Томографическая реконструкция

Оценить свойства объекта по конечному числу проекций

Томографическая реконструкция: проекция, обратная проекция и фильтрованная обратная проекция

Томографическая реконструкция — это тип многомерной обратной задачи , где задача состоит в том, чтобы получить оценку конкретной системы из конечного числа проекций . Математическая основа для томографической визуализации была заложена Иоганном Радоном . Известным примером приложений является реконструкция компьютерной томографии (КТ), где поперечные изображения пациентов получаются неинвазивным способом. Недавние разработки показали, что преобразование Радона и его обратное используются для задач, связанных с реалистичной вставкой объектов, необходимых для тестирования и оценки использования компьютерной томографии в сфере безопасности аэропортов . ^[1]

В данной статье рассматриваются в целом методы реконструкции для всех видов томографии , однако некоторые термины и физические описания относятся непосредственно к реконструкции рентгеновской компьютерной томографии.

Представляем формулу

Рисунок 1: Геометрия параллельного пучка, используемая в томографии и томографической реконструкции. Каждая проекция, полученная в результате томографии под определенным углом, состоит из набора линейных интегралов через объект.

Полученное томографическое изображение с пластикового фантома черепа. Проецируемые рентгеновские лучи отчетливо видны на этом срезе, полученном с помощью КТ-сканирования, как артефакты изображения из-за ограниченного количества проекционных срезов по углам.

Проекция объекта, полученная в результате процесса томографического измерения под заданным углом , состоит из набора линейных интегралов (см. рис. 1). Набор из многих таких проекций под разными углами, организованных в 2D, называется синограммой (см. рис. 3). В рентгеновской КТ линейный интеграл представляет собой полное затухание пучка рентгеновских лучей при его прохождении по прямой линии через объект. Как упоминалось выше, полученное изображение представляет собой 2D (или 3D) модель коэффициента затухания . То есть, мы хотим найти изображение . Самый простой и легкий способ визуализировать метод сканирования - это система параллельной проекции , которая использовалась в первых сканерах. Для этого обсуждения мы рассматриваем данные, которые должны быть собраны как серия параллельных лучей в позиции , через проекцию под углом . Это повторяется для различных углов. Затухание происходит экспоненциально в ткани: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

где - коэффициент затухания как функция положения. Поэтому, как правило, полное затухание луча в положении , на проекции под углом , задается линейным интегралом: ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

Используя систему координат рисунка 1, значение , на которое будет проецироваться точка под углом , определяется по формуле: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

Таким образом, уравнение выше можно переписать как

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

где представляет и является дельта-функцией Дирака . Эта функция известна как преобразование Радона (или синограмма ) двумерного объекта. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle \delta ()}$

Преобразование Фурье проекции можно записать как

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$где ^[2] ${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$представляет собой срез двумерного преобразования Фурье под углом . Используя обратное преобразование Фурье , можно легко вывести формулу обратного преобразования Радона. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

где — производная преобразования Гильберта ${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$ ${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

Теоретически обратное преобразование Радона даст исходное изображение. Теорема о проекционном сечении говорит нам, что если бы у нас было бесконечное число одномерных проекций объекта, взятых под бесконечным числом углов, мы могли бы идеально реконструировать исходный объект, . Однако на практике будет доступно лишь конечное число проекций. ${\displaystyle f(x,y)}$

Предполагая, что имеет эффективный диаметр и желаемое разрешение равно , практическое правило для количества проекций, необходимых для реконструкции, равно ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{s}}$ ${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

Алгоритмы реконструкции

Практические алгоритмы реконструкции были разработаны для реализации процесса реконструкции трехмерного объекта по его проекциям. ^{[3] [2]} Эти алгоритмы разработаны в значительной степени на основе математики рентгеновского преобразования , статистических знаний о процессе получения данных и геометрии системы визуализации данных.

Алгоритм реконструкции в области Фурье

Реконструкция может быть выполнена с использованием интерполяции. Предположим, что проекции генерируются под равноотстоящими углами, каждая из которых дискретизируется с одинаковой частотой. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для каждой проекции дает выборку в частотной области. Объединение всех частотно-дискретизированных проекций генерирует полярный растр в частотной области. Полярный растр разрежен, поэтому интерполяция используется для заполнения неизвестных точек ДПФ, а реконструкция может быть выполнена с помощью обратного дискретного преобразования Фурье . ^[4] Производительность реконструкции может быть улучшена путем разработки методов изменения разреженности полярного растра, что способствует эффективности интерполяции. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Например, концентрический квадратный растр в частотной области можно получить, изменив угол между каждой проекцией следующим образом:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

где - наивысшая частота, подлежащая оценке. ${\displaystyle R_{0}}$

Концентрический квадратный растр повышает вычислительную эффективность, позволяя всем позициям интерполяции находиться на прямоугольной решетке DFT. Кроме того, он уменьшает ошибку интерполяции. ^[4] Тем не менее, алгоритм преобразования Фурье имеет недостаток, заключающийся в создании изначально шумного вывода.

