочлена по -остаткам определяет расщепление многочлена по -остаткам и наоборот через величину . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle x^{2}-p}$ ${\displaystyle {\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}-q}$ ${\displaystyle {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}\in \{\pm 1\}}$

Это устанавливает мост от названия, обозначающего возвратно-поступательное поведение простых чисел, введенное Лежандром, к поведению расщепления полиномов, используемых в обобщениях.

Кубическая взаимность

Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β первичны (простые числа, конгруэнтные 2 по модулю 3), то

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

Квартальная взаимность

В терминах символа вычета четвертой степени закон взаимности четвертой степени для гауссовых целых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) ³ ) гауссовскими простыми числами, то

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Октическая взаимность

взаимность Эйзенштейна

Предположим, что ζ — корень из единицы некоторого нечетного простого числа . Степенной характер — это степень ζ такая, что ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

для любого простого идеала из Z [ζ]. Он распространяется на другие идеалы посредством мультипликативности. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}}$

для любого целого рационального числа, взаимно простого с и α, любого элемента из Z [ζ], который взаимно прост с a и и конгруэнтен целому рациональному модулю (1–ζ) ² . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

Куммер взаимность

Предположим, что ζ — корень l -й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Поскольку l регулярен, мы можем уникальным образом распространить символ {} на идеалы, так что

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\}}$где n — некоторое целое число, простое с l такое, что p ⁿ является главным.

Закон взаимности Куммера гласит, что

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\}}$

для p и q любые различные простые идеалы группы Z [ζ], отличные от (1–ζ).

Гильбертова взаимность

С точки зрения символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел гласит, что

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

где произведение находится по всем конечным и бесконечным местам. Для рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы убедиться в этом, возьмем a и b как различные нечетные простые числа. Тогда закон Гильберта принимает вид: Но ( p , q ) _p равно символу Лежандра, ( p , q ) _∞ равно 1, если один из p и q положителен, и –1 в противном случае, и ( p , q ) ₂ равно (–1 ) ^{( п –1)( q –1)/4} . Таким образом, для p и q положительных нечетных простых чисел закон Гильберта является законом квадратичной взаимности. ${\displaystyle (p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1}$

Артин взаимность

На языке идел закон взаимности Артина для конечного расширения L / K утверждает, что отображение Артина из группы классов иделей C _K в абелианизацию Gal( L / K ) ^ab группы Галуа исчезает на N _{L / K} ( C _L ) и индуцирует изоморфизм

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}}.}$

Хотя это и не сразу очевидно, из закона взаимности Артина легко вытекают все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям L / K . Например, в частном случае, когда K содержит корни n-й степени из единицы и L = K [ a ^{1/ n} ] является расширением Куммера K , из того факта, что отображение Артина исчезает на N _{L / K} ( CL ₎ , следует Закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.

Местная взаимность

Хассе ввел локальный аналог закона взаимности Артина, названный локальным законом взаимности. Одна из его форм утверждает, что для конечного абелева расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом из на группу Галуа . ${\displaystyle K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })}$ ${\displaystyle Gal(L/K)}$

Явные законы взаимности

Чтобы получить классический закон взаимности из закона взаимности Гильберта Π( a , b ) _p =1, нужно знать значения ( a , b ) _p для p , делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.

Законы взаимности власти

Степенной закон взаимности может быть сформулирован как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как ^[3]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}\ .}$

Законы рациональной взаимности

Рациональный закон взаимности формулируется в терминах целых рациональных чисел без использования корней из единицы.

Закон взаимности Шольца

Шимура взаимность

Закон взаимности Вейля

Взаимность Ленглендса

Программа Ленглендса включает несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL ₁ влекут за собой закон взаимности Артина.

Закон взаимности Ямамото

Закон взаимности Ямамото — это закон взаимности, связанный с числами классов полей квадратичных чисел.

Смотрите также

• Девятая проблема Гильберта
• Теорема Стэнли взаимности

Рекомендации

1. Хирамацу, Тоёкадзу; Сайто, Сэйкен (4 мая 2016 г.). Введение в неабелеву теорию полей классов. Серия по теории чисел и ее приложениям. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/10096. ISBN 978-981-314-226-8.
2. Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 281. Берлин: Шпрингер. п. 152ф. дои : 10.1007/978-3-642-52244-4. ISBN 3-540-15295-4.
3. Нойкирх (1999) стр.415

• Фрей, Гюнтер (1994), «Закон взаимности от Эйлера до Эйзенштейна», в книге Чикара, Сасаки (ред.), Пересечение истории и математики. Доклады, представленные на симпозиуме по истории математики, проходившем в Токио, Япония, 31 августа - 1 сентября 1990 г., Sci. Сети Студ., вып. 15, Базель: Биркхойзер, стр. 67–90, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1972-12997-5 , ISBN. 9780817650292, МР  0308080, Збл  0818.01002
• Гильберт, Дэвид (1897), «Die Theorie der алгебраишен Zahlkörper», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03545-0, ISBN 978-3-540-62779-1, МР  1646901
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, МР  1761696, Збл  0949.11002
• Леммермейер, Франц, Законы взаимности. От Куммера до Гильберта
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Збл  0956.11021
• Степанов, С.А. (2001) [1994], «Законы взаимности», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайман, Б.Ф. (1972), «Что такое закон взаимности?», Amer. Математика. Ежемесячно , 79 (6): 571–586, номер номера : 10.2307/2317083, JSTOR  2317083, MR  0308084.. Поправка, там же. 80 (1973), 281.

Обзорные статьи

• Законы взаимности и представления Галуа: недавние открытия