Алгоритм обратной проекции

В практике реконструкции томографических изображений часто используется стабилизированная и дискретизированная версия обратного преобразования Радона, известная как алгоритм фильтрованной обратной проекции . ^[2]

При использовании дискретной системы обратное преобразование Радона равно

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

где — угловое расстояние между проекциями, — ядро ​​Радона с частотной характеристикой . ${\displaystyle \Delta \theta }$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle |\omega |}$

Название «обратная проекция» происходит от того факта, что одномерная проекция должна быть отфильтрована одномерным ядром Радона (обратная проекция) для получения двумерного сигнала. Используемый фильтр не содержит усиления постоянного тока, поэтому добавление смещения постоянного тока может быть желательным. Реконструкция с использованием обратной проекции обеспечивает лучшее разрешение, чем метод интерполяции, описанный выше. Однако он вызывает больший шум, поскольку фильтр склонен усиливать высокочастотный контент.

Алгоритм итеративной реконструкции

Итеративный алгоритм требует больших вычислительных затрат, но позволяет включать априорную информацию о системе . ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$

Пусть — число проекций, а — оператор искажения для -й проекции, взятой под углом . — набор параметров для оптимизации преобразования итераций. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

Реконструкция веерного пучка Shepp-Logan Phantom с различным расстоянием между датчиками. Меньшее расстояние между датчиками позволяет выполнить более тонкую реконструкцию. Рисунок был создан с помощью MATLAB.

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

Альтернативным семейством алгоритмов рекурсивной томографической реконструкции являются алгебраические методы реконструкции и итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия .

Реконструкция веерного пучка

Использование неколлимированного веерного пучка распространено, поскольку коллимированный пучок излучения получить сложно. Веерные пучки будут генерировать ряды линейных интегралов, не параллельных друг другу, в качестве проекций. Система веерного пучка требует 360-градусного диапазона углов, что накладывает механические ограничения, но позволяет сократить время получения сигнала, что может быть выгодно в определенных условиях, например, в области медицины. Обратная проекция следует аналогичной двухэтапной процедуре, которая дает реконструкцию путем вычисления взвешенной суммы обратных проекций, полученных из отфильтрованных проекций.

Реконструкция глубокого обучения

Влияние шума Пуассона на реконструкцию с помощью глубокого обучения, когда шум Пуассона приводит к тому, что U-Net не может реконструировать существующий высококонтрастный объект, похожий на повреждение.

Методы глубокого обучения широко применяются в настоящее время для реконструкции изображений и достигли впечатляющих результатов в различных задачах реконструкции изображений, включая шумоподавление с низкой дозой, реконструкцию разреженного изображения, томографию с ограниченным углом и уменьшение металлических артефактов. Отличный обзор можно найти в специальном выпуске ^[5] IEEE Transaction on Medical Imaging. Одна группа алгоритмов реконструкции с глубоким обучением применяет нейронные сети постобработки для достижения реконструкции изображения в изображение, где входные изображения реконструируются обычными методами реконструкции. Уменьшение артефактов с использованием U-Net в томографии с ограниченным углом является таким примером применения. ^[6] Однако в изображении, реконструированном таким полностью управляемым данными методом, [7] как показано на рисунке, могут возникать неправильные структуры, ^[7] как показано на рисунке. Поэтому интеграция известных операторов в архитектуру проектирования нейронных сетей представляется полезной, как описано в концепции точного обучения. ^[8] Например, прямая реконструкция изображения из проекционных данных может быть изучена с помощью структуры отфильтрованной обратной проекции. ^[9] Другим примером является построение нейронных сетей путем развертывания итеративных алгоритмов реконструкции. ^[10] За исключением точного обучения, использование традиционных методов реконструкции с предварительной реконструкцией на основе глубокого обучения ^[11] также является альтернативным подходом к улучшению качества изображения реконструкции на основе глубокого обучения.

Программное обеспечение для томографической реконструкции

Томографические системы имеют значительную изменчивость в своих приложениях и геометрии (расположение источников и детекторов). Эта изменчивость создает потребность в очень специфических, адаптированных реализациях алгоритмов обработки и реконструкции. Таким образом, большинство производителей КТ предоставляют свое собственное фирменное программное обеспечение. Это делается не только для защиты интеллектуальной собственности, но также может быть предписано государственным регулирующим органом. Независимо от этого, существует ряд универсальных пакетов программного обеспечения для томографической реконструкции, которые были разработаны за последние пару десятилетий, как коммерческих, так и с открытым исходным кодом.

Большинство коммерческих программных пакетов, доступных для покупки, фокусируются на обработке данных для настольных систем конусно-лучевой КТ. Некоторые из этих программных пакетов включают Volume Graphics, InstaRecon, iTomography, Livermore Tomography Tools (LTT) и Cone Beam Software Tools (CST).

Некоторые заслуживающие внимания примеры программного обеспечения для реконструкции с открытым исходным кодом включают: Reconstruction Toolkit (RTK), ^[12] CONRAD, ^[13] TomoPy, ^[14] ASTRA toolbox, ^{[15] [16]} PYRO-NN, ^[17] ODL, ^[18] TIGRE, ^[19] и LEAP. ^[20]

Галерея

В галерее показан полный процесс простой объектной томографии и последующей томографической реконструкции на основе ART.

• 
  Рис. 2: Фантомный объект , два угловых квадрата.
• 
  Рис. 3: Синограмма фантомного объекта (рис. 2), полученная в результате томографии. Было сделано 50 проекционных срезов под углом 180 градусов, выборка осуществлялась на равном расстоянии (лишь по совпадению ось x отмечает смещение на -50/50 единиц).
• Рис.4: Томографическая реконструкция синограммы рис.3 на основе ART , представленная в виде анимации в процессе итеративной реконструкции. Исходный объект может быть приблизительно реконструирован, поскольку полученное изображение имеет некоторые визуальные артефакты .

Смотрите также

• Операция компьютерной томографии#Томографическая реконструкция
• Реконструкция конусного луча
• Промышленная компьютерная томография
• Промышленные томографические системы plc

Ссылки

1. Najla Megherbi; Toby P. Breckon; Greg T. Flitton; Andre Mouton (октябрь 2013 г.). "Radon Transform based Metal Artefacts Generation in 3D Threat Image Projection" (PDF) . Proc. SPIE Optics and Photonics for Counterterrorism, Crime Fighting and Defence . Vol. 8901. SPIE. pp. 1–7. doi :10.1117/12.2028506. S2CID  14001672 . Получено 5 ноября 2013 г. .
2. Даджен и Мерсеро (1984). Многомерная цифровая обработка сигналов . Prentice-Hall.
3. Герман, Г.Т., Основы компьютерной томографии: Реконструкция изображений из проекций, 2-е издание, Springer, 2009
4. R. Mersereau, A. Oppenheim (1974). «Цифровая реконструкция многомерных сигналов по их проекциям». Труды IEEE . 62 (10): 1319–1338. doi :10.1109/proc.1974.9625. hdl : 1721.1/13788 .
5. Ван, Ге; Йе, Чон Чу; Мюллер, Клаус; Фесслер, Джеффри А. (2018). «Реконструкция изображений — новый рубеж машинного обучения». IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1289–1296. doi :10.1109/TMI.2018.2833635. PMID  29870359. S2CID  46931303.
6. Gu, Jawook; Ye, Jong Chul (2017). Многомасштабное остаточное обучение вейвлет-области для реконструкции КТ с ограниченным углом . Fully3D. С. 443–447.
7. Исин Хуан; Тобиас Вюрфл; Катарина Брейнингер; Лин Лю; Гюнтер Лаурич; Андреас Майер (2018). Некоторые исследования надежности глубокого обучения в ограниченно-угловой томографии . MICCAI. doi :10.1007/978-3-030-00928-1_17.
8. Майер, Андреас К; Сибен, Кристофер; Стимпель, Бернхард; Вюрфл, Тобиас; Хоффманн, Матис; Шебеш, Франк; Фу, Вайлин; Милл, Леонид; Клинг, Лассе; Кристиансен, Силке (2019). «Обучение с известными операторами снижает максимальные границы ошибок». Nature Machine Intelligence . 1 (8): 373–380. arXiv : 1907.01992 . doi :10.1038/s42256-019-0077-5. PMC 6690833 . PMID  31406960. 
9. Тобиас Вюрфл; Матис Хоффманн; Винсент Кристлейн; Катарина Брейнингер; Исин Хуан; Матиас Унберат; Андреас Майер (2018). «Глубокое обучение компьютерной томографии: изучение весов проекционной области из области изображения в задачах с ограниченным углом». Труды IEEE по медицинской визуализации . 37 (6): 1454–1463. doi : 10.1109/TMI.2018.2833499. PMID  29870373. S2CID  46935914.
10. J. Adler; O. Öktem (2018). «Изученная первично-двойная реконструкция». IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1322–1332. arXiv : 1707.06474 . doi : 10.1109/TMI.2018.2799231. PMID  29870362. S2CID  26897002.
11. Исин Хуан; Александр Пройс; Гюнтер Лаурич; Майкл Манхарт; Сяолинь Хуан; Андреас Майер (2019). Согласованное с данными снижение артефактов для томографии с ограниченным углом с использованием предварительного глубокого обучения . Машинное обучение для реконструкции медицинских изображений. arXiv : 1908.06792 . doi : 10.1007/978-3-030-33843-5_10.
12. Набор инструментов для реконструкции (RTK)
13. Майер, Андреас; Хофманн, Ханнес Г.; Бергер, Мартин; Фишер, Питер; Швеммер, Крис; Ву, Хайбо; Мюллер, Керстин; Хорнеггер, Иоахим; Чхве, Чан-Хван; Рисс, Кристиан; Кейл, Андреас; Фариг, Ребекка (2013). «CONRAD - Программная платформа для конусно-лучевой визуализации в радиологии». Медицинская физика . 40 (11): 111914. Бибкод : 2013MedPh..40k1914M. дои : 10.1118/1.4824926. ПМК 3820625 . ПМИД  24320447. 
14. Gürsoy, Doǧa; De Carlo, Francesco; Xiao, Xianghui; Jacobsen, Chris (2014). "TomoPy: структура для анализа данных синхротронной томографии". Journal of Synchrotron Radiation . 22 (5): 1188–1193. Bibcode : 2014SPIE.9212E..0NG. doi : 10.1107/S1600577514013939. PMC 4181643. PMID  25178011 . 
15. ван Арле, Вим; Паленстейн, Виллем Ян; Де Бенхаувер, Ян; Альтанцис, Томас; Балс, Сара ; Батенбург, К. Йост; Сийберс, Ян (октябрь 2015 г.). «ASTRA Toolbox: платформа для разработки передовых алгоритмов электронной томографии». Ультрамикроскопия . 157 : 35–47. doi :10.1016/j.ultramic.2015.05.002. HDL : 10067/1278340151162165141 . ПМИД  26057688.
16. ван Арле, Вим; Паленстейн, Виллем Ян; Кант, Йерун; Янссенс, Элин; Блейхродт, Фолькерт; Добровольский, Андрей; Де Бенхаувер, Ян; Йост Батенбург, К.; Сийберс, Январь (2016). «Быстрая и гибкая рентгеновская томография с использованием набора инструментов ASTRA». Оптика Экспресс . 24 (22): 35–47. Бибкод : 2016OExpr..2425129V. дои : 10.1364/OE.24.025129 . hdl : 10067/1392160151162165141 . ПМИД  27828452.
17. Syben, Christopher; Michen, Markus; Stimpel, Bernhard; Seitz, Stephan; Ploner, Stefan; Maier, Andreas (2019). «PYRO-NN: Python Reconstruction Operators in Neural Networks». Medical Physics . 46 (11): 5110–5115. arXiv : 1904.13342 . Bibcode :2019MedPh..46.5110S. doi :10.1002/mp.13753. PMC 6899669 . PMID  31389023. 
18. "Odlgroup/Odl". GitHub .
19. Выпущено Университетом Бата и ЦЕРН. Бигури, Андер; Досандж, Манджит; Хэнкок, Стивен; Солеймани, Манучехр (08.09.2016). «TIGRE: набор инструментов MATLAB-GPU для реконструкции изображений CBCT». Biomedical Physics & Engineering Express . 2 (5): 055010. doi : 10.1088/2057-1976/2/5/055010 . ISSN  2057-1976.
    
20. [1] Ким, Хёджин; Чамплэй, Кайл (2023). «Дифференциальный прямой проектор для рентгеновской компьютерной томографии». ICML . arXiv : 2307.05801 .

Дальнейшее чтение

• Авинаш Как и Малкольм Слэни (1988), Принципы компьютерной томографической визуализации, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3 . 
• Бруйант, П.П. «Аналитические и итеративные алгоритмы реконструкции в SPECT» Журнал ядерной медицины 43(10):1343-1358, 2002

Внешние ссылки

• Slaney, AC Kak и Malcolm. «Принципы компьютерной томографической визуализации». Slaney.org . Получено 7 сентября 2018 г. .
• Insight ToolKit; программное обеспечение с открытым исходным кодом для поддержки томографии
• "TomoPy — Документация TomoPy 1.1.3". Tomopy.readthedocs.org . Получено 7 сентября 2018 г. .
• Набор инструментов ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp); очень гибкое, быстрое программное обеспечение с открытым исходным кодом для компьютерной томографической реконструкции
• NiftyRec; комплексное программное обеспечение с открытым исходным кодом для томографической реконструкции; поддержка сценариев Matlab и Python
• Инструмент томографической реконструкции и визуализации с открытым исходным кодом
• "ITS plc - Электрическая томография процессов для промышленной визуализации". Itoms.com . Получено 7 сентября 2018 г. .